全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法

△ABC中,AD是BC边中线

方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长

1) （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

BAAFAMC

【经典例题】

DCBEDBDNCEA例1已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3， 则中线AD的取值范围是_________.

（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）

BDC例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF

DA

BFCE

方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB

BDCA

方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH）

BDCFEA

FE例3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

BEFDCA

变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F. 求证：BECFEF （提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边

A _ E _

F _ D _ C _ B _ 方法2：

倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）

A _

E _

F _ D _ C _ B _ 例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。

BAFE

方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）

DCA

EF

例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，

求证：AD平分∠BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）

BDCABDEC变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，

求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

变式二：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，

求证：2AE＝AC。

ABEDCA（提示：借鉴变式一的方法）

例6：已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC 提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG

BEDCA _ F _ B _ D _ E _ C _

方法2：倍长FE至H，连结CH 【练习】

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC

2、已知：如图，

ABC中，

C=90

，CM

AB于M，AT平分

BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB

BEFCAA _ F _ B _ D _ E _ C _ D交BC于E，求证：CT=BE.

提示：过T作TN⊥AB于N， 证明ΔBTN≌ΔECD

T A D M B E C

3、 在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。

4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°， 求证：AB=2BC.

BDCAABDMC

5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM

EDA