抛物线知识点及基础训练题

抛物线

1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 右 左 上 下 参数p几何意义 开口方向 标 准方 程 焦 点位 置 焦 点坐 标 准 线方 程 范 围 对 称轴 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) X正 p(,0) 2px 2X负 (p,0) 2px 2Y正 p(0,) 2py 2Y负 p(0,) 2py 2x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR X轴 X轴 Y轴 （0,0） e1 2p Y轴 顶 点坐 标 离心率 通 径 焦半径A(x1,y1) AFx1焦点弦长AB 焦点弦长AB的补充p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2(x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p 以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为，AB2psin22p 若AB的倾斜角为，则AB cos2A(x1,y1) B(x2,y2) p22x1x2 y1y2p 411AFBFAB2 AFBFAFBFAFBFp3．抛物线y22px(p0)的几何性质：

1

(1)范围 因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，

当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：e1，焦点F(pp,0)，准线x，焦准距p． 22(4) 焦点弦：抛物线y22px(p0)的焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p．

弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。

p4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，焦点F(,0)

2p2(1) 若AB是抛物线y2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2，y1y2p2。

42(2) 若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB(3) 已知直线AB是过抛物线y2px(p0)焦点F ,

22P（α≠0）。 2sin11AFBFAB2 AFBFAFBFAFBFp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两(5) 两个相切：○

垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点，则

AB(x1x2)2(y1y2)21k2|x1x2|11|y1y2| k2练习题

方程及性质

1、抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x轴,抛物线过点(5,25),则抛物线的标准方程是( ) A.y=-2x B.y=2x C. y=-4x D.y=-6x

2、设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。

3、对于抛物线y24x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是 A．(,0) B．(,2] C．[0，2]

22

2

2

2

D．（0，2）

4、设O为坐标原点，F为抛物线y4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF4，则点A的坐标是（ ）

A．(2,22),(2,22)B．（1，2），（1，－2）C．（1，2）D．(2,22)

x2y2x2y25、已知椭圆221(a＞b＞0)，双曲线221和抛物线y22px (p＞0 )的离心率分别为e1、e2、

ababe3，则（ ） A. e1e2＜e 3 B.e1e2＝e3 C. e1e2＞e3 D.e1e2≥e3

2

抛物线曲线几何意义

6、动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等,则P的轨迹方程为____. 7、已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,则p的值为

1 (B) 1 (C)2 (D)4 2118、点P到点A(,0)，B(a,2)及到直线x的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值

22113113是( ) A． B． C．或 D．或

222222(A)

9、点M与点F4,0的距离比它到直线x50的距离小1,求点M的轨迹方程。

10、已知点F(1,0),直线l:x1,点B是l上的动点,若过B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线

11、以抛物线y28x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程． 12、已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1, 0)，B(1, 0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y21(y0) B．1(y0)C．1(x0) D．1(x0) A．3443433413、过抛物线y2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB，再以OA,OB为邻边作矩形

2AOBM，求点M的轨迹方程。

14、在直角坐标系中，到点(1，1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是（ ） A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 15、已知实数x,y满足条件x1y322xy12,则点Px,y的运动轨迹是（ ）

A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆

焦半径

16、从抛物线y4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ） A．5

22B．10 C．20

D．15

17、已知A,B,C为抛物线y2px(p0)上不同的三点, F为抛物线的焦点,且FAFBFC0,求

|FA||FB||FC|________

18、 已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足

3

FAFBFC0,FAFBFC6,则抛物线的方程为 .

19、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .

220、设F为抛物线y4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若FA＋FB＋FC＝0．△OFA，

22△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3,则S12＋S2＋S3的值为（ ）

A．9 B．6 C． 4 D． 3

21、 已知抛物线C:y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK2AF，则

AFK的面积为( ) （Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32

x2y21和抛物线y24x,斜率为0的直线AB在第一象限内分别交椭圆与抛物线于A,B22、已知椭圆43两点,点M(1,0),则|BM||AM|的最大值为 （ ） A、

111 B、 C、 D、1 1242223、过抛物线yax（a0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、

q，则

1411等于（ ） A．2a B． C．4a D．

2aapq过焦点弦

24、过抛物线y2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直

线 （ ）A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有无穷多条 D．不存在

25、过抛物线yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，

2则

mnmn等于（ ） A.

12a B.

14a C. 2a D.

a4

26、抛物线y24x的焦点为F,准线为，与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x

轴上方的部分相交于点A，AB⊥，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ） A、33

B、43

2 C、63 D、83 27、已知F是抛物线C：y4x的焦点,过F且斜率为3的直线交C于A，B两点.设FAFB,则

FA与FB的比值等于___________. 最值问题

28、已知抛物线y4x,焦点为F,A(2,2),P为抛物线上的点,则PAPF的最小值为_____

21)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小29、已知点P在抛物线y4x上，那么点P到点Q(2，

4

2

值时，点P的坐标为______________.

30、已知点P是抛物线y24x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x3)2(y3)21上一动点Q的距离为d2,则d1d2的最小值是_______ . 31、若实数x,y满足y2x3,且yx,则2y的取值范围是_______________ x12 5