2017-2018学年北京市大兴区高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 设集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（ ）

A. B. C. D. 2. 已知sinα= ，α∈（ ， ，则tanα=（ ）

A.

B. B.

C. C.

D. D.

3. 下列函数中，在区间[2，4]上为增函数的是（ ）

A.

4. 已知函数f（x）=sin（x+ ）+1，则（ ）

A. 是偶函数，最大值为1 C. 是奇函数，最大值为1

B. 是偶函数，最大值为2 D. 是奇函数，最大值为2

5. 要得到函数f（x）=sin（2x+ ）的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）

A. 横坐标缩小为原来的 倍，再向左平移 个单位 B. 横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移 个单位 C. 横坐标缩小为原来的 倍，再向左平移 个单位 D. 横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移 个单位

3

6. 函数f（x）=x+2x-1存在零点的区间是（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 设a=ln3，b= ，c=sin ，则a，b，c之间的大小关系是（ ）

A. B. C. D.

8. 列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过A地200km的C地，假设列车

匀速前进5h后从A地到达B地，则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图象为（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. 函数y=tanx的定义域为______．

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x

10. 函数y=2-1的值域为______．

11. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2， ），则f（x）=______．

12. 如果函数f（x）对任意的正实数a，b，都有f（ab）=f（a）+f（b），则这样的函

数f（x）可以是______（写出一个即可）

13. 若角α的终边与单位圆的交点为（m， ）（m∈R），则cos2α=______． 14. 函数y=f（x）的图象如图所示，图中曲线l与直线m无限接近，但永不相交，则f

（x）．

①值域为______； ②单调区间为______；

③y∈______时，只有唯一的x与之对应．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. （1）计算 +（ ）

+log2 ；

（2）计算sin +cos +tan（ ）．

16. 已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）= ． （1）写出f（x）的表达式；

（2）用定义证明：f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．

17. 已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x），设h（x）=f（x）-g（x）．

（1）求h（x）的定义域；

（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由； （3）若h（x）＞0，求x的范围．

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18. 已知函数f（x）=2sin（2x+ ）．

（1）用“五点法”作出函数y=f（x）在一个周期内的图象； （2）写出f（x）的单调区间；

（3）写出f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．

19. 已知质点P绕点M逆时针做匀速圆周运动（如图1），质点P相对于水平直线l的

位置用y（米）表示，质点在l上方时，y为正，反之，y为负，|y|是质点与直线l的距离，位置y与时间t（秒）之间的关系为y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，

|φ|＜ ）其图象如图2所示．

（1）写出质点P运动的圆形轨道半径及从初始位置到最高点所需要的时间； （2）求y=Asin（ωt+φ）的解析式，并指出质点P第二次出现在直线l上的时刻．

2

20. 已知函数f（x）=x+mx+m-7，m∈R．

（1）若（x）在区间[2，4]上单调递增，求m的取值范围； （2）求f（x）在区间[-1，1]上的最小值g（m）； （3）讨论f（x）在区间[-3，3]上的零点个数．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}， 则A∩B={x|1＜x＜2}． 故选：C．

根据交集的定义写出A∩B．

本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】D

【解析】

解：sinα=，且α∈（cosα=则tanα=故选：D．

=

，π），

=-， =

．

直接利用同角三角函数的基本关系式求解即可． 本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值． 3.【答案】C

【解析】

解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y=

，在（1，+∞）上为减函数，不符合题意；

对于B，y=-x2，为二次函数，开口向下，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意； 对于C，y=lnx，为对数函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意； 对于D，y=（）x，为指数函数，在R上为减函数，不符合题意； 故选：C．

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 4.【答案】B

【解析】

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【分析】

本题考查诱导公式的化简和余弦函数的性质，属于基础题． 利用诱导公式化简，结合余弦函数的性质可得答案． 【解析】

解：函数f（x）=sin（x+

）+1=cosx+1；

那么f（-x）=cos（-x）+1=cosx+1=f（x） 则f（x）是偶函数； ∵y=cosx的最大值为1， ∴f（x）的最大值为2； 故选B．

5.【答案】C

【解析】

解：要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，

只需将函数y=sinx的图象的横坐标缩小为原来的， 得到：y=sin2x，

再把函数的图象再向左平移得到：y=sin（2x+故选：C．

直接利用三角函数关系式的平移和伸缩变换求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 6.【答案】B

【解析】

3

解：∵函数f（x）=x+2x-1在（0，+∞）上连续单调递增函数，

个单位，

），

f（ ）=+-1＜0，f（）=+1-1＞0，f（ ）f（ ）＜0

）内，

3

∴函数f（x）=x+2x-1只有1个零点，在（

故选：B．

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根据函数的单调性，函数的连续性，利用区间端点的函数值的符号，结合零点判定定理，判断出答案．

本题考查了函数的单调性，零点判定定理，属于容易题，计算量比较小． 7.【答案】A

【解析】

解：a=ln3＞lne=1 0.39＜b=由sin即sinsin2c=sin

＜0.4．

cos==1

≈0.38 =

，

=2sincos+cos2=

∴a＞b＞c． 故选：A．

借用中间值和三角函数公式化简即可比较大小． 本题考查三角恒等变换及化简求值，是中档题． 8.【答案】B

【解析】

解：当t=0时，y=200． 列车的运行速度为

=100km/h，

=2h，

∴列车到达C地的时间为故当t=2时，y=0． 故选：B．

当列车到达C地时，距离y=0，求出列车到达C地的时间即可得出答案 本题考查了函数图象的意义，属于基础题 9.【答案】{x|x≠kπ+ ，k∈Z}

【解析】

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解：根据正切函数y=tanx的定义知， 其定义域为：{x|x≠kπ+故答案为：

，k∈Z}．

．

根据正切函数y=tanx的定义，写出定义域即可． 本题考查了正切函数的定义与应用问题，是基础题． 10.【答案】{y|y＞-1}

【解析】

xxx

解：由于2＞0，∴2-1＞-1，故函数y=2-1的值域为（-1，+∞），

故答案为 （-1，+∞）．

xxx

由于2＞0，可得2-1＞-1，由此求得函数y=2-1的值域．

本题主要考查指数函数的值域，属于基础题． 11.【答案】 【解析】

a

解：设幂函数的解析式为y=x，

∵幂函数y=f（x）的图象过点（2，∴

=2a，

），

解得a=， ∴f（x）=故答案为：

．

），构造方程求出

设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（2，指数的值，即可得到函数的解析式．

本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法． 12.【答案】f（x）=lgx

【解析】

解：函数f（x）对任意的正实数a，b，都有f（ab）=f（a）+f（b）， 考虑对数函数f（x）=lgx，

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满足f（ab）=lg（ab）=lga+lgb=f（a）+f（b）， 故答案为：f（x）=lgx．

由条件，即乘积的函数值为函数值的和，考虑对数函数，即可得到结论． 本题考查抽象函数的解析式和性质，注意条件的特点，即乘积的函数值为函数值的和，考查推理能力，属于基础题． 13.【答案】 【解析】

2

解：角α的终边与单位圆的交点为（m，）（m∈R），∴m+=1，求得m=±

=cosα，

则cos2α=2cos2α-1=2•-1=， 故答案为：．

由题意利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再利用二倍角公式求得cos2α 的值．

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．

14.【答案】[2，5] [-3，0] [2，5]

【解析】

解：①根据函数的图象，函数的值域为：y∈[2，5]． ②函数的单调递增区间为[-3，0]． ③当y∈[2，5]时，只有唯一的x与之对应． 故答案为：①[2，5]②[-3，0]③[2，5]

直接利用函数的图象，进一步求出函数的值域和单调区间．

本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15.【答案】解：（1） +（ ）=4-π+ -4

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+log2

= ．

（2）sin +cos +tan（ ） =-sin +0-tan =-

=- ． 【解析】

（1）利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解．

本题考查指数式、三角函数化简求值，考查指数性质、运算法则及诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】解：（1）根据题意，设x＜0，则-x＞0，

则f（-x）= ，

又由函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）=- ， ， ＜

则f（x）= ；

， ＞

（2）证明：根据题意，设x1＜x2＜0， 则f（x1）-f（x2）=- -（- ）=

，

又由x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，x1x2＞0，

则f（x1）-f（x2）＜0，

即函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数． 【解析】

（1）根据题意，设x＜0，则-x＞0，可得f（-x）的解析式，结合函数的奇偶性可得f（x）的解析式，综合即可得答案；

（2）根据题意，设x1＜x2＜0，由作差法分析可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

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17.【答案】解：（1）根据题意，h（x）=f（x）-g（x）=lg（x+1）-lg（1-x），

-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1）； 则有 ，解可得

（2）根据题意，h（x）=lg（x+1）-lg（1-x），其定义域为（-1，1），关于原点对称，

则h（-x）=lg（1-x）-lg（x+1）=-[lg（x+1）-lg（1-x）]=-h（x）， 则函数h（x）为奇函数，

（3）若h（x）＞0，即lg（x+1）＞lg（1-x）， 则有x+1＞1-x且-1＜x＜1， 解可得0＜x＜1，

即x的取值范围为（0，1）． 【解析】

（1）根据题意，h（x）=f（x）-g（x）=lg（x+1）-lg（1-x），由对数函数的定义域可得

，解可得x的取值范围，即可得答案；

（2）根据题意，由函数的解析式分析可得h（x）=-h（x），即可得函数的奇偶性； （3）若h（x）＞0，即lg（x+1）＞lg（1-x），进而可得x+1＞1-x且-1＜x＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意求出函数的定义域，属于基础题．

18.【答案】解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+ ），五点法作出函数f（x）在一个周

期内的图象， 列表： 2x+ x y

0 - 0 2 π 0 -2 2π 0 第11页，共14页

作图：

（2）令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：kπ- ≤x≤kπ+ ，可得f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+ ]，k∈Z；

k∈Z，kπ+ ≤x≤kπ+，fx）[kπ+ ，令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，可得：可得（的单调递增区间为： kπ+]，k∈Z；

（3）根据题意，若x∈[0， ]，即0≤x≤ ， 则 ≤2x+ ≤ ，

结合正弦函数的图象，可得当2x+ = ，即x= 时，函数f（x）=2sin（2x+ ）有最大值2， 当2x+ = ，即x= 时，函数f（x）=2sin（2x+ ）有最小值- ． 【解析】

（1）列表描点连线用五点法即可作出函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象． （2）利用正弦函数的单调性即可求解单调区间． （3）根据题意，若x∈[0，]，计算可得得答案．

本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．

19.【答案】解（1）圆形轨道半径就是函数的振幅A=2，从初始位置到最高点所需要的

时间为 秒

（2）t=0时，y=-1，∴-1=2sinφ，∴sinφ=- ，

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≤2x+≤，结合正弦函数的图象可

又|φ|＜ ，∴φ=- ， ∴y=2sin（ωt- ）， 又函数图象过（ ，2），

∴2=2sin（ ω- ），∴sin（ ω- ）=1， ∴ ω- = +2kπ，k∈Z，取k=0，得 ∴ω=π，∴y=2sin（πt- ），

令y=0得2sin（πt- ）=0，∴πt- =π，∴t= 秒， ∴质点P第二次出现在直线l上的时刻为 【解析】

（1）圆形轨道半径就是函数的振幅A=2，从初始位置到最高点所需要的时间为秒

（2）根据图象令t=0可求出φ，代最高点可求得ω，令y=0可解得质点P第二次出现在直线l上的时刻

本题考查了由y=Asin（ωx+φ）+B的部分图象确定其定义域．属中档题． 20.【答案】解：（1）f（x）=x2+mx+m-7（m∈R）开口向上，对称轴为x=- ，

若函数f（x）在[2，4]上具有单调递增，则 ， 所以m≥-4；

（2）①当 即m≥2时，函数y=f（x）在区间[-1，1]单调递增， 所以g（m）=f（-1）=-6；

②当 ＜ ＜ ，即-2＜m＜2时，

函数y=f（x）在区间[-1，- ]单调递减，在区间[- ，1]上单调递增， 所以g（m）=f（- ）=

；

③当 即m≤-2时，函数y=f（x）在区间[-1，1]单调递减， 所以g（m）=g（1）=2m-6，

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，

综上g（m）= ， ＜ ＜

，

2

（3）∵对称轴x= ，△=m-4m+28＞0恒成立，

＜ ＜

①当 即 时，函数在区间[-3，3]上有2个零点．

② 此时m不存在

③ ，

④f（-3）•f（3）≤0，则（2-2m）（4m+2）≤0，

解可得，m≥1或m 时，f（x）在区间[-3，3]上有1个零点． 【解析】

（1）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出m的范围即可； （2）通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最小值即可． （3）结合二次函数的实根分布即可求解

本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

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