应用平面向量基本定理解题题型归纳

平面向量基本定理常用题型归纳

何树衡 刘建一

平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1,2使得a=1e12e2

平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：

一、基本题型随处可见

直接利用1,2唯一性求解

例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，OA(2,4),OB(2,2)，若

xOAyOB3AB，求实数x,y的值

4x2y) 解：xOAyOBx(2,4)y(2,2)(2x2y，ABOBOA(4,2) 2x2y12 4x2y6∴x3

y3即x为－3，y为3.

构建三角形，利用正余弦定理求解

例2：如图，平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA与OB夹角为120º，OA与OC的夹角为30º，OAOB1,OC23，若OCOAOB(,R),则

= ，= .

解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中，

OCsin60

ODsin90B CDsin30∴DC2,OD4,即=4，=2

C 30O A D

二、共线问题常考常新

感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。

常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为OP(1t)OAtOB

A 反之，若OP(1t)OAtOB则A，P，B三点共线 （特别地令t=

111,OPOAOB称为向量中点公式） 222D P B 12例3：在△ABC中，ANNC，P是BN上的一点，若APmABAC，则实

113数m的值为

解：∵ANA N P C B 11NC，∴ANAC

43∵B,P,N三点共线，∴ APmAB(1m)AN 又∵APmAB83AN，∴m=

1111感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力

11BC，OD与BA相交于E，求证：BE=BA 341证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA，只需证E，E′重合即可

411设OAa，OBb，BDa，ODba

33111313OE'=OBBE'bBAb(ab)(a3b)(ba)OD

444434例4：在平行四边形OACB中，BD=∴O,E′,D三点共线 ∴E,E′重合，∴BE=

1BA 4O E D B

A 三、区域问题渐成热点 C 由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.

定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足OCxOAyOB(x,yR)，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，

表(2)

表(1)

动点C所在区域(不含边界) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ 表(2) 充要条件 动点C在线上 C在线段AB上 C在线段AB的延长线上 C在线段BA的延长线上 C在线段OA上 C在线段OA的延长线上 C在线段AO的延长线上 C在线段OB上 C在线段OB的延长线上 C在线段BO的延长线上上 Ⅳ B Ⅳ Ⅰ A Ⅶ 充要条件 O Ⅵ x,y满足条件 x>0，y>0且x+y<1 x>0，y>0且x+y>1 x>0，y<0且x+y>1 x>0，y>0且x+y>1或x<0,y>1 X<0,00,y>0 x+y=1 x<0,y>0 x>0,y<0 0≤x≤1 y=0 x>1 x<0 0≤y≤1 x=0 y>1 y<0 在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现.

动点所在位置定，判断系数满足条件

例5：如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若OPaOP1bOP2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a,b满足（ ）

P2 A．a>0,b>0

B．a>0,b<0 Ⅱ Ⅰ C．a<0,b>0 Ⅲ O P1 D．a<0,b<0 Ⅳ 答案：B

例6：如图OM∥AB，点P在射线OM，射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且OPxOAyOB，则x的取值范围是 ，当x=－围是 .

答案：x<0

1时，y的取值范213y 22T P M S B A O M B A O 解：①设OS∥1AB，过S作OB平行线交AB延长线于T，则OP的终点P只能在线段2ST上（不包括端点）

②由区域V性质得x<0,01111AB(OBOA)OAOB，此22221,当T在AB的延长线上时，由表(2)得C在线段AB延长线上时x<0,y>0且x+y=1 211313∴OP=－OA+yOB, －+y=1 ∴y= 即22222系数满足条件定，判断动点所在位置 例

7：平面上定点

A、B

满足OAOBOAOB2，则点

{POPOAOB,A．22 答案：D

1}(,R)所表示的区域面积是（ ） y

C．42

D．43 A′ BO B x B．23

A 解：令OA与x轴的非负半轴重合，OB在第一象限内

∵OA=OB=OAOBcos∠AOB=2 ∵在第一象限，>0,>0 P点形成图形的面积为S△AOB=S△A′OB=3

∴SA′B′AB=43 巩固练习及参

∴∠AOB=

 3∴+≤1

∴OPOAOB

11OAOBsin∠AOB=×2×2×sin=3,同理

2231.已知a(1,2),b(3,4),c(15,22)，若cab，求，

2.已知△ABC和点M满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m=( )

A．2 B．3 C．4 3.如右图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.

4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量

B 21O≤y≤的APxAByAD，则O≤x≤,

D．5

A N P M C 23概率是（ ）

A．

1 3 B．

2 3 Ｃ．

1 4

D．

1 2

4. A

参：1.=3，=4

2. B 3. 3：1

参考文献：

[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9). [2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).

[3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).