复变函数教案

复变函数教案4.4(总3页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

第四章

教学课题：第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理

教学目的：1、了解解析函数零点的概念及其有零点的解析函数的表达式

2、充分理解解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理； 3、充分掌握解析函数的最大模原理。

教学重点：解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理 教学难点：最大模原理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：解析函数零点的概念、解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理

以及解析函数的最大模原理是本节的主要内容。

教学过程：

1、解析函数零点的孤立性：

定义设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且f(z0)0，那么称z0为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式是：

f(z)1(zz0)2(zz0)2...n(zz0)n...

现在可能有下列两种情形：

（1）如果当n=1,2,3,…时，n0,那么f(z)在U内恒等于零。

（2）如果1,2,...,n,...不全为零，并且对于正整数m，m0，而对于nn0，那么我们说z0是f(z)的m阶零点。按照m=1，或m>1，我们说z0是f(z)的单零点或m阶零点。

如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在z0的一个邻域U内

f(z)(zz0)m(z),(z0)0,

其中(z)在U内解析。因此存在一个正数0，使得当0|zz0|时，

(z)0。于是f(z)0。换而言之，存在着z0的一个邻域，其中z0是f(z)的唯

一零点。

2

定理 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么或者f(z)在z0的一个邻域内恒等于零，或者存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。（简单说来，不恒为零的解析函数的零点是孤立的） 注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。

推论 f(z)在圆域K：zaR内解析，在K内f(z)的一列零点zk(zka)收敛于a,则f(z)在K内必恒为零。 2、解析函数的唯一性定理：

我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。

引理 设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于零。

证明：设在D内一个以z0为心的圆盘K0内，f(z)0。我们只需证明在K0以外任一点z'D,f(z')0。用D内的折线L连接z0与z'，存在着一个正数，使得

L上任一点与区域D的边界上任一点的距离大于。在L上依次取

z0,z1,z2,...,zn1,znz',使z1K0，而其他任意相邻两点的距离小于；作每一点zj的邻域Kj(j1,2,...,n)，显然，当j由于f(z)在K0内恒等于零，f(n)(z1)0(n1,2,...)。于是f(z)在K1内泰勒展式的系数都是零，从而f(z)在K1内恒等于零。一般地，已经证明了f(z)在

Kj(jn1)内恒等于零，就可推出它在Kj1内恒等于零，而最后就得到

f(z')0，因此引理的结论成立。

定理 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于零，那么f(z)的每个零点z有

0一个邻域，在其中z是f(z)唯一的零点。

03

定理（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设z是

kD内彼此不同的点(k=1,2,3,…)，并且点列{zk}在D内有极限点。如果

f(zk)g(zk)(k1,2,3,...)，那么在D内，f(z)=g(z)。

证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然F(zk)0(k1,2,...)。设z0是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在

z0连续，可见F(z)0。可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z)

0唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。

例1、 在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数只能是sinz.

解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。

注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析，如第3段例1及例2，由解析函数的唯一性定理，都不存在另一个解析函数，在收敛圆内与和函数恒等，而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内，与它不恒等。 例2是否存在着在原点解析的函数f(z)，满足下列条件：

111)0,f(); 2n12n2n1n（2）、f().

nn1（1）、f(其中n=1,2,3,…。

11}及{（}n1,2,3,...)都以0为聚点，由解析函数的唯一2n12n11性定理，f(z)=z是在原点解析并满足f()的唯一的解析函数；但此函数

2n2n1)0(n1,2,3,...)。因此在原点解析并满足这些条件的函数不不满足条件f(2n1解：（1）、由于{存在；

111.由解析函数的唯一性定理，f(z)(2)、我们有f()是在原点解

n11/n1z析并满足此条件的唯一的解析函数。 3、最大模原理

4