考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型

　2008年8月　　　　　　　　PETROLEUMEXPLORATIONANDDEVELOPMENT　　　　　　　Vol.35　No.4文章编号:100020747(2008)0420457205

457

考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型

冯国庆1,刘启国1,石广志2,林作华3

(1.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室;2.大庆油田有限责任公司勘探开发研究院;3.中油测井华北事业部)

基金项目:中国石油中青年创新基金(07E1016)

摘要:低渗透气藏气体渗流存在启动压力梯度,为准确描述存在启动压力梯度的低渗透气藏的不稳定渗流问题,在前人研

究成果的基础上,根据存在启动压力梯度的低速非达西渗流的特点(流体流动边界不断向外扩展),建立了一个考虑启动压力梯度的低渗透气藏非线性渗流数学模型。采用格林函数法与数值逼近法相结合的方式对低渗透气藏的非线性渗流数学模型进行求解,建立了单井控制半径的求解方程,同时制作了计算控制半径的图版,利用该图版可以方便地计算出单井的控制半径。实例计算表明,采用考虑启动压力梯度的不稳定渗流模型能够正确地反映低渗透气藏的渗流机理和开采动态。图1表1参13

关键词:启动压力梯度;低渗透气藏;不稳定渗流;单井控制半径中图分类号:TE31　　　文献标识码:A

Anunsteadyseepageflowmodelconsideringkickoffpressuregradient

forlow2permeabilitygasreservoirs

FENGGuo2qing1,LIUQi2guo1,SHIGuang2zhi2,LINZuo2hua3

(1.StateKeyLab.ofOil&GasReservoirGeologyandExploitation,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu

610500,China;2.ResearchInstituteofExplorationandDevelopment,DaqingOilfieldLimitedCompany,

Daqing136172,China;3.HuabeiProjectDepartment,CNLC,CNPC,Renqiu062552,China)

Abstract:Kickoffpressuregradientoccurswhengasflowsinalowpermeabilityreservoir.Inordertodescribetheunsteadyseepageflowinthiskindofreservoir,anunsteady2stateseepageflowmathematicalmodelwhichtakeskickoffpressuregradientintoconsiderationisbuiltupbasedonpredecessors’researchandthecharacteristicofstart2uppressuregradientexistinginlowvelocitynon2Darcypercolationflow(thefluidflowboundaryexpandsoutwardsconstantly).CombiningtheLaplacespaceanalyticsolutionbyusingGreenfunctionmethodwiththenumericalapproximation,thenon2linearmathematicalmodelcanberesolved.Anequationforcalculatingsingle2wellcontrolradiusisestablished,andasingle2wellcontrolradiuschartboardisdrawnupwhichcanbeusedtocalculatesingle2wellcontrolradius.Casestudyindicatesthattheunsteadyseepageflowmodeltakingkickoffpressuregradientintoaccountcancorrectlypresentthepercolationmechanismandrealproductionperformanceofalow2permeabilitygasreservoir.

Keywords:kickoffpressuregradient;low2permeabilitygasreservoir;unsteadyseepage;wellcontrolradius

1问题的提出

低渗透储集层中的流体渗流规律与高渗透储集层

明显不同。当低渗透储集层渗透率低到一定程度,其渗流特征不再符合达西定律,这种渗流称之为非达西渗流,其特点是存在启动压力梯度,即作用在流体上的压差达到一定程度、流体克服黏滞力开始流动时的压力梯度[124]。在压力梯度不大时流速按非线性规律缓慢增加,压力梯度超过启动压力梯度后流速才按线性规律快速增加。近10年来中国学者对低速非达西流动进行了大量数学模拟和实验研究,发现在含水饱和度大于束缚水饱和度的含水岩石中,气体也存在低速非达西流动,并且渗透率越低、含水饱和度越高,启动

压力梯度越高,低速非达西流动越明显[5]。本文在前人研究成果的基础上建立了一个考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流数学模型,并对其进行了求解,

建立了单井控制半径的求解方程,同时制作了计算单井控制半径的图版,该图版可以方便地计算出单井的控制半径。结合实例计算表明,采用考虑启动压力梯度的不稳定渗流模型能够正确地反映低渗透气藏的渗流机理和开采动态。

2考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳

定渗流模型

　　考虑启动压力梯度的低速非达西渗流的特点是流

458石油勘探与开发・油气田开发　　　　　　　　　　　　　　Vol.35　No.4　

体流动边界不断向外扩展,即流体的流动边界由启动

压力梯度确定,在流体流动边界以外流体不流动。基于此,建立考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型,表示如下:

5ΨD5ΨD51rD+λΨBD=

rD5rD5rDrD5tDΨD(rD,tD=0)=05ΨD=-1-λΨBD

5rDrD=11ΨD(rD,g)=aI0(rD

bK0(rD

g)+　　　　　　　g)+

G(r∫

1

∞

D

)dτ,τ(7)

其中

λΨBDτ)=G(rD,

g

K0(rDτg)　　(1<τ(rD<τ<∞)g)　　

(8)

λΨBDg

τg)I0(rDK0(

(1)5ΨD5rD

　　由无限大外边界条件得a=0,于是(7)式化为:

ΨD(rD,g)=bK0(rD

g)+

G(r

∫

1

rD=rFD(tD)

=-λΨBD∞

ΨD(rD>rFD(tD))=0

模型(1)中:

ΨD=

KhD

)dτ,τ(9)

　　把函数ΨD(rD,g)对变量rD求偏导,设rD=1得:

ΔΨ

(2)(3)(4)

0.01273Tqsc

3.6K5ΨD(rD,g)5rD

rD=1

=-bgK1(g)+　　　　　　

tD=

μCgrw2<

rrw

t

λΨBD

g

I1(g)

K(

∫

1

0

∞

)dτ=gτ

rD=

-bgK1(g)+

πλΨBDI1(g)(10)2g

λΨBD=

Khrw0.01273Tqsc

λΨB

(5)　　将(10)式代入内边界条件得:

b=

3考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳

定渗流模型的解

　　现有的考虑启动压力梯度的低速非达西不稳定渗

流数学模型的求解方法大体分为3类:①近似地认为压力传播瞬时达到无限远,用格林函数法[628]求解模型的拉普拉斯空间解析解;②针对流动边界随时间向外推移的特点,采用离散化计算方法[9]求渗流模型的数值解;③幂级数解析解与数值逼近相结合[10]的方法,用以研究低速非达西渗流压力传播前缘与时间相关问题。本文将①和③相结合,即用格林函数法求得的拉普拉斯空间解析解与数值逼近相结合求解低速非达西不稳定渗流问题。

3.1格林函数法的拉普拉斯空间解

针对无限大外边界情形,对考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型(1)进行拉普拉斯变换得:

5ΨD5rD

rD5rD5rD1+

λ1+λΨΨg)/2BD+πBDI1(ggK1(g)

(11)

　　将(11)式代入(9)式得:

λπλ()ΨD(rD,g)=1+ΨBD+ΨBDI1g/2K0(rD

ggK1(g)

G(r∫

1

g)+(12)

∞

D

)dτ,τ

　　在(12)式中取rD=1,然后将(8)式代入,则得井底

无因次拟压力的拉普拉斯空间解:

λπλ()ΨWD(g)=1+ΨBD+ΨBDI1g/2K0(g)+

ggK1(g)

πλΨBD(13)I0(g)

2gg　　采用类似的方法,可得均质圆形封闭边界低渗透气藏低速非达西不稳定渗流井底无因次拟压力的拉普拉斯空间解:

ΨWD=

ΨE(rD)1+λBD+e+dggF(rD)

grD

1λΨDΨBD=g

(6)

g

ΨD(rD→∞,g)=05ΨD5rD

rD=1

+

(14)

=-

1g

-

λΨBD其中

H(rD)+f　　　(rD=1)

　　上式中基本微分方程的通解[9,11213]为:

　2008年8月　　　　　　　　　　冯国庆等:考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型459

E(rD)=

I0(grD)K1(gRD)+K0(grD)I1(gRD)I1(gRD)

(15)

e=-

cgI1(g)I0(gRD)

(28)

3.2流动边界模型解的数值逼近方法

在无限大地层中,某一时刻tD,流体流动前缘半径

F(rD)=

-I1(grD)K1(gRD)+K1(grD)I1(gRD)I1(gRD)

(16)

H(rD)=

cI0(grD)I1(gRD)g)

(17)rFD满足如下方程:

5ΨD5rDrD=rFD=-λΨBD

tD　(29)

于是按固定边界处理可构造模型:

5ΨD5rD

rD5rD5rD1+=-

c=

λΨBD

g

K1(RDI1(g)

c∫10

RDτI0(τg)d(18)

grDg

1λΨDΨBD=g

(30)

d=

λΨBDg

∫K(τg)dτ

1

RD

(19)

5ΨD5rD5ΨD5rD

求解(30)式得:

ΨD=

λΨBDλΨBD

g

rD=rFD(tD)

rD=1

=-

1g

-

e=

gI1(g)I1(gRD)

(20)

f=

λΨBD

g

I0(g)

∫

1

RD

τK0(τg)d

E(rD)gF(rD=1)H(rD)+

1+λΨBDg)dτ,τ

(21)

+e+d+

　　均质圆形供给边界低渗透气藏低速非达西不稳定

渗流的井底无因次拟压力的拉普拉斯空间解:ΨWD=

E(rD)gF(rD)

∫G(r

1

rFD

D

(31)

1+λΨBDg

RD

+e+d+H(rD)+

=1)

(22)

c-H(rD)=

λΨBDggI0(grD)

(32)

λΨBD

g

I1(grFD)

I0(g)

∫K(τg)dτ　　(r

1

0

D

c-e=

λΨBDgggI1(g)

(33)

其中

E(rD)=

-I0(grD)K0(gRD)+K0(grD)I0(gRD)I0(gRD)

(23)

F(rD)=

I1(grFD)

(16)、式中E(rD)、F(rD)、c、d的定义分别见(15)、

(18)、(19),并用rFD(tD)代替公式中的RD。

在(31)式中取rD=1,然后将(8)式代入,则得井底

无因次拟压力的拉普拉斯空间解:ΨWD=

E(rD=1)1+λΨBD+e+dg()gFrD=1H(rD=1)+

+　　

I1(grD)K0(gRD)+K1(grD)I0(gRD)I0(gRD)

(24)

H(rD)=-cI0(grD)I0(gRD)g)

(25)

λΨBD

g

I0(g)

∫K(τg)dτ

1

0

rFD

(34)

c=

λΨBD

g

K0(RDI1(g)

∫I(τg)dτ

1

00

RD

(26)

d=

λΨBDg

∫K(τg)dτ

1

RD

(27)

　　于是,流动边界模型解的数值逼近方法可描述如

下:先给定无因次时间tD,并假设此时的流体流动前缘半径为rFD,按照(31)式所表达的解析解计算无因次拟压力ΨD(rFD,tD),若所算值小于ΨBD(流体从静止到流动所需的无因次启动拟压力),减小rFD;否则增大rFD。

460石油勘探与开发・油气田开发　　　　　　　　　　　　　　Vol.35　No.4　

迭代计算确定rFD,然后再计算井底的无因次拟压力

ΨWD(tD)。

如果计算的流动前缘半径rFD已扩大到与实际圆形封闭外边界半径RCD相等,那么计算后续时间对应的典型曲线数据时,采用的边界半径不再扩大,并且计算采用(14)式,这时式中RD=RCD。

如果是圆形供给边界,当计算的rFD已扩大到与RSD相等,那么计算后续时间对应的典型曲线数据时,采用的边界半径不再扩大,并且计算改用(22)式,这时式中RD=RSD。

波及范围有限所致。

同时,随着渗透率的减小或增加,各井的控制半径也相应减小或增加。如A井,在渗透率为1.45×10-3μm2时,控制半径为1118m;而当渗透率减至0.5×10-3μm2时,控制半径为1109m,减小了9m;当渗透

率增至2×10-3μm2时,控制半径为1125m,增加了7m。但从整体结果分析,在渗透率处于较低级别时(小于5×10-3μm2)时,渗透率的变化对控制半径的影响不大。表1　各井的控制半径计算结果

井名

生产时间/

d396

4模型的应用

将上述方程的解制成图版,可以得到在不同的无

因次启动压力梯度下,无因次半径与无因次时间的变化关系,见图1。

渗透率/10-3μm2

1.450.523.7

启动压力梯度/(MPa・m-1)

0.0110.0160.0100.0090.0130.0160.0150.0130.0260.0160.0130.0260.0190.0150.0130.0090.0110.013

控制半径/

m111811091125123812291215113411391109116311681094653658662872870859

A

B41810.50.6

C149310.10.52

D59110.10.27

E3650.614.2

F1262.01.0

图1　不同无因次启动压力梯度下无因次半径随

无因次时间的变化关系图

5结论

在前人研究成果的基础上,建立了考虑启动压力

梯度的低渗透气藏非线性渗流数学模型。用格林函数法求得的拉普拉斯空间解析解与数值逼近相结合的方法对低渗透气藏的非线性渗流数学模型进行了求解,建立了单井控制半径的求解方程。同时制作了计算控制半径的图版,利用该图版可以方便地计算出单井的控制半径。实例计算表明,采用考虑启动压力梯度的不稳定渗流模型,能够正确地反映低渗透气藏的渗流机理和开采动态。

符号注释:

rD———无因次半径;ΨD———无因次拟压力;λ——无因次ΨBD—

　　图版中的各线分别代表以压力形式表示的不同的

无因次启动压力梯度λpD,其定义为:

λpD=

KhrwpiλB-3

6.637×10qscμTZ

(35)

　　具体计算时,分别计算出tD、rD和λpD,然后查询图1所对应的图版,即可算出在某个具体时刻各井所对应的控制半径。

采用上述方法,分别计算了四川某气田5口井的控制半径(见表1)。表1中各井所对应的首行数据为用各井的实际渗透率计算出的控制半径,其余两行数据是为了研究渗透率对控制半径的影响而作的敏感性研究。从计算结果可看出,除E、F井的控制半径较小外,其余各井的控制半径都达到了1100m以上;E、F井控制半径小的原因是由于生产时间较短,压力波的

启动拟压力梯度;tD———无因次时间;rFD———无因次流体流动前缘半径;K———气层渗透率μ,m2;h———气层厚度,m;T———气藏温度,K;qsc———气井产量,104m3/d;ΔΨ———拟压力差,MPa2/

(mPa・s);<———岩石孔隙度,f;μ———天然气黏度,mPa・s;

　2008年8月　　　　　　　　　　冯国庆等:考虑启动压力梯度的低渗透气藏不稳定渗流模型

Cg———气体压缩系数,MPa-1;rw———井半径,m;t———时间,h;r———径向距离,m;λ——启动拟压力梯度,MPa2/(mPa・s);ΨB—

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461

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ΨD———拉氏空间的无因次拟压力;g———拉普拉斯变量;a,

b———系数;I0———零阶变形的第一类贝塞尔函数;K0———零阶

变形的第二类贝塞尔函数;G(rD,τ)———格林函数;τ———积分变量;K1———一阶变形的第二类贝塞尔函数;I1———一阶变形的第一类贝塞尔函数;ΨWD———拉氏空间的井底无因次拟压力;E(rD)、F(rD)、H(rD)、c、e、d、f———中间变量;RCD———无因次圆形封闭外边界半径;RSD———无因次圆形供给外边界半径;RD———无因次外边界半径;λ——无因次启动压力梯度;pD—

pi———气藏原始地层压力,MPa;λ——启动压力梯度,MPa/m;B—μ———平均压力和温度下天然气黏度,mPa・s;Z———气体压缩因子,无因次。参考文献:

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第一作者简介:冯国庆(19742),男,山东菏泽人,博士,西南石油大学石油工程学院副教授,主要从事油藏描述和油藏数值模拟研究。地址:四川省成都市新都区,西南石油大学石油工程学院,邮政编码:

610500。E2mail:drfenggq@163.com

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收稿日期:2006210205　　修回日期:2008202217

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(编辑　唐金华　　绘图　付改荣)

　　(上接第456页)

　　对数值求解以入靶点关键参数为未知数的一元方程的二分法的算法及收敛性能进行了详细研究,给出了井段曲线类型为空间圆弧、圆柱螺线和自然曲线等3种常用假设条件下的详细计算过程。

理论分析和实际算例表明,二分法是求入靶点关键参数的数值解的非常有效的算法。

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第一作者简介:鲁港(19632),男,辽宁锦州人,硕士,中国石油辽河油田公司高级工程师,现从事石油钻探数学模型及其应用研究等工作。地址:辽宁省盘锦市,中国石油辽河油田公司勘探开发研究院,邮政编码:124010。E2mail:Lugang1999@sina.com

收稿日期:2007206228　　修回日期:2008204230

与开发,2006,33(6):7292733.

(编辑　郭海莉　　绘图　李秀贤)