2016年广西南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【解答】解：﹣2的相反数是2． 故选C．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形． 故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
3．据《南国早报》报道：2016年广西高考报名人数约为332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为（ ）
A．0.332×106B．3.32×105C．3.32×104D．33.2×104
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【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将332000用科学记数法表示为：3.32×105． 故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．已知正比例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（ ） A． B．3 C．﹣ D．﹣3
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】本题较为简单，把坐标代入解析式即可求出m的值． 【解答】解：把点（1，m）代入y=3x，可得：m=3， 故选B
【点评】此题考查一次函数的问题，利用待定系数法直接代入求出未知系数m，比较简单．
5．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ） A．80分 B．82分 C．84分 D．86分 【考点】加权平均数．
【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案． 【解答】解：
由加权平均数的公式可知=故选D．
【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式=关键．
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==86，
是解题的
6．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（ ）
A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米， ∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°， ∴tan36°=故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
7．下列运算正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6D．（y3）2=y5 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：A、a2和a不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、ax和ay不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、m2•m4=m6，计算正确，故本选项正确； D、（y3）2=y6≠y5，故本选项错误． 故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则．
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，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．
8．下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的概念．
【分析】根据函数的意义求解即可求出答案．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确． 故选D．
【点评】主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
9．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（ ）
A．140° B．70° C．60° D．40° 【考点】圆周角定理．
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°． 故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
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10．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10=90， 故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．
11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【考点】正方形的性质．
【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得： ∵
=，
∴=，
∴=，
∴S1=∴S1=∵
S正方形ABCD， x2，
=，
∴=，
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∴S2=S正方形ABCD， ∴S2=x2， ∴S1：S2=故选D．
x2： x2=4：9；
【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣∵a＞0，
=﹣+，
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∴＞0，
∴a+b＞0． 故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．若二次根式
有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1． 故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
14．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1=50°，则∠A= 50° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠A． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A=∠1， ∵∠1=50°， ∴∠A=50°， 故答案为50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
15．分解因式：a2﹣9= （a+3）（a﹣3） ．
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【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案． 【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）． 故答案为：（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
16．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2016•南宁）如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为 2 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC=可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥OA于E， 设D（m，）， ∴OE=m．DE=，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点， ∴OA=2m，OC=
，
，根据矩形的面积列方程即
∵矩形OABC的面积为8， ∴OA•OC=2m•∴k=2， 故答案为：2．
=8，
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【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．
18．观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第 44 层． 【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层． 【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3， 第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8， 第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15， ∵442=1936，452=2025， 又∵1936＜2016＜2025，
∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层， 故答案为：44
【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．计算：|﹣2|+4cos30°﹣（）﹣3+
．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案． 【解答】解：原式=2+4×=4
﹣6．
﹣8+2
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键．
20．解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：解①得x≤1， 解②得x＞﹣3，
，
不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
，
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【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．
【解答】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，
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∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D（，0）， ∵∠CBD=90°， ∴CD=
=
，
∴sin∠DCB===．
∵∠A2C2B2=∠ACB， ∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=
．
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
22．在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目（2016•南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
【考点】切线的判定．
【专题】计算题；与圆有关的位置关系．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可． 【解答】（1）证明：连接OD，
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∵BD为∠ABC平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 则AC为圆O的切线； （2）解：过O作OG⊥BC， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴
=
，即
，
，
=
，
解得：OA=∴AB=
+10=
连接EF，
∵BF为圆的直径， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC， ∴
=
，即
=
，
解得：BE=12．
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【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
24．在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论； （2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=论．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天， 根据题意得解得：x=450，
经检验x=450是方程的根，
答：乙队单独完成这项工程需要450天；
（2）根据题意得（+）×40=， ∴a=60m+60， ∵60＞0，
∴a随m的增大增大， ∴当m=1时，最大，
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，即可得到结
×（30+15）+×15=，
∴=∴
÷
，
=7.5倍，
答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．
25．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形． （2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE=EF=AF． 理由：如图1中，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°，
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∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2
，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE=2
，
﹣2，
∴EB=EG﹣BG=2
∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2
﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°， 在RT△EFH中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
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∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2∴FH=CF•cos30°=（2
﹣2）•
．
=3﹣
﹣2， ．
∴点F到BC的距离为3﹣
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
26．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得【解答】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1， 又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
，解得
或
，
=
或
=
，可求得N点的坐标．
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=∵MN⊥x轴于点N ∴∠ABC=∠MNO=90°，
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，BC=3，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形， ∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=， 此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1， 此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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