高一数学寒假课程第2讲-函数的解析式、定义域和值域

第二讲 函数的解析式、定义域和值域

一、知识梳理

1．函数的概念

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作 yf(x)，xA．

函数的本质含义是定义域内任一x值，必须有且仅有惟一的y值与之对应．

函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合

yyf(x),xA叫做这个函数的值域．

确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．

函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f是加工手段． 2．函数的表示法：列表法，图象法，解析法． 图象法和解析法是考查的重点． 3．映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．

这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，于是y＝f(x)，x称作 y的原象． 映射f也可记为 f:AB xf(x)

其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域．

二、方法归纳

求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等．

求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等．

求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．

判断某“对应法则”是否为A→B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；②B中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象．

三、典型例题精讲

1

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【例1】如果f(x1)x5x4，那么f(x)＝ . 解析：方法一（配凑法）∵f(x1)x5x4＝(x11)5(x11)4，

222 ∴f(x)＝(x1)25(x1)4＝x27x10．

2方法二（换元法） 设x1t，则xt1，于是f(t)(t1)5(t1)4＝t27t10，

即f(x)＝x27x10．

技巧提示：（1）凑配法：若已知f(g(x))的表达式，需求f(x)的表达式，可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再将g(x)统一换为x，求出f(x)的表达式．

（2）换元法：已知f(g(x))的表达式，需求f(x)，我们常设tg(x)，从而求得xg(t)，

然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式．

用凑配法和换元法求f(x)的解析式时，不单是关注对应法则的变化，还需要考虑定义域的变化． 又例:已知f(2x1)4x1，1x3，求函数f(x).

错解分析：∵f(2x1)4x1＝2(2x1)3，∴f(x)＝2x3，1x3.

定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错．

解析：∵f(2x1)4x1＝2(2x1)3，

又∵1x3，有12x15，∴f(x)＝2x3，1x5. 再例:已知函数f(x)满足f(logax)＝

1a1(x) （a＞0，a≠1，x＞0)，求f(x)的表达式. 2xa1错解分析：令tlogax，于是a＞1，t＞0；0a1，t＜0．

将xat代入，得f(t)＝

att(aa)， 2a1∴f(x)＝

a(axax) （a＞1，x＞0；0a1，x＜0）． 2a1在a＞0，a≠1，x＞0的条件下，logaxtR．

解析：令tlogax，tR， 将xat 代入，得f(t)＝

att(aa) 2a1∴f(x)＝

axx(aa) （a＞0，a0，xR）． 2a12

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【例2】已知二次函数f(x)＝ax2bxc满足f(1)f(1)f(0)1，求f(x)的表达式

解析：由f(1)abc，f(1)abc，f(0)c．

1a[f(1)f(1)]f(0)21得 b[f(1)f(1)]并且f(1)，f(1)，f(0)不能同时等于1或－1，

2cf(0)所以所求函数为：f(x)＝2x21或f(x)＝2x21或f(x)＝x2x1 或f(x)＝x2x1或f(x)＝x2x1或f(x)＝x2x1.

技巧提示：待定系数法：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式．

又例:已知一次函数f(x)满足3f(x1)2f(x1)＝2x17，求f(x)的表达式． 解析：设f(x)＝kxb，则3f(x1)＝3kx3k3b，2f(x1)＝2kx2k2b，

由3f(x1)2f(x1)＝2x17，得kx5kb2x17．

比较系数及常数项，得k2k2，b7．∴f(x)＝2x7． ，∴

5kb171x2a再例:如果函数f(x)(b,cN+）满足f(0)＝0，f(2)＝2，且f(2)＜．求函数f(x)2bxc的解析式．

a0a0x2解析：依题意，得 4a，即．∴f(x)．

bx2b222bc22bc又由f(2)141． ，得

24b225b＝1 或 b＝2． ．∴22b10，bb∈∵N+，∴

又2bc＝2，故当b＝1时， c＝0，不符合题意；

x2(x1)． 当b＝2时，c＝2．∴ f(x)2x23

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【例3】 已知f(x)满足对任意xR，x0，有2f(x)f()2x．求f(x)．

1x解析：∵2f(x)f()2x ……①

1x将x用

112代之，得2f()f(x)……② xxx4x由①，②得f(x)2x4x2． 333x技巧提示：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法．

又例：设f(x)满足f(0)＝1，并且f(xy)f(x)y(2xy1)对任意实数x、y都成立，求f(x)的解析式．

解析：方法一 ：由f(0)＝1，f(xy)f(x)y(2xy1)

2令x＝y，得f(0)f(x)x(2xx1)f(x)xx，

∴f(x)＝x2x1.

方法二：令x＝0，得f(y)f(0)y(y1)1yy(y)(y)1，

22∴f(x)＝x2x1．

技巧提示：赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式． 【例4】求函数y19x2的定义域．

ln(x1)x10x1解析：这个函数是两项之和，由第一项有：， x11x2 由第二项有：9x20，3x3，

取两者之交集，得所求函数的定义域为(1,2)(2,3．

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技巧提示：求函数的定义域就是要使函数有意义，目前我们知道：分母为零无意义，负数开偶次方无意义，零的零次幂没意义，零和负数的对数无意义等等．求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组；使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义，所以通常需要求数集的交集．

又例:（1）函数fx4xlog3x1的定义域是 ． x1 .

（2）函数

ylog2(3x2)的定义域是

34x0x4解析：（1）要使函数f(x)有意义，必须有x10，即x1．

x1x10应填：(1,1)(1,4]．

（2）要使函数有意义，必须有log2(3x2)≥0，

3∴

03x21，即

x00x12x1．应填：(2,1]． 33ex再例：函数y2x的定义域是 .

解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：(,1． 【例5】 若yf(x)的定义域为0,2，则f(lnx)的定义域是 ．

解析： 由0lnx2， 有e0xe2

得f(lnx)的定义域为 [1,e]．应填：[1,e]．

技巧提示：函数yf(x)的定义域为0,2，意思是f只能对0,2中的数作用，也就是对0,2中的数

22f才有意义．函数f(lnx)要有意义，必须f对lnx能作用，所以必须0lnx2．

又例:已知函数f(x)mx2mx1的定义域是全体实数，则m的取值范围是（ ）

A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4 错解分析：由mx2mx1≥０对全体实数都成立，得∴m的取值范围是0＜m≤4．故选A．

解析：由mx2mx1≥0对全体实数都成立，得

5

m0m0，即2． 0m4m0 寒假课程·高一数学

当m＝0时，1≥0，对全体实数都成立； 当m≠0时，m0m0，即 2．

0m4m0∴m的取值范围是0≤m≤4．故选B．

技巧提示：这是求函数的定义域的逆问题，即给定函数的定义域，求参数的取值范围．此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论．

再例：已知函数f(x)(a21)x2(a1)x2的定义域为R，求实数a的取值范围． a120恒成立． a1解析：由题意知xR时，(a1)x(a1)x22（1）当a210且a10时，有a＝1，此时f(x)＝1，

显然对xR时，(a1)x(a1)x2220恒成立． a1a210（2）当a210时，有，解不等式组得1a9． 2220(a1)4(a1)a1综上知，当xR时，使得f(x)有意义的a的取值范围是[1，9]．

【例6】 求函数y2x24x的值域．

解析：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设f(x)x4x(f(x)0)，

配方得f(x)(x2)4(x0,4)．

利用二次函数的相关知识得f(x)0,4，从而得出所求函数的值域为 y0,2．

技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．

2本题可以直接配方，得y2x24x＝24(x2)，

22然后经分析得所求函数的值域为y0,2，因此，有时直接分析也能得到函数的值域．

2又例：求yx42的值域．

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解析：由绝对值知识及二次函数值域的求法易得x240,，

∴x2422,，∴y2,．

x2x再例：求函数y2的值域．

xx1解析：观察分子、分母中均含有x2x项，可先变形后再采取分析法．

x2xx2x11y21xx1x2x11．

123(x)2441≤，

133(x)2244111－≤－＜0，－≤1－＜1，

131333(x)2(x)22424由(x∴ 所求函数的值域为 y,1．

技巧提示：配方法、分析法、配方分析法都是解决含x2项的函数值域问题的重要方法．本题亦可采用判别式法:

12133)≥0，有(x)2≥， 0＜224413x2x2将y2重新整理为关于x的二次方程，得(y1)x(y1)xy0，

xx1这个关于x的二次方程有解，∴y1且判别式△≥０， 由△≥０，得(y1)4(y1)y≥0， ∴21y1． 3∴ 所求函数的值域为 y,1．

132x2axb【例7】已知函数y的值域为[1，3]，求a、b的值． 2x1解析：由题意知xR，把原函数变形为(y2)xaxyb0

当y20时，满足题意；

当y20时，因xR，所以a4(y2)(yb)0，

227

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即4y4(b2)y8ba0．

∵1y3，∴1和3是方程4y4(b2)y8ba0的两个实根， 由韦达定理解得a2，b2．

技巧提示：这是求函数的值域的逆问题，即在给定函数值域的条件下求参数的值．解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值．

2222x22xa,x1, ． 又例：已知f(x)＝

x（1）当a＝

1时，求函数f(x)的最小值； 2（2）若对任意x1,，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

11x22xa122＝(x)22， 解析：（1）当a＝时，f(x)＝＝x22xx2x∵函数x12x在x1,上是增函数，∴x12x≥112＞０，

∴(x12x)2在x1,上是增函数，于是(x112x)2≥(113)2≥2

22∴f(x)＝(x37)222≥222＝，

222x所以f(x)的最小值为

7. 2（2）f(x)＞0即为xa2＞0，又x1,，∴ a＞x22x恒成立． x22而当x1,时，x2x1(x1)≤－3，∴a＞－3．

四、课后训练

1．已知f(x)log2x，则f(8) （ ） A．

1 B． 8 C．18 D． 328

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n3(n10),2．已知函数f(n)＝其中n∈N，则f(8)等于（ ）

f[f(n5)](n10),A．2 B．4 C．6 D．7 3.若函数f(x)＝

A.3

mx3(x≠)在定义域内恒有f(f(x))＝x，则m＝( )

44x333B. C.－ D. －3

2224．（1）已知f(x)的定义域为2,2，求f(x1)的定义域；

（2）已知f(x)的定义域为0,1，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域．

5．已知函数f(x)kx7的定义域是R，求实数k的取值范围． 2kx4kx31x． 1x6．已知函数f(x)＝log2（1）求证：f(x1)f(x2)f(x1x2)；

1x1x2（2）若f(ab1)＝1，f(b)，求f(a)的值． 1ab22x24x77．求函数y2的值域．

x2x38．求函数y2x3134x的值域．

ax2x19．求函数y=(x＞－1且a＞0)的最小值.

x110．求函数y=

x1x的最大值和最小值.

五、参

1．答案：D

解析：由f(x)log2x，知x0，令x68，得x2，∴f(8)log2x2．答案：D

解析：f(8)＝f(f(13))＝f(10)＝7，故选D． 3．答案: A

9

6121，故选D． 2 寒假课程·高一数学

mxmx4x3＝x，整理比较系数得m＝3. 解析: ∵ f(x)＝.∴ f(f(x))＝

mx4x3434x3m4．解析：（1）令2x212，得1x23，即0x23，

因此0|x|3，从而3x3，

故函数的定义域是{x|3x3}． （2）因为f(x)的定义域为0,1，即0x1．

故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集，

ax1a0xa1，即． ax1a0xa1即两个区间a,1a与a,1a的交集，比较两个区间左、右端点，知

（i）当1a0时，F(x)的定义域为{x|ax1a}； 21时，F(x)的定义域为{x|ax1a}； 2（ii）当0a（iii）当a11或a时，上述两区间的交集为空集，此时F(x)不能构成函数． 225．解析：要使函数有意义，则必须kx24kx3≠0恒成立，

因为f(x)的定义域为R，即方程kx24kx30无实根．

①当k≠0时，需16k243k0恒成立，解得0k3； 4②当k＝0时，方程变为3＝0恒无实根．

综上k的取值范围是0k3． 410

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6．解析：（1）证明：f(x1)f(x2)log21x11x21x1x2x1x2log＝log2()； 1x11x21x1x2x1x2xx2111x1x2x1x2xx21x1x2 又 f(1)． )log2() log2(1x1x2x1x21x1x2xx2111x1x2∴ f(x1)f(x2)f(x1x2)．

1x1x2（2）∵f(ab)＝f(a)＋f(b)＝１， 1ab1b1b11b)＝log2＝log2(＝f(b)．

1b1b1b3． 2又∵f(b)＝log2∴ f(a)＝1－f(b)＝1＋f(b)＝

7．解析：方法一: 由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法．

将原函数变形为 xy2xy3y2x4x7， 整理得(y2)x2(y2)x3y70， 显然y2，上式可以看成关于x的二次方程， 该方程的x范围应该满足f(x)x2x30 即xR此时方程有实根即△0，

△2(y2)]4(y2)(3y7)0y[222229,2]， 292x24x7∴ 函数y2的值域为[,2)．

2x2x32x24x713方法二： 将函数式变形为y2＝2． 2x2x3(x1)2∵(x1)2≥2， 0＜

21313≤，

(x1)222∴ 913≤2＜2． 22(x1)211

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92x24x7∴ 函数y2的值域为[,2)．

2x2x3 8．解析：由于题中含有134x不便于计算，但如果令：t134x注意t0

13t213t2y3t(t0)变形得2y(t1)28(t0)， 从而得：x42即：y(,4]．

aax2x19．解析：∵y＝＝ax＋＋1－a

x1x1a＝a(x＋1)＋＋1－2a＝a((x1)x1∴ 当 x＝0时等号成立，ymin＝1．

10．解析：令xu，u[0,1]，1xv,v0,1，

于是，有 u2v21(u0，v0)， 且yuv，即vuy，

1x1)21≥1．

由直线方程斜截式纵截距的几何意义， ymin1，ymax2．

12