常见几种函数解析式的求法

常见几种函数解析式的求法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 解：设f(x)axb (a0)，则

f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb

a2a24a2　或　　  b1b3abb3f(x)2x1　　或　　f(x)2x3

练习题：(1)已知fx是一次函数,且满足3fx12fx12x17,求fx.

（2）已知函数fx是一次函数，且f815，f14、f5、f2成等比数列，求fx

二、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的

运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 例2 已知f(x11)x22 (x0) ，求 f(x)的解析式 xx解：f(x111)(x)22， x2 xxx f(x)x22 (x2)

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意

所换元的定义域的变化。

例3 已知f(x1)x2x，求f(x1) 解：令tx1，则t1，x(t1)2

f(x1)x2x

f(t)(t1)22(t1)t21, f(x)x21 (x1)

f(x1)(x1)21x22x (x0)

1

21x13练习题：1.已知f1,求fx. 2xxx2.已知fx1x1,则函数fx的解析式为( ).C

A.fxx2 B.fxx21 C.fxx22x2x1 D.fxx22xx1

21x1x3.已知f,则fx的解析式为( ).C 21x1xA.

x2x2xx B. C. D. 22221x1x1x1x四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程

组求得函数解析式。

例5 设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

1x解 f(x)2f()x ①

1x显然x0,将x换成

1，得： x11f()2f(x) ② xx解① ②联立的方程组，得：

f(x)x2 33x练习题：1.设函数fx为实函数,且fx2f2.已知fx满足2fxf1x,求fx. x13x，求fx； x13223.若fx满足关系式fx2fxxx1,则fx____________. xx1 3例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)解 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

1,试求f(x)和g(x)的解析式 x1f(x)f(x),g(x)g(x)

2

又f(x)g(x)1 ① ， x11 x1用x替换x得：f(x)g(x)即f(x)g(x)1② x1解① ②联立的方程组，得 f(x)11g(x)， 22x1xx五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，

使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

解对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，

不妨令x0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)y2y1 再令 yx 得函数解析式为：f(x)x2x1

六、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点

2xx22xx4 则，解得： ，

yyy6y32点M(x,y)在yg(x)上 yx2x xx4把代入得：

y6y6y(x4)2(x4)

整理得yx7x6

2g(x)x27x6

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