维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年６月 思茅师范高等专科学校学报 Ｊｕｎ．２０ｏ７ 第２３卷第３期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｍａｏ Ｔｅａｃｈｅｒ： ｏＨｅｇｅ Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．３ Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程的困难与Ｄｉｒａｃ方程的建立 李继弘 （１．西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州７３００７０； ２．陇东学院物理与电子工程学院，甘肃庆阳７４５０００） 【摘 要】 文中分析了Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程在应用于微观粒子时所出现的负几率和负能量困难，阐明 ＾ ＾ Ｄｉｒａｃ方程的建立可以避免方程所带来的负几率困难，同时揭示了Ｄｉｒａｃ方程中算符Ｏｔ和Ｂ的代数性质及其 矩阵表示。 【关键词】Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程；困难；Ｄｉｒａｃ方程；算符 【中图分类号】０４１３．１ 【文献标识码】Ａ【文章编号】１００８—８０５９（２００７）０３—００４４—０３ １ 引言 精细结构给予满意的解释。此外，狄拉克还预言 Ｓｃｈｒ￣ｄｉｎｇｅｒ（薛定谔）方程是量子力学的基本 了正电子的存在。 方程，是微观物理学的动力学方程，类似于经典宏 ２ Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程及其负能量和负几率困难 观物理学中的牛顿方程，也就像牛顿经典动力学 量子力学与经典力学的关系可以从最简单的 方程只能解决宏观物体的低速运动一样，薛定谔 无自旋的点粒子自由运动的例子看出。在经典力 方程也只能描写速度远小于光速的粒子运动。实 际中，对于描述原子与分子的绝大多数现象，甚至 学中一个自由粒子的动能Ｅ与动量Ｐ的关系是Ｅ １ 、 包括低能核物理的许多现象，方程是相当成功 ＝ Ｐ ，到了量子力学里面，这些力学中的可观 的。这是因为在这些问题中，粒子的运动速度远 二ＩＩｌ 小于光速，相对论效应很小，所以非相对论方程是 察量便要化为算符： ＾ ３ ＾ 一个很好的近似。但一涉及高能领域，粒子的产 Ｅ—Ｅ＝ｉｈ詈，生与湮没是一个普遍的现象，粒子数不一定守恒， ｏＬ —ｐ＝一ｉｈＶ （１） 此时非相对论薛定谔方程就显得为力了。为 然后作用到一个波函数 （ ，ｔ）上面去，得 了建立满足相对论不变性的方程，差不多与薛定 到含时薛定谔方程…： 谔方程提出的同时，（Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ １９２６年）、Ｇｏｒ— ｄｏｎ（戈登）（１９２６年）、Ｋｌｅｉｎ（克莱因）（１９２６年） ｉｈ ｏＬ （ ，ｔ）＝一 厶ｍ （ ，ｔ） （２） 等人建立了相对论性的波动方程Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ 显然这是非相对论的。 （克莱因一戈登）方程。 用相对论关系式：Ｅ ＝ｃ ＋ｍ ｃ ，代以算符 但Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程由于遇到了“负能量” 和“负几率”的困难而被搁置了七、八年之久未被 （１）式并作用到一波函数 （ｘ，ｔ）上，得到Ｋｌｅｉｎ —人们重视。为了避免方程所带来的负几率困难， Ｇｏｒｄｏｎ方程 Ｊ： 狄拉克于１９２６年建立了电子的相对论性波动方 一 （３） 程，此方程除了能满足相对论要求之外，还把粒子 的自旋包含在方程中，同时，还能对氢原子光谱的 然而Ｋ—Ｇ方程产生正能解和负能解．令 （ ， 【收稿１３期】２００７—０５—１２ 【作者简介】李继弘（１９６８一），女，甘肃庆阳市人，陇东学院物电学院讲师，西北师范大学物电学院原子与分子物理专业在读 研究生，主要从事基础物理与理论物理的教学与研究工作。 维普资讯 http://www.cqvip.com 李继弘： Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方程的困难与Ｄｉｒａｃ方程的建立 ｔ）＝１王ｒ（ ）ｆ（ｔ）＝，代人（３）式可得ｆ（ｔ）＝ｅ一 ， 式中Ｅ 是分离常数；而确定１王ｒ的方程是 ＋ Ｅ，２ 一 ＝。 （４） 上式对应于非相对论Ｓｅｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程Ｈ１王ｒ＝Ｅ ４， 最简单的平面波解是 ｔ １王ｒ（ ）：。 一，代人（４） 式得一 １ ｐ ＋寿Ｅ 一 ＝。 由此得到Ｅ ＝±ｃ￣／ｐ ＋ＩＴＩ ｃ ，这里的“负能量” 无法解释。与负能联系在一起的还有“负几率” 的困难。 以１王ｒ 右乘（３）式减去１王ｒ右乘（（３）） 得到： ＋ ・了＝０ 其中几率密度Ｐ和几率流密度了分别为 ｐ： （ 一 ） （５） 丁＝ （１王ｒ １王ｒ 一１王ｒ‘ １王ｒ） （６） 把（５）式解释为粒子在空间的几率密度是有困难 的，原因是式中不但出现了１王ｒ和１王ｒ ，而且出现了 和 ；，它们在对时间的二级微商的方程的初 条件中都是可以取任意数值的。这是由于Ｋ—Ｇ 方程是时间的二阶微分方程，只有当１王ｒ（ ，０）及 １王ｒ（ ，ｔ）Ｉ。：。都给定后，１王ｒ（ ，ｔ）才能确定，而初 始条件１王ｒ（ ，０）及 １王ｒ（一ｒ，ｔ）Ｉ 是可以任意给定 的，这就可能在空间一些区域中Ｐ（ ，ｔ）为正而在 另一些区域中为负，甚至在全部区域中都为负。 因此，不能被解释为单粒子的几率密度，几率密度 必须是正定的。 ２．１ Ｄｉｒａｃ方程的建立 桐对论要求时间和空间处于同等的地位，因 此一个相对论性的波动方程中，对时间和空间坐 标导数必须具有相同的阶。在Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ方 程中，空间和时间导数都是二阶，但他令人失望的 特征是它不能用来描述电子，由它给出的氢能级 也是错误的。１９２８年年轻的英国物理学家Ｐ．Ａ． Ｍ．Ｄｉｒａｃ（狄拉克）出人意料的写出了能够很好描 写电子运动的相对论波动方程。他认为要想保留 量子力学的正定几率（ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉ． ｔｙ），波动方程就不能是时间的二阶导数。他坚持 时间一阶导数的另一个理由就是，波动方程应该 单值的给出１王ｒ（Ｘ，ｔ）由ｔ时的值如何演化到由 （Ｘ，ｔ＋△ｔ），换言之，应单值的给出一阶导数Ｏｘ／ ａｔ，就像Ｓｃｈｒ￣ｄｉｎｇｅｒ（薛定谔）方程那样。 因此，狄喇克认为满足相对论要求的波动方 程应该是时间和空间坐标的一阶微分方程，这样 既可使方程的时空坐标具有对称的特性，又可避 免几率密度中出现 。此外，ｄ【 参照非相对论量子 力学中泡利的二分量自旋理论，考虑到电子除了 平动之外还有新的自由度一自旋，因此他提出了 电子的波函数应为多分量波函数。即１王ｒ （ ，ｔ）， 盯＝１，２…Ｎ，这样才能在非相对论极限下过渡到 泡利理论 。为方便，把多分量波函数１王ｒ （ ，ｔ） 写成列矢的形式 （ ，ｔ） １王ｒ＝ ２（ ，ｔ） （７） （ ，ｔ） 而其复共轭转置则表为行矢形式：１王ｒ ＝ （１王ｒ （ ，ｔ），１王ｒ （ ，ｔ），…，１王ｒ （ ，ｔ）） （８） 电子在空间的几率密度定义为Ｐ（ ，ｔ）＝１王ｒ （ ， ｔ） （ ，ｔ）＝∑－ （ｒ，ｔ） （ｒ，ｔ），则Ｐ必是正定 的，解决了Ｋ—Ｇ方程的负几率困难。 Ｋ—Ｇ方程的负几率困难源于它对时间是二 级微商，而ＳｅｈｒＯｄｉｎｇｅｒ方程则只含对时间的一级 微商，因此狄喇克认为，不应从Ｅ ＝ｃ 十ｍ ｅ 出发，而应从Ｅ＝√ｃ ＋ｍ ｃ 出发，再用（１）式将 它化为波动方程。狄喇克的天才和深厚的数学造 诣还表现在他先形式的完成开方，写下【２ Ｅ＝ｅ ａ。Ｐ＋３ｍｅ （９） 其中 和Ｂ是与坐标、动量无关的算符。把（９） 式右端看作是自由电子的哈密顿算符：ｎ＝ｅ ａ・ ＋３ｍｅ ，利用能量算符Ｅ－－｝ｉｈ詈１ｏＬ 王ｒ和动量算符 一一ｉｈＶ替换，并作用到波函数１王ｒ（ｒ，ｔ）上，便得 到自由电子的Ｄｉｒａｃ方程。 ｉｈ １王ｒ（ ，ｔ） ａＬ ＝（一ｉ ａ・ ＋３ｍｅ ）１王ｒ（ ，ｔ） （１０） Ｄｉｒａｃ方程与方程具有相同的形式，但其中的 ｎ大不相同。 ２．２算符 和Ｂ的代数性质 给（９）式两边平方可推出 和Ｂ服从如下的 代数关系： ａ１ ＝ａ２ ＝ａ３ ＝Ｂ ＝１ １ ａｉａｋ＋ａｋａｉ＝０，（ｉ，ｋ＝１，２，３，ｉ≠ｋ）｝或写成 ａｉｐ・ ｐａｉ＝０，（ｉ－１，２，３） Ｊ 。＝１ １ ａｉａｋ＋ａｋａｉ＝２３ｉｋ，ｉ，ｋ＝１，２，３ Ｉ ａｊＢ＋ｐａｉ＝０，ｉ＝ｌ，２，３ Ｊ ４５ 维普资讯 http://www.cqvip.com 思茅师范高等专科学校学报 由上式可见（ａ （即ａ ），ａ：（即ａ，），ａ，（即ａ ）及ｐ 一Ｉｎ，电荷为一ｅ＜０的电子，因而电子海中便出现 是四个相互反对易的算符。它们的平方都等于 一个“空穴”，它具有能量Ｅ＋，质量为Ｉｎ，电荷为 １，因此它们的本征值是±１。 ＋ｅ＞０。可见，空穴与正能态电子具有相同的正 ２．３算符ａ和Ｂ的矩阵表示 能量和质量，只有电荷符号不同，故空穴可理解为 电子的反粒子，既“正电子”。１９３２年安德逊 因为Ｈ是厄密算符，所以 ，Ｂ必须是厄密算 （Ａｎｄｅｒｓｏｎ）在宇宙射线中观测到正电子，证实了 符，所以它们的矩阵必然是方阵，又因为这些相互 狄喇克的预见。 反对易的算符本征值是±１，因此它们的矩阵维数 狄喇克的空穴理论，预言了正电子的存在，克 只能是偶数。满足此条件的２×２矩阵有四个是 服了正能态电子跃迁到负能态的困难，并且可以 线性无关的。但它们不满足相互反对易条件，所 解释电子一正电子偶的的产生和消灭现象。然 以Ｄｉｒａｃ方程中的 和Ｂ不能是２×２矩阵。尝 而，空穴理论并不是完满的理论，它是违反客观事 试用４×４矩阵，但它们不是唯一的，通常惯用 实的。实际上没有电子的真实状态被看成是充满 Ｐａｕｌｉ—Ｄｉｒａｃ表象，在这个表象中，是对角化的，由 无穷多个负能态电子而有不可观测，这是荒谬的。 于的本征值是１，故取： 实际上，只有把波动方程解释为场方程并进行量 ｐ＝ ａｉ＝（０６． 其中ｉ＝ｘ＇ｙ，ｚ， 子化以后才能克服负能量困难，在量子场论中可 以很好的解释电子一正电子偶的产生和湮没现 象，而无须求助于空穴理论 。 Ｅ＝ｆ、ｕ １， ｌ， ６ｉ为Ｐａｕｌｉ矩阵 。 ［参考文献］ 为了克服负能量的困难，狄喇克于１９３０年提 ［１］曾谨言．量子力学导论（第二版）［Ｍ］．北 出过“空穴”理论，他假定在真空状态下，所有负 京：北京大学出版社，１９９８．３８—４６． 能态都被电子填满，由于泡利不相容原理，在真空 ［２］倪光炯，陈苏卿．高等量子力学（第二版） 中运动的正能量电子便不允许跃迁到负能态上 ［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００４．３５１—３５３． 去。电子海只起着背景作用，电子海中的电子的 ［３］熊钰庆，何宝鹏．群论与高等量子力学导 能量和动量是不能观测的。只有从电子海中移去 论［Ｍ］．广州：广东科技出版社，１９９０．３８２—４１４． 一个或多个电子时，才能产生可观测效应。当外 ［４］周世勋．量子力学教程［Ｍ］．北京：高等 界激发时，例如能量Ｅ≥２ｍｃ：为时的＾ｙ射线的作 教育出版社，１９７９．２０２． 用下，电子海中有一个负能态的电子被激发到正 ［５］贾多杰．高等量子力学（讲义）［ｚ］．西北 能态，负能态中便减少了一个能量为Ｅ一，质量为 师范大学物理与电子工程学院． Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｋｌｅｉｎ－—Ｇｏｒｄｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｆｏｒｍｉｎｇ ｏｆ Ｄｉｒａｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＬＩ Ｊｉ—ｈｏｎｇ ＇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０ ｃｈｉｎａ； ２．ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｏｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｓｕ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ，７４５０００ ｃｈｉｎａ） 【Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｊ Ｂｙ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ａｎｄ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｅｎｅｒｇｙ ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ ｅｑｕａ・ ｔｉｏｎ ｉｓ ｆａｃｅｄ ｉｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ ｍｉｃｒｏ—ｐａｒｔｉｃｌｅｓ．ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｈｏｗｓ ｆｏｒｍｉｎｇ ｏｆ Ｄｉｒａｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃａｌｌ ａｖｏｉｄ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｂｒｏｕｇｈｔ ａｂｏｕｔ Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｒｅｖｅａｌｓ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ａｎｄ ｍａｒｘ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄ ａｎｄ Ｂ ｉｎ Ｄｉｍｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ Ｋｌｅｉｎ—Ｇｏｒｄｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｒｏｂｌｅｍｓ；Ｄｉｒａｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｐｅｒａｔｏｒ ［责任编辑：闫勇］
