数列求和的典型方法 (学生版)

1．数列求和的常用方法 (1)公式法：如果给定数列是等差(比)数列，或可转化为等差(比)数列，可以直接利用等差(比)数列的前n项和公式求解． (2)错位相减法：适用于形如{an·bn}的数列求和，其中数列{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列． (3)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列对应项相加时，若有公因式可以提取，并且剩余两项的和容易求出，那么这样的数列求和可以采用倒序相加法．主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况，例如等差数列求和公式就可以应用此法进行推导． (4)分组求和法：适用于形如{an±bn}类型的数列求和．其中{an}，{bn}是等差或等比数列． (5)裂项相消法：求数列{an}的前n项和时，若an可拆分为：an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝b1－bn＋1.解题关键是能否将原数列的每一项拆成两项(相邻)． 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可以求出数列的前n项和，常见的裂项公式有： 111111①＝n－n＋k；②＝(n＋k－n)． nn＋kkn＋k＋nk

※ 典型例题

考点1．分组求和法求数列的前n项和 一、分组求和

◎题型1：求数列{anbn}的前n项和Sn

思路1：Sn(a1b1)(a2b2)…(anbn)(a1a2an)(b1b2bn) ◎题型2：求通项为anf(n)，n是奇数n或an(1)f(n)的数列的前n项和Sn

g(n)，n是偶数思路2：相邻项组合

（1）当n为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)…(an1an)； （2）当n为奇数时，Sn(a1a2)(a3a4)…(an2an1)an． 思路3：奇偶项组合

（1）当n为偶数时，Sn(a1a3…an1)(a2a4…an)； （2）当n为奇数时，Sn(a1a3…an)(a2a4…an1)． 思路4：公式优化

（1）当n为偶数时，利用套路2、3其中之一； （2）当n为奇数时，SnSn1an1．

【例1】 求和：(1)(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)； (2)(2－3×51)＋(4－3×52)＋…＋(2n－3×5n)． －变式1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ) A．200 B．－200 C．400 D．－400 1111变式2．求数列1，2，3，…，nn的前n项和Sn. ． 2482 例3、数列an的通项公式为anncos2－－－2n，其前n项和为Sn． 3（Ⅰ）求a3n2a3n1a3n及S3n； （Ⅱ）若bn

S3n，求数列bn的前n项和Tn． n1n2考点2．倒序相加法

4x【例2】设fxx，求

421f20132f20132012f的值．

20132222变式1．求S89sin1sin2sin3....sin89

变式2．已知函数f(x)对任意的xR，都有f(x)+f(1x)=1，

求Snf(0)f()f()f()....f(1n2n3nn1)f(1). n

考点3．错位相减法求数列的前n项和 【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. (1)求an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn. 点评：此题运用了错位相减法，此法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和问题． 变式1．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线x－y＋2＝0上． a1a2a3an(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知Tn＝＋2＋3＋…＋n，求Tn. 2222考点4．裂项相消法求数列的前n项和

1111111 ；(2)Sn122334n(n1)1223nn11111111111n解析：（1）因为，所以Sn()(). 1n(n1)nn11223nn1n1n11n1n，所以Sn(21)(32)(n1n)n11. （2）因为nn1【例4】(1)Sn 归纳总结：常见的裂项公式有： 111（1）； n(n1)nn11111（2）() n(nk)knnk1111（3）() (2n1)(2n1)22n12n11111（4）[] n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)11（5）(ab) abab【例5】等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且S2b2＝64，S3b3＝960. 111(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋. S1S2Sn＋变式1．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n1(n≥2，n∈N*)． an111(1)令bn＝n，求证{bn}是等差数列；(2)在(1)的条件下，设Tn＝＋＋…＋，求Tn. 2b1b2b2b3bnbn＋1

变式2（Ⅰ）已知数列{an}满足：an1，求数列{an}的n项和Sn．

(2n1)(2n1)4nn（Ⅱ）已知数列{an}满足：an(1)，求数列{an}的n项和Sn．

(2n1)(2n1)．

考点5．数列的综合应用

2【例5】各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，Sn满足Snn2n3Sn3n2n0，nN.

（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对任意nN，有

11a1a2a2a311. anan14*

变式1．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N，且a2，a5，a14

构成等比数列．

1111(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<. a1a2a2a3anan＋12 变式2．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. 1(1)求an及Sn；(2)令bn＝2(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. an－1 ※ 当堂检测 1111111＋＋1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋10的值为( ) 1．1＋2224241111A．18＋9 B．20＋10 C．22＋11 D．18＋10 222212．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列bb的前n项和Sn＝________. nn＋1 3．已知等差数列{an}满足a2＝0，.a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； an(2)求数列2n－1的前n项和．  4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 5．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； an(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. bn