２０１１年９月 广西师范学院学报：自然科学版 Ｓｅｐ．２０１１ 第２８卷第３期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｖ０１．２８ ＮＯ．３ 文章编号：１００２—８７４３（２０１１）０３—０００１—０５ 紧积分算子特征值无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法 胡波，吴伟芬，隆广庆 （广西师范学院数学科学学院，广西南宁５３００２３） 摘 要：将无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法应用到紧积分算子特征值计算中．给出了ＭＬＳ的基本过程以及无网格Ｇａｌｅｒ． ｋｉｎ算法的一般理论，并讨论了无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法求解紧积分算子特征值问题的误差分析，最后给出特征值及特 征向量在该算法下的收敛阶． 关键词：特征值问题；紧积分算子；ＭＬＳ；无网格 中图分类号：Ｏ１７５．３ 文献标识码：Ａ １ 引 言 紧积分算子特征值问题在数学、物理以及工程等领域有着很广泛的应用，因此其数值计算方法一直 是计算数学领域的一个研究热点． 目前普遍使用的求解紧积分算子特征值问题的数值方法主要有有限元方法和边界元方法等，这两 种方法无一例外地需要依赖于一个预先定义的通过节点连接在一起的网格或单元信息，因此在进行自 适应分析时都需要重新划分网格．为解决这个问题，以小波函数为基础的多尺度算法应运而生，但是用 这种方法求解紧积分算子特征值问题时所需计算量太大，虽然通过快速小波算法得到了极大的改善，但 是相比较而言计算量仍然很大．产生上述问题的根源在于这些线性系统方程的形成利用了与节点密切 相关的单元或网格信息，为克服这些困难自然产生了在数值处理过程中摆脱单元或网格的想法，在离散 节点上建立局部支集或具有紧支特性的函数来构造近似函数的无网格方法由此形成．无网格方法不需 要预先建立网格，而且在求解过程中离散得到的系数矩阵阶数很小，从而有效地解决了上述问题． 祝家麟等最先在文献［１］中用网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法求解积分方程，本文将网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法应用到紧 积分算子特征值计算中，通过理论证明得到了特征值和特征向量的收敛阶，说明无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法求 解紧积分算子特征值问题可行、有效． ２ 预备知识 ２．１特征值问题的基本知识 设 ： —Ｘ的紧积分算子．考虑特征值问题：即求特征向量 ∈ 及特征值 ∈ｅ满足 ＝Ａｕ，Ｉｌ“Ｉ｝＝１， （２．１） 其中ｘ＝Ｌ （Ｅ）， （ｓ）＝ Ｋ（ ， ）“（ ）ｄ ，内积记为（ ， ）＝ “（ｚ） （ｚ）ｄ ，范数为 Ｉ＝ ． 收稿日期：２０１１—０７—０６ ＊基金项目：国家自然科学基金（１１０６１００８）；广西自然科学基金（２０１１ＧＸＮＳＦＡ０１８１２８）；２０１０年广西高校优秀人才资 助计划；广西研究生教育创新计划项目（２Ｏ１０１０６０３０７ＯｌＭ０６，２０１１１０６０３０７０３Ｍ０１） 作者简介：胡波（１９８７一），男，硕士研究生． 。２・ 广西师范学院学报：自然科学版 第２８卷 令ＢＬ（ｘ）表示ｘ中所有有界线性算子的空间，其范数Ｉｆ 『Ｉ＝ｓｕｐ 记ｐ（ ）和 （ ）分别为算子 的预解集和谱集．即 ｐ（ ）：｛ｚ∈Ｃ：（ 一 ）一 ∈ＢＬ（Ｘ）｝， 以及 的谱集 （ ）＝Ｃ＼ｐ（ ）． Ｉ：ＩＩ Ｉｌ≤１， ∈ｘ｝．我们 因为 是紧的积分算子，我们令 是 的一个非零特征值，其代数重数为ｍ．记Ｉ１是以 为中 心， （０＜ ＜ｄｉｓｔ（ ， （ ）＼｛ ｝））为半径一个闭的Ｊｏｒｄａｎ曲面，则ｒ ｐ（ ），并且 ｍａｘ｛ （ 一ｚ ）一 ＩＩ：ｚ∈ｒ｝≤ Ｃ， 这里Ｃ是与 无关的常数．我们又令关于 和 的谱投影算子为 Ｐ＝一击ｌ（二７１＂ＺＪ 一ｚ＿ａ）～ｄｚ． ｒ 显然，当 充分大时，ｒ 』Ｄ（ ），并且ｍａｘⅧ（ 一 ） １１：ｚ∈Ｉ１｝≤ｃ，这里ｃ是与 无关的常 数． 如果Ｐ ＝一 ．１ （ 一 ）ｄｚ是关于算子 的谱投影算子，且秩为 ，那么，Ｆ内的谱点由 －．， ．我们记 ＝ 为这 个特征值的代数均 个特征值组成，分别记为 值． 对于 的非零子空间 和 ，令 艿（ ，Ｚ）＝ｓｕｐ｛ｄｉｓｔ（ｙ，Ｚ）：Ｙ Ｅ ，Ｉ ｌＹ『Ｉ＝１｝， 那么，称 （ ，Ｚ）＝ｍａｘ｛ （ ，Ｚ）， （ ，Ｙ）｝ 为空间 与 的间隙． 定理２．１当 充分大时，存在与 无关的常数Ｃ，使得 ８（Ｒ（Ｐ），Ｒ（Ｐ ））≤ｃ Ｉｌ（ 一 ） Ｉｌ，ｌ Ａ一 ｌ≤ｃ ｆ１ （ 一 ） ｌＩ． 具体证明分别参看［２］和［３］． ２．２基本原理 设 是 上的有界开集，Ｅ是ｎ的边界，历：ｎ＋Ｅ，屁 中的点记为Ｘ：（ｚ ， ２），Ｙ＝（Ｙ。， ）． 对任何Ｘ∈Ｅ，假设Ｘ的影响区域是Ｒ（Ｘ），半径为ｒ（Ｘ），则Ｒ（ｘ）是边界Ｅ中的一部分且能被曲线 坐标表示如下： Ｒ（ｘ（ ））：＝｛Ｙ（；）∈Ｅ，ｌ ｉ—ｓ ｌ≤ｒ（ｘ）｝， 也是 （２．２） ｉ是边界点ｙ的曲线坐标．假设Ｃ 表示具有Ｓ次连续导数的函数．显然Ｅ如果是 曲线，则Ｒ（Ｘ） 曲线，因此对ｍ＜ ，ａ Ｘ（Ｓ）ｌｏｓ 是有界的．设点ｘ ∈Ｅ（１＜ｉ＜Ｎ）为边界点，则在Ｒ（ｘ） 上，ｘ ∈Ｒ（ｘ）的曲线坐标记为Ｓ 并假设有ｋ（ｘ）个边界点在Ｒ（Ｘ）上，用， ， ：，…， 表示那些点的 全部序列数．并且定义为Ａ（Ｘ）＝｛， ， ：，…，Ｌ｝．从（２．２）中可知，ｘ 的影响区域是 Ｒ ：：Ｒ（Ｘ （５））＝｛Ｙ（ｉ）∈Ｅ，ｌ ｊ—Ｓ Ｉ≤ｒ（ ）｝， 其中｛Ｒ ｝ 是Ｅ的有限开覆盖即ＥＣ ＵＬ Ｒ ．用 Ｒ ：＝｛Ｘ∈Ｅ，ｘ ∈Ｒ（Ｘ）｝ （２．３） 表示包括边界点Ｘ 的影响区域的边界点集，则可知对于不同的边界点Ｘ，影响区域是从一点变化到另 一点，因此Ｒ ＝Ｒ 当且仅当对于任何ｘ∈Ｅ，ｒ（ ）是常数． ２．３ ＭＬＳ（ｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ）方法的基本近似 首先假设ｘ（Ｓ）ＥＥ，对于给定函数 ∈Ｒ（Ｘ）的一个逼近函数记为 ，定义为 第３期 胡波，等：紧积分算子特征值无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法 卢 ・３ ・ 口（ｘ）≈ （ｘ（ｓ））＝∑ （ｓ） （ｓ）＝ ｒ（ｓ）口（ｓ）， ０ （２．４） 其中 是逼近算子，口ｆ（Ｓ）是与Ｘ（ｓ）相关的系数．令 （Ｓ）＝［ 。（ｓ）， （Ｓ），…， （ｓ）］，其中 （Ｓ） 表示多项式的基．显然，ｄｉｍ（ （Ｓ））＝卢＋１． 对给定在Ｒ（ｘ）上的估计点Ｘ（Ｓ。），有 （ｓ）＝［１，ｓ—Ｓ。，…，（Ｓ—ｓ ） ］ ． 实际上，Ｓ—Ｓ。是边界点Ｓ对估计点ｓ 的局部相关坐标．因此，当边界点就是估计点时，即ｓ—Ｓ。三０时， （Ｓ）１ 一 ：ｏ＝［１，０，…，０］ ． 对于向量。（Ｓ），我们定义泛函 为 （ｓ）＝∑Ｗ （ｘ）［ （ｓｉ）口（ｓ）一 ］ ， 其中∞ （ｘ）：＝∞（ｓ—ｓ ）是权函数，满足（Ｄｉ（ｓ）∈ｃ ， ＞０，∞ （ｓ）＞０，∑ 。∞ （ｓ）＝１． 为求 （ｓ）使得泛函 达到极小，问题转为求 （ｓ）对于ｓ的稳定点，即求ｓ使其满足 （ｓ）＝０．从 而，有 口（Ｓ）＝Ａ （Ｓ）Ｂ（ｓ）ｑ， （２．５） 其中， ［Ａ（ｓ）］业＝∑ｃｕ （ｓ） （ｓ ） （ｓｊ）， ［Ｂ（Ｓ）Ｊ ＝∞ｆｌ（ｓ） （ｓｌｋ），０≤ ≤志，１≤志≤志（Ｘ），＾∈Ａ（Ｓ）， ｑ＾＝ｖＩ＾． 将（２．５）代入（２．４）得 （ｘ）≈ （ｘ（ ））＝∑ （ ） ， （２．６） （ｘ）＝∑ （ｓ）［Ａ （ ）Ｂ（ ）］ ， ｛ Ｉｋ ， ７， 则（２．６）可以重写为 （ｘ）≈ （ｚ）＝∑ （∈Ａ（ ） ｘ） ＝∑ （＝１ ｘ） ， 在此，我们称 为ＭＬＳ的形函数．并且记 （ｒ）＝ｓｐａｎ｛ ，１≤ ≤Ｎ｝． ３特征值问题无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法 令Ｓ 一Ｘ 的线性投影算子，其中子空间Ｘ ＝ｓｐａｎ｛ （ｚ），ｉ＝１，２，…，以（ｚ）｝ ．且由于 Ａ（ ）≤Ｎ，所以 ．利用该投影算子，特征值问题 ＝２ｕ． 转化为求近似解 ∈Ｘ 及 ∈Ｃ使得 Ｊ（ｎＵ ＝Ｘ．ｕ ， 其中 ＝Ｓ Ｌｘ为算子 的一个近似算子． 下面我们分析算法的误差估计．为此我们先给出一些假设和一些技术性的引理． 命题３．１对于任何ｘ（ｓ）∈ｒ，Ａ（ ）非奇异的必要条件是在Ｒ（Ｘ）上存在至少ｐ个边界点． 命题３．２ 如果多项式的基 ，∈ ，０≤ ≤Ｊ９， ＞Ｏ，及 ∈Ｃ （Ｒ ），１≤ ≤Ｎ， ＞０，则 ∈ Ｃ面“（ ，乞 （ ）． ・４・ 广西师范学院学报：自然科学版 第２８卷 根据（２．３）和（２．７）司知 命题３．３ ＭＬＳ的形函数有紧支集，且 （ｘ）∈Ｃ （Ｒ ）． 假设３．４若存在常数ｈ使得ｈ＝ｓｕｐ ｛ｒ（ｚ）｝，则表明任何边界点的影响区域的半径小于ｈ． 记号３．５记ｙ＝ｍｉｎ（Ｅ ， ， ），其中 表示边界曲线的连续阶数． 引理３．６设Ｓ 是Ｌ （Ｅ）一 的投影，则对于任意 （ｘ）∈Ｈ （Ｅ），有 ｌＩ （ｘ）一ｓ （ｘ） （ ）≤ｃ Ｉｌ （ｘ）ｉ （Ｅ），ｌ 其中（ｙ＋１）≤ｋ≤ｍ，０≤ ≤ｙ，优，ｋ是非负整数，Ｃ是与ｈ无关的常数． 证明具体的证明请看参考文献［１］． 引理３．７ 设Ｋ（・，・）∈Ｃ 一，ｍ２（Ｅ×Ｅ），其中 ， 为正整数，则当＾一。时ＩＩ 一 ｌｌ一０． 证明 由Ｋ（・，・）∈Ｃ ｚ（Ｅ×Ｅ）可推知， ∈Ｈ （Ｅ）．又由引理３．６，可知 ， ｓ 『｝： （Ｊ—ｓ ） ｌｌ：ｓｕｐ．６ Ｌ２（Ｅ）旦 。＝ 从而， ｓ 【ｌ≤ｃ 由Ｈ６１ｄｅｒ不等式知 ． （３．１） Ｉ Ｉ把（３．２）代入（３．１）得 （ ）＝ｆ ＩＫ ’。（ ）“（￡）ｄ￡ｌ≤Ｃ ｌ， 一（３．２） ｓ＾ ≤ ， 显然，当矗一０时， 一 ｌ一０，其中Ｃ，Ｃ ，Ｃ：是常数． 定理３．８设Ｓ 为ｘ—Ｘ 的线性投影算子，核函数为Ｋ（・，・）∈Ｃ ｔ，ｍ２（Ｅ×Ｅ），则 （Ｒ（Ｐ），Ｒ（Ｐ ））≤ｌｌ（ 一Ｓｈ ） ｌｌ＝。（ｈ ）， ｌ 一 ｌ≤ｌ （１ 一Ｓｈ ） ＝。（＾ ）， 证明 由算子 的有界性及引理３．６和定理２．１，有 ｌＩ（ 一ｓ ） ≤ 从而， （Ｊ—ｓ ） ＜Ｃｈ ． ８（Ｒ（Ｐ），Ｒ（Ｐ ））≤ｌｌ（ 一ｓ ） ＝。（ ）， 另一方面，由定理２．１有 一工 Ｉｉ≤ｌｌ （ 一Ｓｈ ） 【ｌ， 由Ｓ 为 —Ｘ 的线性投影算子知 （ｊ—Ｓ ）＝（Ｊ—Ｓ ） ， 因为， 『 Ｉｓ （ 一５ ） ≤Ｉ｝ｓ （ 一ｓ ） ≤ Ｃ ｌ （ｆ—Ｓ ） ≤ｃ ｌ （Ｉ—ｓ ）ｆ—ｓ ）ｌ ＩＩ≤ＩＩ（ —ｓ ） ＩＩ ， 也即是 ｝ — １≤Ｃ （ —Ｓ ） 又由 ， ＩＪ（ —Ｓ ） Ｉ１≤ｈ ， 即得 —Ｊｌｉ ｌ≤ 其中Ｃ是与ｈ无关的常数且Ｃ是变化的． ． 第３期 胡波，等：紧积分算子特征值无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法 ・５ ・ 参考文献： ［１］ＬＩ Ｘｉａｏｌｉｎ，ＺＨＵ Ｊｉａｌｉｎ．Ａ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｊ ＣＯｍ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ，２００９， ２３０：３１４—３２８． ［２］ＫＵＬＫＡＲＮＩ Ｒ Ｐ．Ａ ｎｅｗ ｓｕｐｅｒｅｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐ，２００６，７５：８４７—８５７． ［３］ＯＳＢＯＲＮ Ｊ Ｅ．Ｓｐｅｃｔｒａｌ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｃｏｍｐａｃｔ Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐ，１９７５，２９：７１２—７２５． ［４］ＡＴＫＩＮＳＯＮ Ｋ Ｅ．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｏｓｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｋｉｎｄ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９７． ［５］ＢＯＯＲ Ｃ ｄｅ，ＳＷＡＲＴＺ Ｂ．Ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ：Ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｉｎｇ［Ｊ］．Ｍａｔｈ ｏＣｍｐ，１９８０，３５：６７９－６９４． ［６］ＣＨＡＴＥＬＩＮ Ｆ．Ｓｐｅｃｔｒａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９８３． ［７］ ＺＵＰＰＡ Ｃ．Ｇｏｏｄ ｑｕａｌｉｔｙ ｐｏｉｎｔ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅ ａｐｐｏｒｘｉｍａｔｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｎｕｍｅｒ Ｍａｔｈ， ２００１，４７：５７５—５８５． ［８］ＺＵＰＰＡ Ｃ．Ｅｒｒｏｒ ｓｅｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓ［Ｊ］．Ｂｕｌｌ Ｂｒａｚ Ｍａｔｈ ＯＳｃ（Ｎ Ｓ），２００３，３４：２３１—２４９． ［９］ ＭＩＲＺＡＥＩＡ Ｄａｖｏｕｄ，ＤＥＨＧＨＡＮ Ｍｅｈｄｉ．Ａ ｍｅｓｈｌｅｓ ｂａｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐ Ｎｕｍｅｒ Ｍａｔｈ，２０１０，６０：２４５．２６２． ［１０］ＫＵＬＫＡＲＮＩ Ｒ Ｐ．Ａ ｎｅｗ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒ Ｆｕｎｃｔ Ａｎａｌｙ ａｎｄ Ｏｐｔｉｍｉｚ，２００３，２４：７４—８５． ［１１］ＫＵＬＫＡＲＮＩ Ｒ Ｐ，ＧＮＡＮＥＳＨＷＡＲ Ｎ．Ｓｐｅｃｔｒａｌ ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔ ｕｓｉｎｇ ａ ｎｅｗ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＡＮＺＩＡＭ Ｊ，２００４，４６： ２０３—２０４． ［１２］ＳＣＨＵＭＡＫＥＲ Ｌ Ｌ．Ｓｐｌｉｎｅ ｆｕｅｔｉｏｎｓ：ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆ｓｏｎＳ，１９８１． ［１３］ＳＬＯＡＮ Ｉ Ｈ．Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｃｎｃｅ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ．Ｐｌｅｎｕｍ ｐｒｅｓｓ，１９９０：３５—７０． Ｃｏｍｐａｃｔ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｍｅｓｈｌｅｓｓ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｅｒｒｏｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ ＨＵ Ｂｏ，ＷＵ Ｗｅｉ—ｆｅｎ，ＬＯＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｑｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃＳｉｅｎｃｅｓ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３００２３，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ＭＬＳ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅ ｍｅｓｈｌｅｓｓ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ＭＬＳ；ｍｅｓｈｌｅｓｓ ［责任编辑：班秀和］
