中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

知识关联图

等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型

一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）真题演练

【练1】 （2013中考）在△ABC中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕

点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；

ABE60，判断△ABE的形状并加以证明； （2）如图2，BCE150，（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC45，求的值．

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BAC，M是AC的中点，P是线【练2】 （2012年中考）在△ABC中，BABC，段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．

（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜

想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．

例题精讲

考点1：手拉手模型：全等和相似

包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种

位置的旋转模型，与残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

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（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

【例1】 （14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE．

（1）如图1，连接BG、DG．求证：BGDE；

（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BGBD． ①求BDE的度数；

②请直接写出正方形CEFG的边长的值．

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【题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？

【例2】 （2014年西城一模）四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，

BEF90，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。

（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系与的值；

ECGC（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

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A G F D

F A G D

E E B

图

C

B

图

C

【题型总结】 此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉与到的中点辅助线你还能说出几种？

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【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在△ABC中，BC4，以线段AB为边作△ABD，

使得ADBD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DCDE，

CDEADB．

（1）如图2 ，当ABC45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

ADBC

E

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）．

AAACDBDDBCBCEEE

图2 图3 备用图

【例4】 （13年房山一模）

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、

BE相交于点P，求证：BEAD．

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1

图（2）如图2，在△BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③DPEEPCCPA60；

（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．

ECAPEDACPBAPDBD

BCD图1

F图2

【题型总结】 F到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

考点2： 角含半角模型：全等

秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等 .

ADADFADFBECBECGBECFADGBECF

ADABGECFBDECAFBDEC

【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分

正方形的两个外角，且满足MAN45，连结MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

【例2】 （2014年平谷一模）

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EAF45，（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，

连接交

EF、BE、FDEFEFBEFDBD，则之间的数量关系是：．连结，

222AE、AFM、NMN、BM、DNMNBMDN于点

，且

满足

，请证

明这个等量关系；

（2）在△ABC中，ABAC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当BAC60，DAE30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；

②如图3，当BAC，(090)，DAE1时，BD、DE、EC2应满足的等量关系是____________________．【参考：sin2cos21】

BEMNC

【题型总结】 AAA

F图1DBD图2ECBDE图3C角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？

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考点3：对角互补模型

常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法

（全等型—90°）

ACDAMDCOEBONEB

（全等型—120°）（全等型—任意角）

ADCADCADCOOEBOEBFEB

【例1】 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中

A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

ABDC

【例2】 已知：点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APBMON180． （1）利用图1，求证：PAPB；

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（2）如图1，若点C是AB与OP的交点，当SPOB3SPCB时，求PB与PC的比值；

MMAPCBNTACOPTOBN

图1 图2

【题型总结】 对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？

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【例3】 (初二期末)已知：如图，在△ABC中，ABAC，BAC，且60120．P为△ABC内部一点，且PCAC，PCA120．

（1）用含的代数式表示APC，得APC =_______________________； （2）求证：BAPPCB； （3）求PBC的度数．

APBC

【题型总结】 一般涉与到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。

（

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全能突破

【练1】 （2015年昌平九上期末）如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，

BACDAE 90，ABAC，ADAE．连接BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF． （1）如图1，求证：BDCE；

（2）如图1，求证：AF是CFD的平分线； （3）如图2，当AC2，BCE15时，求CF的长.

BFMBFEENMNC

CADAD图1图2

【练2】 （2014西城九上期末）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.

（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；

（2）△ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M顺时针旋转（0o≤≤90o）

角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；

（3）△ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M旋转（0o≤≤90o）角，

作DHBC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．

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图1

图2

备用图

【练3】 （2014年朝阳一模24题）在△ABC中，ACBC，在△AED中，ADED，点

D、E分别在CA、AB上，

（1）图①，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是______________； （2）若ACBADE120，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是______________；

（3）若ACBADE2(090)，将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）

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【练4】 （2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，

BAC＝90，AB＝AC，点，E在边BC上，DAE＝45．若BD＝3，CE＝1，

求DE的长．

CED

CDFBEDA图2

DFCE

A

图1

BA图3

B小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转90º，得到ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以与DAE＝45，可证

FAE≌DAE，得FE＝DE．解FCE，可求得EF (即DE)的长．

请回答：在图2中，FCE的度数是__________，DE的长为_______RtABC____．

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参考小辉思考问题的方法，解决问题：

180．E，F分别是边BC，CD如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，B＋D＝1上的点，且EAF＝BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

2

【练5】 （11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转(045)，旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，

交BC,CD于点E、点F，联结EF、EQ．

（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）； （2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

AQFPBECD

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【练6】 （2015年延庆九上期末）已知：△ABC是O的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD， （1）如图1，BAC，直接写出ADB的大小（用含

的式子表示）；

（2）如图2，如果BAC60，求证：BDCDAD；

（3）如图3，如果BAC120，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；

（4）如果BAC，直接写出BDCD与AD之间的数量关系.

DDDBCBCOOOBCAAA 图2

图1

【练7】 （1)如图，在四边形ABCD中，

ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，

且EAF=12BAD．求证：EFBEFD;

(2) 如图在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，

E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

(3) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BADC180，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且EAF12BAD， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请

证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

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3

图FADADADFBCFBECBECE

【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1,

ABC中，ACB30ºBC6，AC5，，在ABC

内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PAPBPC的最小值．

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60º，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中，PAPBPC的最小值为________； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

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①如图3，菱形ABCD中，ABC60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PAPBPC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；

②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PAPBPC值最小时PB的长．

EAADAPB图1

D

CPB图2

CB图3

C

【练9】 （2014年西城二模）在ABC，BAC为锐角，ABAC，AD平分BAC交BC于点D．

（1）如图1，若ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；

（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．

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①如图2，若ABE60，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；

②如图3，若ACAB3AE，求BAC的度数． .

【练10】(2014年1月西城八年级期末试题—附加题)已知：如图，MAN为锐角，AD平

分MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，AB AC.

（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于

点G，求证：EBFCAG；

（2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想EBF与

CAG的数量关系并证明你的结论.

备用图1

备用图2 【练11】（2014海淀一模）在△ABC中，ABAC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到

线段CD，旋转角为，且0180，连接AD，BD．

（1）如图1，当BAC100，60时，CBD的大小为__________； （2）如图2，当BAC100，20时，求M的大小；

（3）已知BAC的大小为m（60m120），若M的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．

AADBCBDC

图1

图2 .

小结与复习

1、旋转的基本模型特征 2、费马点问题

3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线 4、线段旋转的特点

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