一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α=A 直线与平面平行 没有公共点 a||α
ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平
行.（a||b）
直线与平面平行的判断 判 定 文字描述 直线和平面在空间平面永无交点，则平面外的一条直线一次平面内的一条直线直线和平面平行（定义） 平行，则该直线与此平面平行 图形 条件 a与α无交点 结论 a∥α b∥α 线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）
※判定定理的证明
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知识点二、直线与平面平行的性质 性质 一条直线与一个平面平行，一条直线和一个平面平行，则文字描述 则这条直线与该平面无交点 过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 结论 线面平行，则线线平行
特别提示
a∥α a∩α＝∅ a∥αa⊂βα∩β＝b a∥b 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
知识点三、平面与平面平行的判定 判定 文字描述 如果两个平面无公共一个平面内有两条相如果两个平面同时垂直于点，责成这两个平面平交直线与另一个平面一条直线，那么这两个平行 平行，那么这两个平面面垂直。 平行． 图形 条件 a， b⊂β a∩b＝P a∥α b∥α l⊥α l⊥β α∩β＝∅ 结论
α∥β α∥β α∥β 2
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知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面同时和第如果两个平面平行，那么其三平面相交，那么他们的交中一个平面内的直线平行于线平行 另一个平面 图形 条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a a∥b α∥β a⊂β a∥α 结论
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二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 语言描述 如果直线l和平面α内的任意一条直线都一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，垂直，则这条直线与该平面垂直. 记作l⊥α 图形 b为平面α内的任一直线，而l对这l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n 一直线总有l⊥α l⊥ l⊥ 结论 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 条件
知识点二、直线和平面垂直的性质 语言描述 图形 性质 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行. 条件 结论 知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上
ⅱ.线在面内 ⅲ.与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0180.
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知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是一个平面过另一个平面的垂线，则这两个直二面角，就说这两个平面垂直. 平面垂直 图形 结果 α∩β=l α-l-β=90o α⊥β
（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）
知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与
一个面平垂直）
例题 1.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何
体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台
2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）
A.aα,bα,a∥b B .bα,a∥b C. bα,c∥α,a∥b,a∥c
D. bα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD
3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行 C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行 D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,bα，那么b∥α
4在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行
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（D）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m,n,m∥β，n∥βa∥β B．a∥β，m,nm∥n
C．m⊥a,m⊥nn∥a D．n∥m,n⊥am⊥a 6.下列命题中错误的是
（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定直线平行于平面
（B）如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，l，那么l⊥平面 （D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点 求证：EF‖平面BCD
8题图 9题图
9.如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
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课堂练习
A组
3.m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
4.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2,
E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 （1） 证明：直线EE1//平面FCC1；
D1 C1
B1
D E
F
C
B
A1 E1 A
5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.
6. 在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’ ． （1）要经过平面 A C 内的一点P 和棱BC将木料据开，应怎样画线？
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（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？
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