一元一次不等式的解法(教师版)

一元一次不等式的解法（基础)知识讲解

【学习目标】

1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2。 能够熟练解一元一次不等式；

3。 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

【要点梳理】

要点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，

2x50是一个一元一次不等式． 3要点诠释：

(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜\"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法

1。解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法:

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：xa（或xa）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为axb(或axb）的形式（其中a0）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 要点诠释：

(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；

③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集

1。不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释：

不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合,是一个范围．其含义： 1

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中

3.不等式的解集的表示方法

(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x—2≤6的解集为x≤8．

（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

要点诠释：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点\":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念

1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ (1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)

31x8 （4)≥2 (5）2x+y≤8 4x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)

含有两个未知数． 【答案与解析】 解：（2）、(3）是一元一次不等式． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式

2.解不等式：2(x1)3(x1)2，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的． 【答案与解析】

解:去括号，得:2x23x32 移项、合并同类项，得:x3 系数化1得:x3

这个不等式的解集在数轴上表示如图：

【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：

2

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.

【答案】C。

3. （2016•连云港）解不等式

，并将解集在数轴上表示出来．

【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可． 【答案与解析】

解：去分母，得:1+x＜3x﹣3， 移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1， 合并同类项，得:﹣2x＜﹣4, 系数化为1，得：x＞2, 将解集表示在数轴上如图：

【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项． 举一反三： 【变式】若y1【答案】 解:∵y1x12x53，y21,问x取何值时，y1y2． 54x12x53，y21, 54 若y1y2，

x12x531 54101 即 x

6101 ∴当x时，y1y2．

6 则有

4。关于x的不等式2x-a≤—1的解集为x≤—1，则a的值是_________．

【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤—1即可得到关于a的方程，解方程即可求解．

3

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

【答案】－１

【解析】由已知得：xa1a1，由1，得a1． 22【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．

举一反三：

【变式1】如果关于x的不等式(a+1）x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________． 【答案】a1。 【变式2】求不等式1+【答案】 解：1+

≥2﹣

≥2﹣

的非正整数解．

6+3（x+1）≥12﹣2（x+7） 6+3x+3≥12﹣2x﹣14 3x+2x≥12﹣14﹣6﹣3 5x≥﹣11 x≥﹣2

所以非正整数解为0，﹣1，﹣2． 类型三、不等式的解及解集

5.对于不等式4x+7（x-2)＞8不是它的解的是（ ）。 A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】根据不等式解的定义作答． 【答案】D 【解析】

解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8,

当x＝4时，4x+7(x—2)＝30＞8, 当x＝3时，4x+7（x—2）＝19＞8， 当x＝2时，4x+7(x—2)＝8． 故知x＝2不是原不等式的解．

【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．

6。不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( )。

【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可． 【答案】C 【解析】

解：∵不等式x＞1 ∴在数轴上表示为:

4

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

故选C．

【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点;二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左,同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．

举一反三：

【变式】如图,在数轴上表示的解集对应的是( )．

A．－2＜x＜4 B。－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4 【答案】B. 【巩固练习】 一、选择题

1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ )。 A。5+4＞8 B。2x－1 C。2x≤5

D。

1－3x≥0 x2．已知a＞b，则下列不等式正确的是（ )。 A．-3a＞-3b B．ab 33 C．3-a＞3-b D．a—3＞b-3

3.下列说法中，正确的是（ ).

A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解

C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集 4.在下列解不等式

的过程中,错误的一步是（ )

A．去分母得5(2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得10+5x＞6x﹣3 C．移项得5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为1得x＞3 5.不等式43x2x6的非负整数解有（ ）.

A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 6。（2016•六盘水)不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质： (1）如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．

34a1，那么a_______；根据是________． 4329 (3）如果x3,那么x________；根据是________．

32 (2)如果（4）如果x—3＜-1，那么x_______2;根据是________．

8. 若a＞0，则关于x的不等式ax＞b的解集是________； 若a＜0，则关于x的不等式以ax＞b的解集是_______．

5

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

9。不等式x﹣4≤的解集是 ．

10.不等式4x67x12的非负整数解为 ．

11.（2017•新城区校级模拟)不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是 ． 12.若m＞5,试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______． 三、解答题

13．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）5x﹣12＜2(4x﹣3）； （2）

≥

﹣1．

14．a取什么值时，代数式3－2a的值：

（1）大于1？ (2)等于1？ (3）小于1？

15．y取什么值时，代数式2y－3的值： （1）大于5y－3的值？ (2)不大于5y－3的值？

16．求不等式64－11x＞4的正整数解．

【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C；

【解析】考查一元一次不等式的概念； 2。 【答案】D；

【解析】考查一元一次不等式的性质； 3. 【答案】A ；

4。 【答案】D;

【解析】解:去分母得，5（2+x）＞3（2x﹣1）

去括号得,10+5x＞6x﹣3, 移项得,5x﹣6x＞﹣3﹣10, 合并同类项得,﹣x＞﹣13，

系数化为1得，x＜13,故D错误． 故选D．

5。 【答案】C；

【解析】先求得解集为x2，所以非负整数解为：0，1，2； 6.【答案】D；

6

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

【解析】解：3x+2＜2x+3移项及合并同类项,得x＜1，故选D．

二、填空题

7。 【答案】(1）＞,不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3； (3）＜，不等式基本

性质2；（4）＜，不等式基本性质1； 8.【答案】xbb,x； aa 【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数,不等号改变方向。 9.【答案】x≥﹣2； 【解析】解：x﹣4≤

3（x﹣4）≤4x﹣10 3x﹣12≤4x﹣10 3x﹣4x≤﹣10+12 ﹣x≤2

x≥﹣2． 故答案为:x≥﹣2．

10．【答案】0,1，2；

【解析】解不等式得x2 11.【答案】5．

【解析】解:﹣x+2＞0，移项，得：﹣x＞﹣2，系数化为1，得：x＜6, 故不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是5． 12.【答案】xm1． m51mm1 5mm5 【解析】∵m5，∴5m0，所以（5－m)x＞1－m，可得：x三、解答题 13.【解析】

解:（1）去括号得：5x﹣12＜8x﹣6，

5x﹣8x＜﹣6+12， ﹣3x＜6， x＞﹣2，

在数轴上表示不等式的解集为： ；

（2)去分母得：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15,

9x﹣6≥10x+5﹣15， 9x﹣10x≥﹣15+5+6， ﹣x≥﹣4, x≤4，

7

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

在数轴上表示不等式的解集为：

．

14.【解析】

解:(1)由3—2a＞1，得a＜1；

（2)由3—2a＝1,得a =1； （3）由3-2a＜1，得a＞1． 15。【解析】

解：(1)由2y—3＞5y—3，得y＜0；

（2）由2y—3≤5y—3,得y≥0．

16.【解析】

解：先解不等式的解集为x＜

60， 11所以正整数解为1，2,3，4，5． 拓展：

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念

1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式?为什么？ （1）x0 (2）

11 (3）x22 （4）xy3 （5）x1 x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】 解：（1)是一元一次不等式．(2）(3）(4)(5）不是一元一次不等式，因为:(2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是1次，（4）不等式左边含有两个未知数，（5）不是不等式,是一元一次方程． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数;③未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式

2.求不等式

﹣

≤

的非负整数解，并把它的解在数轴上表

示出来．

【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简,使得分子、分母上的小数化成整数，然后根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数． 【答案与解析】 解：原不等式可化为：

﹣

≤

去分母，

得6(4x﹣10）﹣15（5﹣x)≤10（3﹣2x） 去括号，得24x﹣60﹣75+15x≤30﹣20x

8

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

移项，得24x+15x+20x≤30+60+75 合并同类项,得59x≤165 把系数化为1，得x≤解集x≤

,

的非负整数解是:0，1,2，

数轴表示是:

【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．

举一反三：

【变式1】解不等式：[(【答案】

32x1)2]x2

234x13x2 43移项、合并同类项得：x6

4系数化1，得x8

故原不等式的解集是x8。

解:去括号，得【变式2】代数式【答案】

解:根据题意得：解不等式

≤

，

的值不大于

的值,求x的范围．

去分母得:6﹣3（3x﹣1）≤2（1﹣2x)， 去括号得：6﹣9x+3≤2﹣4x， 移项得:4x﹣9x≤2﹣6﹣3, 合并同类项得：﹣5x≤﹣7， 解得：x≥．

3.m为何值时,关于x的方程：

x6m15m1x的解大于1？ 632【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x）,然后解不等式．

【答案与解析】

解： x-12m+2=6x-15m+3

5x=3m—1

x3m1 5 9

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

由

3m11 5解得m＞2

【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围． 举一反三：

【变式】已知关于x方程x【答案】1或2。

4.（2016•杭州模拟）若关于x，y的二元一次方程组＞﹣3.5，求出满足条件的m的所有正整数解． 【思路点拨】先解出方程组再解不等式． 【答案与解析】 解:由方程组

∴﹣0.5m﹣2＞﹣3。5， ∴m＜3,

∴满足条件的m的所有正整数解为m=1，m=2．

【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出x,y的具体值．能得出关于m的不等式是解此题的关键． 类型二、不等式的解及解集

5.若关于x的不等式xa只有三个正整数解，求a的取值范围. 【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围． 【答案】3a4。 【解析】

解：∵不等式xa只有三个正整数解，

∴三个正整数解为：1，2，3， ∴3a4, 【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．

举一反三：

【变式】已知xa的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． 【答案】3a4. 类型四、逆用不等式的解集

6. 若关于x的不等式mxn的解集为x的两个方程相减得:x﹣y=﹣0。5m﹣2

的解满足x﹣y

2xm2x的解是非负数，m是正整数，则m ． 333，则关于x的不等式5(2mn)xm5n0的解集 ．

10

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

【思路点拨】先根据第一个不等式确定m,n的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解． 【答案】x【解析】

解：由mxn的解集为x10. 73n33可知得：m0，，即nm 5m55将上式代入(2mn)xm5n0， 化简整理得：所以x7mx2m,又m0 510. 7【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m0．

【巩固练习】 一、选择题

1．已知关于x的不等式(m1)x|m|0是一元一次不等式，那么m的值是( ） 。

A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝—1 D．不能确定 2．由mn得到mana，则a应该满足的条件是（ ）。

A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数

3．已知y12x5，y22x3，如果y1y2，则x的取值范围是（ ）.

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞—2 D．x＜-2

4．设a，b是常数,不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx—a＜0的解集是( ）

A．x＞ B．x＜- C．x＞- D．x＜ 5．（2016•南充)不等式

＞

﹣1的正整数解的个数是（ ）

22A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6。关于x的不等式2xa2的解集如图所示，则a的值是（ ）.

A．0 B．2 C． -2 D．—4 二、填空题

7．（2016•绍兴)不等式

＞+2的解是 ．

，则m的值为 ．

8．若不等式(3m—2）x＜7的解集为x＞

11

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

9．比较大小:3a3b6________2a4b1。

10．已知—4是不等式ax5的解集中的一个值，则a的范围为________。 11．若关于x的不等式3xa0只有六个正整数解,则a应满足________。 12。已知xa的解集中的最小整数为2，则a的取值范围是 。 三、解答题

2

13．若m、n为有理数，解关于x的不等式（－m－1）x＞n．

14.当x为何值时,代数式—x+3的值比6x-3的值大．

15.当2(k3)222210kk(x5)xk的解集． 时，求关于x的不等式

43

22

16。已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，试比较A与B的大小．

【答案与解析】 一、选择题

1。 【答案】C；

【解析】m1,m10，所以m1； 2。 【答案】C;

【解析】由mn得到mana,不等式两边同乘以a，不等号方向没变，所以

222a20,即a0；

3. 【答案】B;

【解析】y1y2,即2x52x3，解得:x2. 4。 【答案】B；

【解析】解：解不等式+＞0，

移项得：＞—, ∵解集为x＜， ∴-=,且a＜0．

12

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

∴b=—5a＞0，=-． 解不等式bx—a＜0， 移项得：bx＜a，

两边同时除以b得：x＜, 即x＜-．

故选B．

5.【答案】D．

【解析】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2)﹣6, 去括号得：3x+3＞4x+4﹣6， 移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3, 合并同类项得：﹣x＞﹣5， 系数化为1得:x＜5,

故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个. 6。 【答案】A；

【解析】因为不等式2xa2的解集为xa2,再观察数轴上表示的解集为2x1,因此

二、填空题

a21，解得a0 2【解析】去分母,得:3（3x+13）＞4x+24， 去括号，得：9x+39＞4x+24， 移项，得：9x﹣4x＞24﹣39， 合并同类项，得:5x＞﹣15, 系数化为1,得:x＞﹣3， 故答案为：x＞﹣3． 8。 【答案】—

；

，

【解析】解：∵(3m—2）x＜7的解集为x＞

∴x＞∴

， =-,解得m=-．

．

故答案为：-

13

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

9. 【答案】＞；

【解析】(3a3b6)(2a4b1)ab50，

所以3a3b62a4b1。 10．【答案】a22222222225； 45。 4【解析】将—4代入得：4a5，所以a11.【答案】18a21； 【解析】由已知得:xaa，67，即18a21。 3312.【答案】3a2

【解析】画出数轴分析得出正确答案。 三、解答题 13.【解析】 解：

m210,∴m210.

2

∴（－m－1)x＞n ,

两边同除以负数（－m－1)得：x2

nn. m21m21∴原不等式的解集为：x14.【解析】

解：由题意得，—x+3＞6x-3,

n。 m21去分母得，-x+18＞6（6x-3), 去括号得，-x+18＞36x—18, 移项得，-x-36x＞—18—18， 合并同类项，—37x＞—36, 把x的系数化为1得,x＜因此，当＜15。【解析】 解：2(k3)．

时，代数式—x+3的值比6x—3的值大．

10k 36k-18＜10-k

k＜4

k(x5)xk4 kx-5k＞4x-4k

(k4)x＞k

14

初二下册 第二章一元一次不等式及不等式组

．

16.【解析】 解:，

当时,；当时，;当时，.

15