高考数学一轮复习椭圆练习含答案

一、选择题

x2y2

1.椭圆m＋4＝1的焦距为2，则m的值等于( ) A.5

B.3

C.5或3

D.8

解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0x2y2

2.“2m－26－mA.充分不必要条件 C.充要条件 解析 若

x2

y2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

＋＝1表示椭圆. m－26－m

m－2>0，

则有6－m>0，∴2m－2≠6－m，故“2x2y2

3.设椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) 3A.6

1B.3

1C.2

3 D.3

x2m－2

＋

＝1表示椭圆”的必要不充分条件. 6－my2

解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|2c

＝3.故e＝2a＝答案 D

1

4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为2，E的右焦点与抛

3

＝3.故选D.

|PF1|＋|PF2||F1F2|

物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( ) A.3

B.6

C.9

D.12

解析 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆Ex2y2c1的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝a＝2，2b212

所以a＝4，所以b＝a－c＝12.由题意知|AB|＝a＝2×4＝6.故选B.

2

2

2

答案 B

5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，3b

B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则a的值为( ) 3A.2

23B.3

93C.2

23D.27

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

222

则ax21＋by1＝1，ax2＋by2＝1，

22

by－by122222

即ax1－ax2＝－(by1－by2)，2＝－1，

ax1－ax22

b（y1－y2）（y1＋y2）b3

＝－1，∴a×(－1)×2＝－1，

a（x1－x2）（x1＋x2）b23

∴a＝3，故选B. 答案 B 二、填空题

6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.

2c＝8，a＝5，

由题意知c解得

c＝4，a＝0.8，

解析

又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.

x2y2

当焦点在x轴上时，椭圆方程为25＋9＝1，

y2x2

当焦点在y轴上时，椭圆方程为25＋9＝1. x2y2y2x2

答案 25＋9＝1或25＋9＝1

x2y2

7.(2017·南昌质检)椭圆9＋25＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.

解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

|PF1|＋|PF2|2

＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于则m＝|PF1|·|PF2|≤

2椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. ∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0). 答案 (－3，0)或(3，0)

x2y2

8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两→·PF→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是个焦点，P为椭圆上一点，且PF12________.

→·PF→＝(－c－x，－y)·解析 设P(x，y)，则PF(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，① 12b22

将y＝b－a2x代入①式解得

2

2

222222（2c－b）a（3c－a）ax2＝＝，

c2c2又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2， c32

∴e＝a∈，.

2332

答案 ，

23三、解答题

x2y2

9.设F1，F2分别是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线MN的斜率为4，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

2

b解 (1)根据c＝a－b及题设知Mc，a，2b2＝3ac.



22c1c1

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得a＝2或a＝－2(舍去).故C的离心率为2. (2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交b2

点D(0，2)是线段MF1的中点，故a＝4，即b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则 3

2（－c－x1）＝c，x1＝－2c.即 －2y＝2，1y1＝－1.9c21

代入C的方程，得4a2＋b2＝1.②

9（a2－4a）1

将①及c＝a－b代入②得＋4a＝1.

4a222解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7.

x2y2

10.(2017·宝鸡月考)已知点M(6，2)在椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)上，且椭6圆的离心率为3. (1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.



6解 (1)由已知得c ＝，a3a＝b＋c，

2

2

2

2

a＝12，解得2

b＝4.

62

a2＋b2＝1，

x2y2

故椭圆C的方程为12＋4＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0). y＝x＋m，

由x2y2消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，

＋＝1，124x1＋x231则x0＝2＝－4m，y0＝x0＋m＝4m， 13

即D－4m，4m.



因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，

m

2－4

即PD的斜率k＝

3m＝－1，解得m＝2. －3＋4

此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，

则|AB|＝2|x1－x2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32， 又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝19

所以△PAB的面积为S＝2|AB|·d＝2. x2y2

11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的45

上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥5，则椭圆离心率e的取值范围是( ) 5A.0，

5

35 C.0，

5

25

 B.0，

545 D.0，

5

3， 2

解析 依题意，知b＝2，kc＝2. 设圆心到直线l的距离为d，则L＝216

解得d2≤5.又因为d＝

21＋k2

，所以

45

4－d2≥5， 4≤， 251＋k1

1

解得k≥4.

2

c2c214252

于是e＝a2＝22＝，所以0＜e≤，解得0＜e≤.故选B. 255b＋c1＋k

2

答案 B

x22

12.椭圆4＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________. 解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)， →→则F1P＝(x＋3，y)，F2P＝(x－3，y). →→∵∠F1PF2为钝角，∴F1P·F2P<0， 即x2－3＋y2<0，①

x2x22

∵y＝1－4，代入①得x－3＋1－4<0，

2

38即4x2<2，∴x2<3.

26262626

. 解得－33，32626

 答案 －

3，3

13.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭x2y2b

圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.

33bb→＝

解析 由已知条件易得B－a，，Ca，，F(c，0)，∴BF

22223b→3b

c＋a，－，CF＝c－a，－，

2222→·CF→＝0， 由∠BFC＝90°，可得BF

33b2

所以c－ac＋a＋－2＝0，

2231

c2－4a2＋4b2＝0， 即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0， ∴3c2＝2a2.

c22c6所以a2＝3，则e＝a＝3. 6

答案 3 x2y2

14.(2017·西安质监)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点. (1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；

2

(2)若k＝4，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；

(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围.

解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5. 结合a2＝b2＋c2， 解得a2＝25，b2＝16.

x2y2

所以椭圆的标准方程为25＋16＝1.

x2y2a2＋b2＝1，

2122

得b＋8ax－a2b2＝0. 

(2)法一 由2y＝4x，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)， －a2b2

所以x1＋x2＝0，x1x2＝，

212b＋8a

由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2， →→因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，

1→→

所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝1＋8x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，

－a2b2

所以有＝－8，

212b＋8a结合b2＋9＝a2， 3

解得a2＝12，∴e＝2.

法二 设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，

2

所以x21＋y1＝9，

2

x21＋y1＝9，

y＝2x，

4又由椭圆及直线方程综合可得 xya＋b＝1.

1

1

2

122122

由前两个方程解得x21＝8，y1＝1，

将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9， 3解得a2＝12，故e＝2. x2y2

(3)由(2)的结论知，椭圆方程为12＋3＝1，

2

y0－y1y0＋y1y20－y1

由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k＝，所以k1k2＝22，

x0－x12x0＋x1x0－x12

x0x21

2231－－31－12y0－y1121又22＝＝－24. x0－x1x0－x21

1

即k2＝－4k，

1

11

由－2＜k1＜－1可知，8＜k2＜4. 11

故直线PB的斜率k2的取值范围是8，4.

