[学习目标]
1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． [知识链接]
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、
i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多
少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
答 以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.
[预习导引]
1．极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝
f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
要点一 求函数的极值
1
例1 求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
3
解 f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；
由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 (－2,2) － 2 0 (2，＋∞) ＋ f(x) 283 － 34 28由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.
34
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
3规律方法 求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
3
跟踪演练1 求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
x3
解 函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
x33
f′(x)＝－2＋＝
3
xxx－1
. x2
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 3 (1，＋∞) ＋ 因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3. 要点二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. ∵x＝±1是函数f(x)的极值点， ∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根， 即3ax2＋2bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系，得
2b－＝0， ①3ac3a＝－1 ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③ 13由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
22133
(2)由(1)知f(x)＝x－x，
223233
∴f′(x)＝x－＝(x－1)(x＋1)，
222当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪演练2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 解 因为f(x)在x＝－1时有极值0， 且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
f′－1＝03－6a＋b＝0所以即 2
f－1＝0，－1＋3a－b＋a＝0.a＝1a＝2解之得或
b＝3b＝9.
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9. 要点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x1＝－2，x2＝2.
因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0； 当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)．
当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42； 当x＝2时，f(x)有极小值5－42.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示． 所以，当5－42＜a＜5＋42时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－42，5＋42)． 规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 跟踪演练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围． 解 f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6， 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1， 可知f(x)在(－1,1)上是减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数． f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)
或
即k＜－4或k＞4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
1．下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A．导数值为0的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数 答案 D
解析 由极值的概念可知只有D正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 答案 C
解析 在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 C．a＜－1或a＞2 答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0， 解得a＞6或a＜－3.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________． 答案 9
解析 f′(x)＝18x＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝
2
B．－3＜a＜6 D．a＜－3或a＞6
＝1，18
2a所以a＝9.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、基础达标 1．
函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( ) A．1个 C．3个 答案 A
解析 当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 要条件 答案 B
解析 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0， 不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 C．6 答案 D
B．3 D．9
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必B．2个 D．4个
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6. 又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6， ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立， ∴ab的最大值为9.
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( ) A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11 C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 答案 C
解析 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值． 5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________． 答案 (1,4)
解析 y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0⇒
x＝±a，不难分析，当1＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内
有极小值．
7．求函数f(x)＝x2e－x的极值． 解 函数的定义域为R，
1
f′(x)＝2xe－x＋x2·x′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，
e
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，0) － 0 0 0 (0,2) ＋ 2 0 4e－2 (2，＋∞) － 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2. 二、能力提升
8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝3sin[f(x0)]2 πx解析 由f(x)＝3sin的图象知，在x＝x0处， D．(－∞，－1)∪(1，B．(－∞，－4)∪(4， πxm.若存在f(x)的极值点x0满足x20＋ mπx0π1 f(x0)＝3，或f(x0)＝－3，即[f(x0)]＝3，又＝＋kπ(k∈Z)，得x0＝k＋m(km22 2 |m| ∈Z)，∴|x0|≥， 2∴x＋[f(x0)]≥ 20 2 m2 4 ＋3，∴ m2 4 ＋3 ∴m>2或m<－2.故选C. 9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A．∀x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 答案 D 解析 x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．故A错；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故－x0应是f(－x)的极大值点，B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故D正确． 10． 如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 1 ①函数y＝f(x)在区间－3，－内单调递增； 2 1 ②函数y＝f(x)在区间－，3内单调递减； 2 ③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 1 ⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值． 2则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③ 解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递1 减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数， 211 故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤. 2215 11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m＞0)有极大值－，求m的值． 22 解 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)， 2 令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m. 3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞， －m) ＋ －m 0 极大值 3 2－m，m 3－ 23m 2m，＋∞ 3＋ 0 极小值 1353 ∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m＋m＋2m－4＝－，∴m＝1. 2212．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1. 1 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1. 3 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 1－∞，－ 3＋ 1－ 30 极大值 1－，1 3－ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 15所以f(x)的极大值是f－＝＋a，极小值是f(1)＝a－1. 327 (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0， x取足够小的负数时，有f(x)＜0， 所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 15 由(1)知f(x)极大值＝f－＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1. 327 ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0， 即 55 ＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1， 2727 5 ∴当a∈－∞，－∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 27三、探究与创新 13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0. (1)解 f′(x)＝ex－ 1 x＋m. 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1. 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝ex－ 1. x＋1 x1 函数f′(x)＝e－在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′ x＋1(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)证明 当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时， f(x)＞0. 当m＝2时， 函数f′(x)＝ex－ 1 在(－2，＋∞)单调递增． x＋2 又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得 ex0＝ 1 x0＋2 ，ln(x0＋2)＝－x0， 1 2 x0＋1 故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝ x0＋2x0＋2 综上，当m≤2时，f(x)＞0. ＞0. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容