一、将军饮马
例1 如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A、3 B、10 C、9 D、9 【变式训练】
1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（ ）
APDEBCA、2 B、2
C、4 D、A
A CN
CP
OO MDB
第2题
第3题 第1题
2、如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内一定点，PO=10，C，D分别是OA，OB上的动点，则△PCD周长的最小值为
3、如图，∠AOB=30°，C，D分别在OA，OB上，且OC=2，OD=6，点C，D分别是AO，BO上的动点，则CM+MN+DN最小值为
4、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE．
（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x．用含x的代数式表示AC+CE的A长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式
B的最小值
二、等腰三角形中的分类讨论
例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为
（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为 【变式训练】
DBECD1
1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为
2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为
6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为
7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置 B
三、两圆一线定等腰 y例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上
找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个
【变式训练】
1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（ ）
OA．5 B．6 C．7 D．8
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，0），点B（0，1），在坐标
轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到 个．
3、在坐标平面内有一点A（2，
），O为原点，在x轴上找一点B，使O，A，
AxB为顶点的三角形为等腰三角形，写出B点坐标
4、平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，-3），试在y轴上找一点P，
使△APB为等腰三角形，求点P的坐标 5、如图1，已知一次函数 分别与x、y轴交于A、B两点，过 点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点
2
F，求证：∠AFC=∠ABC；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由
四、折叠问题
例4：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点D落在线段BC的点F处，则线段DE的长为
ADEBFC【变式训练】
1、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点B落在对角线AC的点F处，则线段BE的长为
GE
DD AAA FF
F
BCCBEE B第3题 第2题 第1题 2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，若，则折痕EF的长为
3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿AC将矩形折叠，使得点B落在点
DC3
E处，则线段EF的长为
4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．
（1）求点M、P的坐标；
（2）求折痕AM所在直线的解析式；
（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
例5 如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线． （1）如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由；
（2）如果∠A=60°，取BC中点F，连结点D、E、F得到△DEF，请判断该三角形的形状，并说明理由；
（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE
【变式训练】
1、如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．
（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2； （2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由
4
2、问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）填空：∠AEB的度数为 ； 拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．
全等之三垂直（K型图）
例1 如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF
1、如图，已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE
AEGCBF5
2、已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AG⊥CE，AG=CE求证：AG=CF
AEGCAF3、如图： 已知，AE⊥BD，CD⊥BD，∠ABC=90°，AB=AC，求证：AE=BD ，BE=CD
4、如图，点A是直线 在第一象限内的一点；连接OA，以OA
为斜边向上作等腰直角三角形OAB，若点A的横坐标为4，则点B的坐标为
5、已知：如图，点B,C,E在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE 证明：△ACB≌△CFE A
60° B
全等之手拉手模型
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1） △ABE≌△DBC D（2） AE=DC E。
H（3） AE与DC的夹角为60
F（4） △AGB≌△DFB
G（5） △EGB≌△CFB
CA（6） BH平分∠AHC B（7） GF∥AC
BDECF60°60°CE6
1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1） △ABE≌△DBC （2） AE=DC
。
（3） AE与DC的夹角为60
（4） AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1） △ABE≌△DBC （2） AE=DC
。
（3） AE与DC的夹角为60
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
DCEABD
3、如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？ B（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？
A
4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG≌△CDE是否成立？
AHBECCHGFDECH7
GADE（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？
5、两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE与CD.
问（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否与CD相等？
A（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？
钢架中的等腰三角形
例1 如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架．若
AB=BC=CD=DE…一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要 根
1、如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A= ．
2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，量得 ∠BP5P4=100°，则∠A=（ ）度．
A．10 B．20 C．15 D．25
3、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，
若P1A=P1P2，则∠A的取值范围 ． 4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，
DHE BC8
若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是
9
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