新题精选30题-2019年高考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(解析版)

2019年高考数学走出题海之黄金30题系列

专题二 新题精选

一、填空题

1．【数学文化与几何概型】谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．

【答案】【解析】

由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的， ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的， 设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为故答案为：

，

，

2．【传统文化与古典概型】《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“

”表示一根阳线，“

”表示一根阴线），从八卦中任取两

卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．

【答案】【解析】

从八卦中任取两卦，共有

种取法

若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算； 当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有种取法. 当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有

种.

是向量和的夹角），种取法.

则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为3.【新定义向量问题】定义平面向量的一种运算：则下列命题： ①

；②

；③若

且

，则

（

；其中真命

题的序号是___________________. 【答案】①③ 【解析】 ①由新定义可得②由新定义可得

，故恒成立；

=λ||||sin＜，＞，而（λ不成立；

③若=λ，且λ＞0，则+=（1+λ），若

，且λ＞0，则

=（1+λ），由新定义可得（

）

）⊗=|λ

|||sin＜，＞，当λ＜0时，

⊗=|（1+λ）|| || |sin＜，＞，而（⊗）+（⊗）=|λ|| |sin＜，＞+| || |sin＜，＞=|1+λ|| || |sin＜，＞．

综上可知：只有①③恒成立． 故答案为：①③

4．【新定义函数、对数函数的性质】设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），定义运算：

，

成立.

则以下四个结论：①（2τ4）τ8=8τ（4τ2）；②8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4；③（4τ2）=（2τ4）τ4＜（2τ8）τ4；④【答案】①②

．其中所有正确结论的序号为__．

【解析】

对于①，2τ4=log24=2，4τ2=log24=2， ∴（2τ4）τ8=2τ8=log28=3， 8τ（4τ2）=8τ2=log28=3，

∴（2τ4）τ8=8τ（4τ2），①正确； 对于②，8τ（4τ2）=3， 8τ4=log48=， ∴（8τ4）τ2=τ2=2τ8=log28=3，

∴（2τ8）τ4=3τ4=log34=

2，

2，

3＞2＞2，

∴8τ（4τ2）＞（8τ4）τ2＞（2τ8）τ4，②正确； 对于③，4τ2=2，（2τ4）τ4=2， （2τ8）τ4=log34，

∴（4τ2）=（2τ4）τ4＞（2τ8）τ4，③错误； 对于④，2τ∴（（

τ=τ

τ2， ）（2τ）+（2τ

）=）=

• +

2=

2＜0，

=

，

2＞0，

∴④错误．

综上，所有正确结论的序号为①②． 故答案为：①②．

5．【平面向量的应用】已知等边_______． 【答案】【解析】

的边长为2，若

，

，则

的面积为

以

的中点为原点，

所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则因为所以故

，

,

，

，

设的夹角为，

，

所以，，

点到直线的长度为，

.

的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线

，则实数的取值范围是________.

的面积为

6．【直线与抛物线的位置关系】抛物线

上存在点，使得

【答案】【解析】 由题得

在直线

上，设点， ；

，

又 即△即解得又

，，或

，

，

．

，

， ；

，

，

的取值范围是，

．

故答案为：

7．【直线与不等式】已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且

，则的取值范围是______.

【答案】【解析】

因为点所在直线因此可设

的中点

与点所在直线所在直线的方程为

平行， ，

所以有所以联立所以其交点为联立所以其交点为

的中点

，解得，

，

所在直线的方程为，解得，所以，解得，所以

， ， ， ，

令，

因为满足条件的点M的轨迹为线段RS， 所以

，

故答案是：

.

的通项公式是

,将集合

数列

的前45项和

_______．

，数列

的通项公式是

，集合

，则

8.【集合与数列】已知数列

中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为

【答案】2627 【解析】 因为数列所以集合

随着增大时，数列故考虑在

的通项公式是

， ，

中前后连续两项之间的差值越来越大，

中相应大小的项，

中的前后连续两项之间插入数列

因为是选取新数列的前45项， 故：

，数列，数列，数列，数列，数列，数列

接下来只需再增加也就是因为故终止于

. 中从

中无项可插入，

中无项可插入， 中可插入中可插入中可插入中可插入中的20项即可，

）开始的连续的20项，

，

，增加1项，共5项， ，增加2项，共，

，增加5项，共14项， ，增加10项，共25项，

（含

则

.

9．【平面向量的模与三角函数】在直角三角形点满足【答案】【解析】

建立如图所示的直角坐标系，

，则

中，

，

，

，若

，动

的最小值是______．

由题意可得：据此可得：则：

，其中

当

时，

， 取到最小值

，

，，

，

，

.

10．【几何体的体积与导数的应用】圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为棱柱

的上底面的顶点

的扇形.正四

均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四

棱柱体积的最大值为_____． 【答案】【解析】

设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为

=

圆锥高为

设正四棱柱V=

的底面边长为2a,高为h,则,设

=

,故

的最大值为

得

令

正四棱柱体积得

当

故答案为

，点E

11．【几何体的体积与导数的应用】如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，

是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．

【答案】（0，） 【解析】

因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF 设

,则

所以五棱锥

的体积为

或

当故

所以

的取值范围是（0，）

递增，

（舍）

故答案为（0，）

12．【直线与圆、直线与椭圆的位置关系】已知椭圆的方程为椭圆上不同于.的动点，直线

与直线

，

，，为椭圆的左右顶点，为

，则过，，三点的

分别交于，两点，若

圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为__________. 【答案】【解析】

首先证明椭圆的一个性质：

椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则

.

证明如下：设

，

，

，

由于点是椭圆上的两点，故，

两式作差可得：，

此时

.

故结论成立.

回到本题，由题意可知：设直线PA的方程为：设直线PB的方程为：

，则，则

， ， ，

故故

设所求的点为则：即

为外接圆的直径，

，

，

， ，解得：

.

，

，且

，

，(

舍去).

综上可得：所求点的坐标为：

13．【数列与导数的应用】已知实数，，，满足则的取值范围是_______．

【答案】【解析】

解：实数，，，满足所以若若所以，

则则

，

，

， ，

，

，且，

因为关于的方程为

所以解得：，

设因为故设函数

，

，

，由

得，要成立，

，则

，

因为故函数所以所以此时即当设函数

在单调递减，

在上恒成立，

，的值域为时，

，

， ；

，

因为

在

故函数所以所以此时即当综上：

在单调递增，

，的值域为时，

.

上恒成立，

， ， ，

14．【函数与平面向量】已知，是函数

，若【答案】【解析】

的最小值为0，则函数

（其中常数

的最大值为__________．

）图象上的两个动点，点

解：A，B是函数f（x）

（其中a＞0）图象上的两个动点，

当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x， ∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称． 当点A，B分别位于分段函数的两支上， 且直线PA，PB分别与函数图象相切时，

•

的最小值为0，

设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），

∴f′（x）＝e，∴kAP＝f′（x0）＝e∵

•

的最小值为0，∴

⊥

，

﹣x，解得x0＝a﹣1，

∴kPA＝tan45°＝1，∴e∴a＝1，∴f（x）max故答案为：

．

1，∴x0＝0，

15．【集合、等比数列与组合数性质】设整数有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对【答案】【解析】

设中的最大数为，其中则中必含元素，另元素故的个数为：

，整数可在中，

，

，集合2，，，A，B是P的两个非空子集则所

的个数为：______．

，

中必不含元素另元素故的个数为：从而集合对

的个数为

可在中，但不能都不在中，

，

，

．

故答案为：二、解答题

16．【数列与充要条件】给定数列

的最小值记为，

（1）设数列（2）设（3）设

，证明：

，对.

，该数列前项的最大值记为，后

项

．

为3，4，7，5，2，写出，，，的值；

是

，公比

的等比数列，证明：的充分必要条件为

成等比数列；

是公差为的等差数列.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】

（1）由题意，可知：

①当i＝1时，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1； ②当i＝2时，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2； ③当i＝3时，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5； ④当i＝4时，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5． （2）由题意，可知： ∵a1＞0，公比q＞1，

∴数列{an}是一个单调递增的等比数列．

∴①当i＝1时，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）； ②当i＝2时，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；

③当i＝3时，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q； … ∴对

，

.

2

因此∴

且 ，

为首项为a1（1﹣q），公比为q的等比数列．

是公差为的等差数列，则

，

，

.

，

的项，

，这与

，即

，故

相矛盾，故

∴

．

，

，

（3）充分性：若因为

，

必要性：若假设是第一个使则

是公差为的等差数列．

17．【时政与三角函数、导数的应用】为美化城市环境，相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡经过直径的两端点A，B及圆周上两点C，D围成一个多边形ABPQR，其中AR，RQ，QP，PB分别与半圆相切于点A，D，C，B．已知该半圆半径OA长30米，∠COD为60°，设∠BOC为． （1）求围挡内部四边形OCQD的面积；

（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值？并写出此时的值．

【答案】（1）【解析】

（1）连接OQ，因为QD，QC为圆O的切线，所以QD＝QC，OD＝OC＝30，

（2）围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900

平方米，此时

OQ＝OQ，所以△ODQ≌△OCQ，所以∠DOQ＝∠COQ＝30°，

又因为OD⊥DQ，所以

＝tan30°＝

，所以DQ＝10

，

所以S△ODQ＝OD·DQ＝150，所以SOCQD=2S△ODQ =300；

即围挡内部四边形OCQD的面积为300平方米；

（2）BP=OB tan，SOBPC=2S△OBP=900 tan，同理SOARD=2S△OAR=900 tan(－)，

SABPQR=900[tan+ tan(－)]＋300

即求 tan+ tan(－)的最小值，

，

tan+ tan(－)= tan+令则（*）=故Smin=900×

+300，由

≥

得x=(1，4)

（*）

，当且仅当x=2时取等号，此时，

平方米，此时

，

=900

答：围挡内部多边形ABPQR面积的最小值为900

18．【直线与椭圆的位置关系、平面向量】已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点

且斜率大于0的直线与交于

.

（1）求椭圆的方程； （2）当【答案】（1）【解析】

均不重合时，记

两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，

，，若，求证：直线的斜率为定值.

（2）见证明

解：（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，所以故因为因此

，

， ， ，

. ，

，

，所以

.

，

所以椭圆的方程为（2）设所以

因为斜率大于0， 所以设

， ，

，

则由同理可得

得，

，

，①

，②

， ，

， ，

，知

.

，

，

①②两式相乘得，又所以即即由题意所以

，所以

联立方程组，

得

，

依题意，

所以所以因为故得所以

， ， ，

，又，

，即直线的斜率为.

对于任意

满足

，都有

，

，其中为常数，则称数列

，

.

是“间

19．【新定义与数列】如果数列

等差数列”，为“间公差”.若数列（1）求证：数列（2）设为数列

是“间等差数列”，并求间公差；

的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；

（3）类似地：非零数列．．

对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，

为“间公比”.已知数列中，满足，

，都有

，，试问数列是

否为“间等比数列”，若是，求最大的整数．．．．．使得对于任意【答案】（1）见解析；（2）【解析】

；（3）63.

；若不是，说明理由.

（1）若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，则：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35， 两式相减得：an+2﹣an＝2．故数列{an}是“间等差数列”，公差d＝2． （2）（i）当n＝2k时，

（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153． （ii）当n＝2k+1时，

Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝

，

当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153， 则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．

（3）易知：cncn+1＝2018•（）n﹣1，则：cn+1cn+2＝2018•（）n，

两式相除得：，故数列{cn}为“间等比数列”，其间等比为．，

易求出数列的通项公式为：，

由于n＞

n+1

，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．

2m﹣1

要使数列为单调递减数列．只需即：解得

＞2m＞

2m+1

，

，

，即最大的整数.

20．【时政与概率统计】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图． （1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足X求Y的分布列和数学期望．

[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足

≤10的人数，

【答案】（1）【解析】

（2），分布列见解析

（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,,90,90,91,92,93，共有7名同学，

所以

，

． ，

的学生有人，

所以可估计这名学生考核优秀的概率为（2）由题意可得的所有可能取值为因为成绩

的学生共有8人，其中满足

所以，

，

，

．

所以随机变量的分布列为 所以即数学期望为

．

满足

，前和

．

，

21．【集合与数列】已知等差数列（1）求数列

的通项公式；

（2）若数列① 证明：

满足为等比数列；

．

② 求集合．

【答案】（1）【解析】 （1）设等差数列因为等差数列

的公差为d． 满足

，前和

，

（2）①见解析，②

所以所以数列

，解得

的通项公式为

前项的和为

． ．

（2）①设数列

由（1）及得

由③-④得 3-=-

．

所以又所以

，所以

，

，满足上式．

当

时，

．

，

由⑤-⑥得，

所以所以数列

，，

是首项为1，公比为2的等比数列．

②由，得，即．

记，由①得，，

所以，所以（当且仅当时等号成立）．

由所以设当当当当

，得． 时，时，时，时，

，

，由

，不合题意； ，此时

符合题意；

，得．

，不合题意；

，不合题意．

时， ，

，

．

下面证明当不妨设

所以所以

在上单调增函数， ，

所以当

时，

，不合题意．

综上，所求集合

22．【新定义、数列集合问题】设集合是集合

． …，

的“和谐子集”．

的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为求：（1）集合的“和谐子集”的个数； （2）集合的“和谐子集”的个数．

【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）【解析】 （1）集合

的子集有：，，，，

，

，

，

，．

，．

其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，所以的“和谐子集”的个数等于4． （2）记的“和谐子集”的个数等于，即另记

有个所有元素和为3的整数倍的子集；

有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数

倍余2的子集． 由（1）知，集合谐子集”

有以下四类（考查新增元素第一类 集合第二类 仅含一个元素同时含两个元素同时含三个元素第三类 仅含一个元素

…，

的“和谐子集”，共个； 的“和谐子集”，共个；

的“和谐子集”，共个；

的“和谐子集”，共个；

）：

的“和谐子集”，共个；

．

的“和

同时含两个元素第四类 仅含一个元素同时含有两个元素所以集合同理得所以所以数列所以又

的“和谐子集”共有

，，

，

的“和谐子集”，共个； 的“和谐子集”，共个；

的“和谐子集”，共个，

个． ．

是以2为首项，公比为2 的等比数列． ．同理得

，所以

，当

．

．

时，

取得极小值

.

23．【新定义与导数的应用】已知函数（1）求（2）记且

的值；

，设是方程

的实数根，若对于定义域中任意的，.当

恒成立，若存在请求出的值；

时，问是否存在一个最小的正整数，使得

若不存在请说明理由. （3）设直线

，曲线

.若直线与曲线同时满足下列条件：

①直线与曲线相切且至少有两个切点； ②对任意试证明：直线【答案】(1)【解析】 (1)由已知代入可得：此时，当

时，

，

. .所以；当

时，

.

.

，于是得：

，

，都有

.则称直线与曲线的“上夹线”. 是曲线

的“上夹线”.

；(2)答案见解析；(3)证明见解析.

所以当(2)为

时，

取得极小值，则的根，即

，

，

所以存在这样最小正整数(3)由当此时所以当所以

时，

.

，

是直线与曲线的一个切点， ，此时，

也是直线与曲线的一个切点，

.

使得，得

，

恒成立.

，也即

，即

.所以

，

符合题意. 单调递增，又.

.

.

即直线与曲线相切且至少有两个切点， 对任意即

，

，因此直线

是曲线、

. 的“上夹线”.

满足：≥，且对一切k≥2，k，是

与

的等差

24．【数列与充要条件】正数数列中项，是（1）若（2）求证：（3）记【答案】（1）【解析】

与，

的等比中项． ，求，的值；

是等差数列的充要条件是

，当n≥2(n，

为常数数列；

与的大小关系并说明理由．

)时，指出

.（2）见解析（3）

（1）由条件得解得又≥， 所以

（2）（充分性）：当（必要性）：因为

或

，即

，

，

． 为常数数列时，

是公差为零的等差数列,即充分性成立．

，

又当

为等差数列时，

对任意

恒成立．

所以因为所以

， ，即

，

，

从而所以

为常数列．

是等差数列的充要条件是

对恒成立，

综上可得为常数数列．

（3）因为任意又

，

，，

所以

．

从而

，

即则

，

，

所以

．

25．已知，是离心率为称点的连线恰好是圆（1）求椭圆的方程；

的椭圆

两焦点，若存在直线，使得，关于的对

的一条直径.

（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线时，直线

，，两直线分别与椭圆交于，两点，当

是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.

；(2)定点

【答案】（1）【解析】

（1）将圆的方程配方得所以其圆心为

半径为1.

由题意知，椭圆焦距为等于圆直径，所以又

，所以

，； ，所以直线

,

斜率存在，，

椭圆的方程为（2）因为设直线

消理得

，（*）

又即所以

理得

（*）代入得整理的所以直线

定点

得

,

26．【集合与组合数的性质】已知集合

，

，都有

（Ⅰ）写出一个具有性质的集合； （Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，（Ⅲ）求具有性质的集合的个数． 【答案】（Ⅰ）【解析】 （Ⅰ）

（Ⅱ）证明：假设存在

，使得，由题意

，矛盾，假设不成立，

所以，不存在（Ⅲ）设为使得

，使得

．

的最大正整数，则

，显然

，取，而

；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

.

；

，其中

．如果集合满足：对于任意的，那么称集合具有性质．

，则

为集合中元素的最大值，所以，

．

若同（Ⅱ）于是所以，下面证明假设

，则存在正整数，使得

不可能属于集合． ，由题意知

，

．

，所以

．

，集合中大于2000的元素至多有19个，所以不可能成立． ，则存在正整数，使得

，显然．

与为使得

时，对于任意的，则

，即

满足， ，其中

的最大正整数矛盾，所以

显然有

，

所以存在正整数使得而当若所以，

不可能成立．即成立．

成立．

均为符合题意的集合．

而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为

．

因此，满足条件的集合的个数为

．

27．【导数的几何意义与导数的应用】已知函数与轴平行. (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求函数(Ⅲ) 设证明：对任意【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

，；

，单调递减区间为

的单调区间；

,其中

为.

的导函数.

为常数）.曲线在点处的切线

的单调递增区间为；

(Ⅲ)见解析. 【解析】

(Ⅰ) 解:由而

，即

可得，解得

.

.

(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，设由当

知，当时，

，则

时，，从而的单调递增区间为

.

.即，从而

在

；

上是减函数.

综上可知，，单调递减区间为，所以

. ，.

.

(Ⅲ) 证明:因为对任意设则当当所以，设因为

时，时，的最大值为

，故有

，

，

等价于

， ，

.

单调递增. 单调递减. .则

，故有

.

，所以当时，，单调递增.

则则

因此，对任意

.即

，

，从而有

. .

且

.

28．【集合与排列组合、二项式定理】设

．

，集合的所有个元素的子集记为

（1）当

时，求集合

中所有元素之和；

（2）记为 中最小元素与最大元素之和，求的值．

【答案】（1）30；（2）2019. 【解析】

（1）因为含元素的子集有个，同理含于是所求元素之和为（2）集合

以为最小元素的子集有以为最小元素的子集有 以

为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．

的子集也各有个， ；

的所有个元素的子集中：

个，以为最大元素的子集有个，以

为最大元素的子集有

个； 个；

∴

，

．

．

29．【等差数列、等比数列与不等式】数列其前项的和，且

．

满足

对任意的

恒成立，为

（1）求数列（2）数列

的通项； 满足

．

①证明：数列

为等比数列；

，其中

②求集合【答案】(1) 【解析】 （1）设等差数列

．

(2) ①见证明；②

的公差为，因为等差数列满足，前和

，解得

所以数列

的通项公式为

（2）①设数列的前项和为，由（1）及 得

上两式相减，得到

=

所以又所以

，所以

，满足上式，

当

时，

，

，

两式相减，得

所以 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．

②由，得，即，∴．

令当当当当当下证当∵∴

，显然时，时，时，时，时，

，

，此时，不符合题意；

变为，即，

，符合题意，此时，不符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； 时，方程

；

：

∴当

，

，显然

时，方程

，从而

没有正整数解．

综上所述：．

）项，满足

）．

，

，

30．【数列与二项式定理】设整数数列{an}共有2n（且（1）当（2）当

【答案】（1）8；（2）

（

时，写出满足条件的数列的个数；

时，求满足条件的数列的个数．

.

【解析】 （1）

时，

，

且

则确定时，有唯一确定解 又若此时又

，则

，可知有种取法

，则有种取法 ，也有种取法

，当确定时，随之确定

个

故所有满足条件的数列共有：满足条件的所有的数列的个数为 （2）设

，则由得

①

由得，则：

即

②

用表示由②可知也是所以确定

由①式可知，应取

中值为的项数

中值为的项数，其中

的取法数为后，任意指定，使得

的值，有为偶数

种

这样的的取法是唯一的，且确定了的值 从而数列

所以满足条件的数列共有

唯一地对应着一个满足条件的

个

下面化简设

两展开式右边乘积中的常数项恰好为

因为所以

所以满足条件的数列共有

，又

中的系数为

个