第二章实数23立方根24估算doc

第二章 实数

§2.3立方根

教学目标

1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根； 2.理解开立方的概念；

3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别. 教学重点和难点

重点：立方根的概念及求法. 难点：立方根与平方根的区别. 教学过程设计

一、复习：请同学回答下列问题：

(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(≥0)的平方根?

(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么? (3)当a≥0时，式子a，－a，±a，的意义各是什么?

答：(1)如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么x叫做a的平方根，表示为x=±a. (2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0. (3)a≥0，a表示a的算术平方根，－a表示a的负平方根，±a表示a的平方根. 二、引入新课

1.计算下列各题：

(1) 0.13； (2) (2)； (3) 03.

答：(1) 0.13=0.001； (2) (2)=－827； (3) 03=0.

指出：上面各题是已知底数和乘方指数求三次幂的运算，也叫乘方运算. 怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么?

(1)( )3=18; (2)( )3=－27 125; (3)( )3=0.

答：已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.

设某数为x，则(1)式为x3 =18，求x； (2)式为x3=－27125,求x；(3)式为x3=0求x。

2.立方根的概念.

一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示，就是，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.数a的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数.(注意：根指数3不能省略). 3.开立方.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 三、讲解例题：

例1 求下列各数的立方根：

(1)8； (2)－8； (3)0.125； (4)－27125； (5)0. 分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求.

解 (1)因为2=8，所以8的立方根是2，即38=2.

问：除2以外，还有什么数的立方等于8?也就是说，正数8还有别的立方根吗? 答：除2以外，没有其它的数的立方等于8，也就是说，正数8的立方根只有一个. (2)因为(2)=8，所以－8的立方根是－2即 38=－2

问：除－2以外，还有什么数的立方等于8?，也就是说，负数－8还有别的立方根吗? 答：除－2以外，没有其他的数的立方等于－8，也就是说，－8的立方根只有1个. (3)因为0.53=0.125，所以0.125的立方根是0.5，即30.125=0.5.

333333

273273)3=－，所以－27 125的立方根是－35，即3=－. 51255125 (5)因为03=0，所以0的立方根是0，即30=0.

(4)因为(－

问：一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么?

答：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零.

指出：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的. 例2 求下列各式的值：

33 (1) 27； (2) 64； (3) 3327. 10003271 解 (1)327=3； (2) 64=－4； (3) =-

100010四、随堂练习

1.判断题：

(1)4的平方根是2；( ) (2)8的立方根是2；( ) (3)－0.064的立方根是－0.4；( ) (4)127的立方根是±13( ) (5)－

1的平方根是±4；( )； (6)－12是144的平方根.( ) 162.选择题：

(1)数0.000125的立方根是( ).

A.0.5 B.±0.5 C.0.05 D.0.005 (2)下列判断中错误的是( )

A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数 B.一个数的两个平方根之积负数 C.一个数的立方根未必小于这个数 D.零的平方根等于零的立方根 3.求下列各数的立方根：

(1)27； (2)－38； (3)1； (4)0. 4.求下列各式的值：

(1)100； (2) 31000； (3) 31000125； (4) 3；(5) 31； 72964

数.

2.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的立 方根，但没有平方根.

3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.

六、作业：见作业本。

五、小结

请思考下面的问题：

1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数a的立方根?a的取值范围是什么? 2.数的立方根与数的平方根有什么区别?

答：1.如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，用符号3a表示，a为任意

§2.4估算

教学目标

(一)教学知识点

1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感. (二)能力训练要求

1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识. 2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力. 教学重点

1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感. 2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力. 教学难点

掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小. 教学过程 一.导入新课

同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？ （我猜的.）

“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法. 二.讲授新课

问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是

2

宽的2倍，它的面积为400000米.

(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？

2

(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)

提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？

2

（因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米，根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：

22

2x=400000 ∴x=200000。所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根）. 在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.

2222222222221=1；2=4；3=9；4=16；5=25；6=36；7=49；8=64；9=81；10=100；11=121；12=144；22222222

13=169；14=196；15=225；16=256；17=289；18=324；19=381；20=400.

3333333333

1=1；2=8；3=27；4=64；5=125；6=216；7=343；8=512；9=729；10=1000. 下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.

（1）公园的宽没有1000米，因为1000的平方是1000000，而200000小于1000000，所以它没有1000米宽.

大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？ 因为100的平方是10000，1000的平方是1000000，而200000大于10000小于1000000，所以公园的宽比100大而比1000小，是三位数.

大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的

估算作准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题.

因为400的平方等于160000，500的平方为250000，所以公园的宽x应比400大比500小.

所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几.

因为440的平方为193600，450的平方为202500，所以x应比440大比450小，故十位上的数为4.

因为题目要求误差小于10米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤. 1.估计是几位数.

2.确定最高位上的数字(如百位). 3.确定下一位上的数字.(如十位)

4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位. 在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式. （设半径为x米，则有πx=800∴x=

2

2

2

2

8008002

≈255.即x≈255 3.142

2

因为10=100，100=10000，所以x应是两位数，又因为15=255，16=256，所以x就比15大比16小，应为15点几，所以应为15米.）

在题目中要求误差小于1，而不是精确到1，所以15米和16米都满足要求，即x应为15米或16米. 二、议一议

(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.

0.43≈0.066；3900≈96；2536≈60.4

(2)你能估算3900的大小吗？(误差小于1).

22

解：（1）因为0.65=0.4225，0.66=0.4356，而0.43大于0.4225小于0.4356，所以0.43应大于0.65小于0.66，所以估算错误.

（2）第2个错.因为10的立方是1000，900比1000小，所以900的立方根应比1000的立方根小，即小于10，所以估算错误.

（3）第3个错.因为60的平方是3600，而2536小于3600，所以2536应比60小，所以估算错误.

第(2)小题请大家按总结的步骤进行. (1)先确定位数

因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数. (2)确定个位上数字.

因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9. 三、例题讲解

［例1］（课本40页例1）

［例2］通过估算，比较

511与的大小 22分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.

解：因为5＞4,即(5)＞2，所以5＞2，所以

2

2

5121511. .即

2222a2b的值.

2aba1［补例4］已知526的整数部分和小数部分分别为a和b，求的值

b［补例3］已知61的整数部分为a，小数部分为b.求四、课堂练习

(一)随堂练习

(二)补充练习：比较12与3.4的大小.

解：因为3.4的平方为11.56，所以12大于11.56，即12＞3.4.

五.课堂小结

本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较大小.

六.课后作业：习题2.6