小升初五大名校之数学卷———常考题型30道

1．从0～9这10个数中选出5个组成五位数，使得这个五位数能被3、5、7、13整除，这样的五位数中最大的数是多少？ 解答：98765是从0~9这10个数中选出5个数组成的最大五位数。3、5、7、13互质，其乘积为1365，角趋于180º，此时凸多边形趋于圆形。

6．9个乒乓球中有1个是次品，已知次品比正品重，请用一架天平设法找出这个次品。你要称几次才能保证找到这个次品，如何称？

解答：第一步：把9个球中的8个球放在天平的两边，1边4个，如果天平两边平衡，剩余的那个球就是次品；如果天平两边不平衡，总有一边重，一边轻，次品球就在重的那边，譬如说左重右轻。分能被1365整除就能被3、5、7、13整除。98765中有72个1365，1365×72＝98280，因数字8相重而舍弃； 98280－1365＝96915，因数字9相重而舍弃；96915－1365＝95550，因数字5相重而舍弃；95550－1365＝94185,没有相重数字，满足要求。答案：94185。

2．若111，则的整数部分为 。

1980198111997解答：1980~1997为18个连续自然数，111980~1997有18个分数，它们的值相差不大，考虑极限情况，111119801980~1997中1980最大，当分母为18个1980时，最小，＝110.0，的整数部分为18的整数部分，等于110；111980~1997中11997最小，当分母为18个11997时，最大，110.94，的整数部分为199718的整数部分，等于110。所以的整数部分为110。

3．计算：111222333333 。

2011个12011个22011个32011个3解答：考察 112233÷33＝3401 111222333÷333＝334001

111122223333÷3333＝

当被除数有2个1，2个2,2个3时，商中有1个3，1个0，1个4，1个1； 当被除数有3个1，3个2,3个3时，商中有2个3，2个0，1个4，1个1； 当被除数有4个1，4个2,4个3时，商中有3个3，3个0，1个4，1个1；  当被除数有2011个1，2011个2,2011个3时，商中有2010(2011－1)个3，2010(2011－1)个0，1个4，1个1； 即33340001

2010个32010个04. 毛毛在算11个整数平均值(保留两位小数)时，得数是15.33，老师看后说，最后一位数字错了，正确答案是多少？

解答：保留两位小数，最后一位错了，说明百分位以左的数字是对的，那么15.311＝168.3，可见这个整数大于168；百分位上数字最大为9，0.0911＝0.99，168.3+0.99＝169.29，可见这个整数小于170；11个整数的和也是整数，看来这个整数大于168，小于170，这个数就是169，1691115.3636，正确答案是15.36(保留两位小数)。

5．有一个边数为2011的凸多边形，在其中2011个内角中最多有 个锐角。

解答：凸多边形的定义为：沿多边形任意一条边画直线，多边形的所有其它顶点均在该直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形。任意n凸多边形都可以分割为n－2个三角形，凸多边形的内角和为(n－2)180º，n为边数。2011凸多边形的内角和为2009180º＝(2011－4)×180º+4×90º，2011凸多边形有2011个内角，假设2011边形中有4个锐角，剩下2011－4＝2007个角均为钝角，4个锐角取极限状态均为90º，则，2007个钝角的角度和就为2007180º，显然不可能(若4个锐角的每个角达不到90º，2007个钝角的和会更大，会出现大于2007180º，更不可能)。故答案为3个。

实际上，n凸多边形的内角最多有3个锐角(n任意大)。正n凸多边形当n趋于无限时，其每一个内

出哪边重后就进行下一步，

第二步：把右边的4个球拿走，把左边的4球一分为二，放在天平的左右两边，1边2个，总有一边重，一边轻，次品球就在重的那边，譬如说左重右轻。分出哪边重后就进行下一步，

第三步：把右边的2个球拿走，把左边的2球一分为二，放在天平的左右两边，总有一边重，一边轻，次品球就在重的那边。

答案：称3次才能保证找到这个次品。

7． 如图，ABCD是平行四边形，面积为72cm2 。E、F分别是AB、BC的中点，则图中阴影部分面积为多少cm2 。

ADGEHBFC

解答：

在△ADH和△CFH中，AD ＝2CF，那么AH＝2HC，S111DCH1*3SADC＝3×2×72＝12，

同理，在△AEG和△CDG中，CD ＝2AE，那么CG＝2AG，S11ADG1*3SACD＝6×72＝12，从而

S－12＝12，S111111DGH36－12CFH2*3SADC＝6×36＝6；同理，SAEG2*3SABC＝6×36＝6，则

阴影部分面积＝72－12－6－6＝48。

8．在1010的方格中，画一条直线最多可穿过 个方格。

解答：如图所画，为19个

9．有1架天平，只有5克和30克砝码各1个，现在要把300克盐分成3等份，问最少要称几次？ 解答：最少要称3次。

第1次：称出35克盐；第2次：用30克砝码及35克盐做成1个65克砝码，称出30+35＝65克盐，把第1次称出的35克盐和这65克盐倒在一个袋子中，就为100克盐；第3次：用100克盐袋子作为砝码，称出100克盐，放1袋中； 剩下的为100克盐放1袋中，就分成3等份。

10．今有3个带分数，它们的分数部分分别为3555，6，8，化成假分数后，它们的分子都相等，请你

找出3个带分数来，要求第一个带分数的整数部分是两位数，且尽可能的小，则这3个带分数是 。

解答：第一个带分数的整数部分是两位数，且尽可能的小，最小的两位数是10，我们就拿10来试一

试，1035535，3个假分数的分子均为53，则第二个带分数的整数部分为(53－5)68，则第三个带

分数的整数部分为(53－5)86，全是整数，满足要求。所以这3个带分数是103555，86，68。

11.如下图所示，在三角形ABC中，DC＝2BD，DE＝EA，若三角形ABC的面积是1，则阴影部分面积是多少？(2011年师大附中入学题)

AAFEFEBDCB

DC

解答：连接FD，由于AE＝ED，所以，S△AEC＝S△DEC(等底同高)，S△AFE＝S△FED，从而推出：S△AFC＝S△FCD，求阴影部分面积就相当于求S△FCD，由于DC＝2BD，那么，S△FCD＝2×S△BDF，设S△FCD＝a，则a + a + 1/2a＝1，则a＝2/5 。

12.如图所示，在梯形ABCD中，对角线BD、AC相交于O。△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？ (2011年铁一中复试题，2009年高新一中入学题)

A4B6ODC

解答：△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么，△ABD的面积＝6+4＝10，△AOB的面积是△ABD的面积的4/10＝2/5，那么，BO＝2/5DB，而△COB的面积＝△AOD的面积＝6，则△BCD的面积＝5/2△COB的面积＝5/2×6＝15，则梯形ABCD的面积＝4+6+15＝25。

13.如下图所示，AD,BE,CF把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已知，求△ABC的面积。 (2010年西工大附中、高新一中入学题)

AF84GEB40D3035C 解答：S△BGD∶S△CGD＝40∶30＝4∶3(高相等)，故而BD∶DC＝4∶3，故而S△ABD∶S△ADC＝4∶3(高相等)；S△BGC∶S△GEC＝(40+30)∶35＝2∶1，故而BG＝2GE，故而S△ABG＝2×S△AGE。

设S△AGE＝a，则S△ABD∶S△ADC＝(S△ABG +40)∶(S△AGE +35+30)＝4∶3，即(2×a+40)∶(a+65)＝4:3，

即2×a+40＝44260

3(a+65)＝3a +3，a＝70，S△ABE＝3×70＝210，S△ABC＝210+40+30+35＝315。

14.如下图所示，正方形ABCD的边长为10cm，EC＝2×BE，求阴影部分的面积。 (2011年交大附中，2009年铁一中入学题)

ADFBEC

解答：在△AFD和△BFE中，AD＝3×BE，则DF＝3×FB，则△AFB的面积＝1/4△ABD＝1/4×(1/2×正方形ABCD的面积)＝1/8×正方形ABCD的面积＝1/8×100＝12.5cm2

15.如图所示，正方形ABCD边长为5，E,F分别为AB,BC边的中点，求阴影部分的面积。 (2009年铁一中，西工大附中入学题)

ADADFFGHBECBEC

解答：过E点做BF的平行线，由于E是BC的中点，则EG＝1/2BF＝1/4DC，在△GHE和△DHC中, EG＝1/4DC，则DH＝4×HE，△DHC的面积＝4/5△DEC＝4/5×(1/4正方形ABCD的面积)＝1/5正方形ABCD的面积＝5，△CBF＝△CEH + S阴＝1/4正方形ABCD的面积＝△CEH+△DHC，得出：S阴＝△DHC的面积＝5。

16.

1123123411345202122

解答：观察后看出：除第一项和最后一项外，每一项的分母的第一个数字、第二个数字和前一项分母的第二个数字、第三个数字相同，而分母的第二个数字、第三个数字和下一项的分母的第一个数字、

第二个数字相同，为了达到把每一项化作分数差的形式以得到简便运算的目的，试将1123化作

112—123＝1111111113，234化作23—34＝12，345化作34—45＝30，每项化作分数差后，值比起每项的真实值扩大了2倍，可以统一乘以12，就保持了等量变化：

1123123413451202122＝1112(12—23+123—134+134—145+1202112122)＝12(112—12122)＝115462

17. 1+1121111231234123100 解答：

11123n123n(n1)111 2n(n1)12(n1)(n2) 2(1111nn1n1n2)2(11nn2)1+

1121123112341123100 ＝2×(113131515111799101) ＝2×(1－1101)

＝200101 18. (1+12)×(1—111112)×(1+3)×(1—3)×…×(1+99)(1—99)

解答：上式＝32×12×43×23×54×39997100984×…×98×98×99×99，观察第1项与第4项互为倒数，乘积为1，

第3项与第6项互为倒数，第2项空出，倒数第2项也空出，其余项都有它的倒数成对出现，故而上

式＝1100502×99＝99

19. (1+13+15+17)×(13+15+17+19)—(1+13+15+111117+9)×(3+5+7)

解答：令13+15+17＝a，111113+5+7+9＝b，那么上式＝(1+a)×b—(1+b)×a＝b—a＝9

20． 117911133+12—20+30—42

解答：上式＝43+73—74—94+95+115—11131311131113326—6+7＝3—4+4—4+7＝3+7—4＝21

21. 求下图阴影部分的面积。(单位：厘米)

o

解答：“眼眶”空白部分面积＝2×(1/4π202—1/2×202)＝200π—400 其余2块空白面积＝2×1/4(202—π102)＝2×(100—25π)＝200—50π 空白总面积＝200π—400+200—50π＝150π—200＝271 阴影面积＝400－271＝129平方厘米 22.图中大圆直径为20厘米，求S阴

解答：这种题想要直接计算出来是很困难的，要仔细观察，看看有无巧妙的办法解出来，看图中粗线画出的阴影部分和其他3个相同的图形，共计4个相同的图形占满了大圆，所以，阴影部分面积＝1/4π102＝78.5平方厘米。

看图中粗线画出的两个形状，就是“双鱼太极图”，太极生两仪，两仪生四象，上题就是将每条鱼又等分为2条“小鱼”，形成“两仪生四象”。

23.如图所示： 正方形的边长为100米，甲、乙二人分别同时从图中A,B出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，并且甲乙二人走到转弯的地方都要休息2分钟，求甲从出发到第一次看见乙在多少分钟后？ (2011年西工大附中入学题)

DAA‘BC解答：甲、乙二人第一次处于同一边且最大相距100米(1个边长)时甲看见乙就是甲第一次看见乙。先考虑甲、乙二人均不在转弯处休息的情况，甲乙相距100米，即甲追乙且距乙100米需要的时间为：

711④－③得：d－a＝－＝ ……⑦

62060721⑦－②得：c－a＝－＝ ……⑧

60126011111915125551⑥－⑧得：2a＝，推出a＝，b＝，c＝＝，d＝＝，e＝＝

6012012012081202412024a＜b＜d，e＜c

2411＝＝4.8小时，＝8小时 5cd(200－100)÷(75－65)＝10分钟。10分钟甲跑了10×75＝750米，750÷100＝7.5个边长；乙跑了65×10＝650,650÷100＝6.5个边长。此时考虑甲、乙二人在转弯处休息情况，即实际甲跑到7.5个边长处时(A’点)，需要10+7×2＝24分钟，甲乙同时出发，在第24分钟时，乙在哪里？

10+6×2＝22分钟，即乙跑到6.5个边长时，只要22分钟；乙到D点需要22+501065＝2213分钟，那么

第24分钟时，乙在D点休息了24－22101613＝13分钟。

这之后甲继续走到A点，需要5021627475＝3分钟。而乙休息了13+3＝39＜2分钟(乙在D点要休息2分钟)，

即甲到A点时，乙还在D点休息，此时，甲就第一次看见了乙！即24+223＝243分钟时甲就第一次看

见了乙。

24.水池上安装有A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门注水。若果每次用两根水管同时工作，注满水池所用的时间如下表： A，B C，D E，A D，E B，C 4小时 12小时 20小时 6小时 30小时 试求注水效率最高的水管几小时可以将空池注满？放水效率最高的水管几小时可以将满水池放完？(2009年西工大附中入学题)

解答：看数据分析，先假设A注水，推出E放水，推出D注水， 推出C放水，推出B注水，注意A,B同时开，注满水池所用的时间为4小时，是所有给出的条件中最快的，可以看出假设A,B同为注水管是合理的。(完整的推理过程为：先假设A注水、B放水，由A注水推出E放水，由E放水推出D注水，由D注水推出C放水，由C放水推出B注水，有矛盾，故而假设A注水、B放水不成立；再假设A放水，B注水，从A放水推出E注水，从E注水推出D放水，从D放水推出C注水，从C注水推出B放水，有矛盾，故而假设A放水，B注水不成立。那就只能是A注水，B注水。) 设A管的效率为a，B管的效率为b；C管的效率为c；D管的效率为d； E管的效率为e。

a+b＝14 ……①

d－ c ＝112 ……②

a － e ＝120 ……③

d－ e＝16 ……④

b－c ＝130 ……⑤

①－⑤得：a+c＝11134－30＝60 ……⑥

答：D管注水效率最高，注满1池水要4.8小时；C管放水效率最高，排完1池水要8小时。

25.甲、乙、丙三队修一条公路，他们的工作效率不都相同，如果按照甲队1天，乙队1天，丙队1天的顺序轮流，刚好整数天完成；如果按照乙队1天，丙队1天，甲队1天的顺序轮流，就要多用半

天；如果按照丙队1天，甲队1天，乙队1天的顺序轮流，就要多用13天。甲队单独修需要15天，

那么乙队和丙队单独修各要多少天？

解答：设乙队的效率为a，丙队的效率为b

1o 设甲队1天，乙队1天，丙队1天，按照这样的顺序轮流，在第n个周期时刚好干完。则：n(115b+c)

＝1，那么，按照乙队1天，丙队1天，甲队1天的顺序，就多用半天，则

n(b+c+115)+12×b也应等于整体“1”，但

n(115b+c)＝n(b+c+115)＝1，那么：n(b+c+1115)+2×b就要大于“1”，这就出现了矛盾，所以，这种情况不成立。

2o 设甲队1天，乙队1天，丙队1天，按照这样的顺序轮流，在第n个周期后，甲队多干1天，刚好干完，

则n(115b+c)+115×1＝1

那么，按照乙队1天，丙队1天，甲队1天的顺序，在第n个周期后，乙队干1天，丙队再干半天完工，得

n(b+c+115)+b×1+12×c＝1

按照丙队1天，甲队1天，乙队1天的顺序轮流，在第n个周期后，丙队干1天，甲队再干 13天，完工，得 n(c+115+b)+c×1+13×115＝1

而，n(115b+c)＝ n(b+c+115)＝ n(c+115+b)(加法的交换律)

则b+12×c＝ c+1113×15＝15×1

得出：c＝245，1c＝22.5天；b＝2145，b＝22.5天；

答：乙队单独修要22.5天，丙队单独修要22.5天。

3o 设甲队1天，乙队1天，丙队1天，按照这样的顺序轮流，在第n个周期后，甲队干1天，乙队干1天，刚好干完，

则：n(

115b+c)+115×1+b×1＝1 那么：按照乙队1天，丙队1天，甲队1天的顺序，在第n个周期后，乙队干1天，丙队干1天，甲队再干半天完工，得：

n(b+c+115)+b×1+c×1+1115×2＝1

按照丙队1天，甲队1天，乙队1天的顺序轮流，在第n个周期后，丙队干1天，甲队干1天，乙队

再干13天，完工，得

n(c+115+b)+c×1+115×1+b×13＝1

而：n(115b+c)＝ n(b+c+1115)＝ n(c+15+b)(加法的交换律)

则：115×1+b×1＝ b×1+c×1+115×12＝ c×1+115×1+b×13

得出：c＝130，b＝120；1c＝30天，1b＝20天

答：乙队单独修要20天，丙队单独修要30天。

26.甲乙两人合干A、B两项任务，甲单独做A工程需9天，单独做B工程需12天；乙单独做A工程需3天，单独做B工程需15天。至少几天能完成任务？ (2010年师大附中分班题) 解：1o 先设甲乙两人合干完成A项任务后，再合干完成B项任务，需要时间为： 1+1＝9+20107(111143＝天≈9天 93)(121215)2o 我们来分析给出的条件，甲单独做A工程需9天，乙单独做A工程需3天，做A工程乙要比甲快得多，可以看出乙很擅长做A工程；甲单独做B工程需12天，乙单独做B工程需15天，做B工程甲要比乙快。我们设想让乙先单独完成A工程，同时，甲在单独做B工程；3天后，甲乙二人再合干B工程，这样共需时间为：

(113+12*3)960(11＝3+12×9＝8天

1215)8＜9,

答：至少8天能完成任务。

27.一件工作甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。如果先由甲做1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……，两人如此交替工作，那么完成任务共用了几小时？(2010年师大附中、交大附中入学题)

解答：11(11＝75

1218)甲做1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……，两人如此交替工作，一个

周期为2个小时，7个周期为14小时，7个周期后任务量还剩下1－7×(1111218)＝36

1这时轮到甲做，136小于112，可见甲用不了1天就能完成。所需时间为：361 ＝13小时

127×2+113＝143小时

答：完成任务共用了1413小时。

28．甲工程队每周工作6天休息1天，乙工程队每周工作5天休息2天，一项工程，甲队单独做要97天，乙队单独做要75天，如果两队合作，2010年3月3日开工，几月几日可完工？ 解答：97÷7＝13……6，甲队实际工作天数为97－13×1＝84天

75÷7＝10……5，乙队实际工作天数为75－10×2＝55天

两队合作，1周能完成的工程量为：184×6+155×5＝112514+11＝154

整体“1”中有6个25154，还余任务量＝1—25154×6＝4425154，154远小于1周能完成的工程量154，则，余

4下的工程量需要154＝4×4620＝18480(1≈1天， 1)154139214608455则工程需时间为：6×7+1＝43天，2010年3月3日开工，再过43天为2010年4月14日。 答：2010年4月14日完工。

29.蓄水池有一根进水管和一根出水管，单开进水管需5小时注满水；单开排水管需3小时排光一池水。现在池内有半池水，如果按照进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时，问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分)

解答：按照进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时，1个周期为2小时，每1个周期的

排水量为11223—5＝15。半池水中有3个15，即经过3个周期后，还余工作量为1212—15×3＝10，此时

轮到进水1小时，110+15×1＝310；再轮到排水1小时，310＜133×1，1个小时内就能排完，1091＝

103小时＝54分钟。

共需3×2+1+910＝7910＝7小时54分钟

答：7小时54分钟后水池的水刚好排完。

30.甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程比A工程的工作量多1

4

。如果让甲、乙、丙三队独做，

完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天，现让甲队做A工程，乙队做B工程，为同时完成这两项工程，丙队先帮乙队做工程若干天，再帮甲队干A工程，问丙队与乙队合干多少天？ (2009年交大附中分班题)

解答：设丙队与乙队合干a天；再帮甲队干A工程b天，同时完成两项工程。

甲、乙、丙三队独做，完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天；B工程比A工程的工作量多14；那么甲乙丙三队独做，完成B工程所需时间分别是20×555754＝25 天、24×4＝30 天、30×4＝2

天。 甲先干A工程a天，再与丙合干b天A工程并完成A工程，则，

111×a+(+)×b＝1，得b＝202030312—a ……①

5丙队与乙队合干a天B工程，乙队再干b天并完成B工程，则， 121(+)×a+×b＝1……② 307530将①代入②得，a＝15天 答：丙队与乙队合干15天。

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31.某项工程，由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1800元；由乙、丙两队承包，3天

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可以完成，需支付工程款1500元；由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1600元。现决

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定将工程承包给一个队，为确保工程在一个星期内完成，且支付的工程款最少，问应该将工程承包给哪个队？所支付的工程款是多少元？(2010年西工大附中入学题) 解答：设甲队的效率为a，乙队的效率为b，丙队的效率为c。

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则：(a+b) × 2＝1，即a+b＝ ………①

51234

(b+c) × 3＝1，即b+c＝ …….....②

41567

(a+c) × 2＝1，即a+c＝ ……….③

720

3①－②得，a—c＝， …..……..④

2010111③+④得，2a＝＝，a＝，＝4天

2024a11从而，代入①式得b＝，＝6天

6b代入③式得c＝

11，＝10天 10c题目要求要确保工程在一个星期内完成，丙单干要10天，故而不能交给丙干。只能交由甲或者乙来干。

2我们来看：由甲、乙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1800元，此时，由甲单干要1800元，

53由乙单干也要1800元；由乙、丙两队承包，3天可以完成，需支付工程款1500元，此时，由乙单

46干要1500元，由丙单干也要1500元；由甲、丙两队承包，2天可以完成，需支付工程款1600元，

7此时，由甲单干要1600元，由丙单干也要1600元。

通过对比分析：第二种情况最划算：由乙队单干，支付乙队1500元，6天完工。 答：将工程交给乙队来干，支付1500元工程款。