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高中数学教学设计

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等比数列的前n项和 〔 第一课时〕

一. 教材分析。

〔1〕教材的地位与作用:\"等比数列的前n项和\"选自\"普通高中课程标准数学教科书·数学〔5〕,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

〔2〕从知识的体系来看:“等比数列的前n项和〞是“等差数列及其前n项和〞与“等比数列〞内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。

二.学情分析。

〔1〕学生的已有的知识构造:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。

〔2〕教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比拟浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活泼、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。

〔3〕从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进展类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易无视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三.教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: 〔1〕知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此根底上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。

〔2〕过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类

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比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比拟、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.

〔3〕情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、构造的对称美、形式的 简洁美。

四.重点,难点分析。

教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。

五.教法与学法分析.

培养学生学会学习、学会探究是全面开展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。〞这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经历,并通过与他人〔在教师指导和学习伙伴的帮助下〕协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让教师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比拟论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话: 还课堂以生命力,还学生以活力。

六.课堂设计

〔一〕创设情境,提出问题。〔时间设定:3分钟〕

[利用投影展示]在古印度,有个名叫西萨的人,创造了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢?

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[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点]

提出问题1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? 引导学生写出麦粒总数1222〔二〕师生互动,探究问题[5分钟]

提出问题2:1+2+22+23++263究竟等于多少呢?

有学生会说:用计算器来求〔教师当然肯定这种做法,但学生很快发现比拟难求。〕

提出问题3:同学们,我们来分析一下这个和式有什么特征?〔学生会发现,后一项都是前一项的2倍〕

提出问题4:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,那么我们假设在此等式两边同以2,得到另一式: [[利用投影展示]

23263

...S1222232S2222324263.........(1)2.......(2)

比拟〔1〕(2〕两式,你有什么发现?〔学生经过比拟发现:〔1〕、〔2〕两式有许多一样的项〕 提出问题5:将两式相减,一样的项就消去了,得到什么呢?。〔学生会发现:S21 [这五个问题的设计意图:层层深入,剖析了错位相减法中减的妙用,使学生容易承受为什么要错位相减,经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,也让学生感受到这种方法的神奇] 这时,教师向同学们介绍错位相减法,并

提出问题6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程,为什 么〔1〕式两边要同乘以2呢?

[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识,也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]

〔三〕类比联想,解决问题。[时间设定:10分钟] 提出问题7:设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn

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a2a3an学生开展合作学习,讨论交流,教师巡视课堂,发现有典型解法的,叫同学板书在黑板上。

:从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高,让学生在探索过程中,充分感受到

成功的情感体验]

析比拟,开拓思维。[时间设定:5分钟] 将不同的的方法进展分析评价。根据学生的认识状况,可能有如下几种方法: 等比数列{a},公比为q,它的前n项和n错位相减法1: Sn2na1a1qa1q2a1qa11qn qSna1qan1n1q2an21qa1qa1q (1q)Sna1a1qn

等比数列错位相减法2 {an},公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1an qSna2a3an1ananq (1q)Sna1anq

提出公比q 等比数列{an},公比为q,它的前n项和Sna1a2a3an1an Sna1a1qa1q2an211qa1qn a1q(a1a1qan31qa1qn2) a1q(Sna1qn1) (1q)Snna1a1q累加法 等比数列{an},公比为q,它的前n项和 Sna1a2a3an1an  a2a1qa3a2qa4a3qanan1q a

2a3anq(a1a2a3an1)Sna1q(Snan)-  ( 1   q ) S n  a 1  a n q 优选 . .

可能也有同学会想到由等比定理得

Sna1a2a3a2a3a1a2ananqan1a2a3anqa1a2an1Sa即 n1qSnan(1q)Sna1anq

【设计意图:共享学习成果,开拓了思维,感受数学的奇异美】 〔五〕.归纳提炼,构建新知。[时间设定:3分钟]

a1-a1qn提出问题8:由(1-q)sn=a1-a1q得sn=对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?

1-qnq1时是什么数列?此时Sn?

【设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识构造,增强思维的严谨性】提出问题9:等比数列的前n项和公式怎样?

a1(1qn)a1anq,q1,q1Sn1q学生归纳出Sn1q

na,q1na1,q11.

【设计意图:向学生渗透分类讨论数学思想,加深对公式特征的了解】 〔六〕层层深入,掌握新知。[时间设定:15分钟]

基础练习1已知an是等比数列,公比为q21(1)若a1=,q=,则Sn33(2).则a12,q1,则Sn

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练习2 判断是非(1).1-2+4-8+16-23+-2nn1(12n)1(2)1(12n)(2).1222212a(1a8)238(3).aaaa1a

【设计意图:通过两道简单题来剖析公式中的根本量.进展正反两方面的“短、浅、快〞 练习.通过总结、辨析和反思,强化公式的构造特征.】

例1 已知数列an是等比数列,完成下表

题号 a1 q n 8 an 8 -96 Sn -63 〔1〕 1/2 1/2 〔2〕 27 〔3〕 2/3 -2 【设计意图:渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中〞知三求二〞的题型】

练习3:求等比数列1,1,1,1, 前和;

2481663 变式 1、等比数列1,1,1,1, 前多少项的和是;

24816 变式2、等比数列1,1,1,1, 求第5项到第10项的和;

24816a2,a3, an, 变式3、等比数列a,求前2n项中所有偶数项的和。

〔先由学生求解,然后抽学生板演,教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生中的闪光点,给予热情表扬。)

【设计意图:变式训练,深化认识,增加思维的梯度的同时,提高学生的模式识别能力,渗透转化思想】.

练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作,试用期过后,老板对这位大学生很欣赏,有意留下他,就让这位大学生提出待遇方面的要求,这位学生提出了两种方案让老板选择,其一:工作一年,月薪五千元;其二:工作一年,第一个月的工资为20元,以后每个月的工资是上月工资的2倍,此时,老板不假思索就选择了第二种方案,于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下,老板的选择是否正确?

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【设计意图:让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学.】

〔七〕总结归纳,加深理解。[时间设定:2分钟]

〔1〕等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么? 〔2〕用什么方法可以推导了等比数列的求和公式?

【设计意图:形成知识模块,从知识的归纳延伸到思想方法的提炼,优化学生的认知构造】 〔八〕课后作业,稳固提高。[时间设定:1分钟] 必做:〔1〕P66练习1

研究性作业:请上网查阅“芝诺悖论〞 选做:求和:12222323424n2n

【设计意图:为了使所有学生稳固所学知识,布置了“必做题〞;“选做题〞又为学有余力者留有自由开展的空间,布置了“探究题〞以利于学生开展研究性学习,拓展学生的视野.】

七、教学反思:

本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次清楚。充分表达以学生开展为本,培养学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,表达理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原那么,通过问题情境的创设,激发兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣。

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