河南省郑州市2016届高三数学第三次模拟考试试题 文

郑州市2016年高中毕业年级第三次质量预测

文科数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一个是符合题

目要求的． 1．设复数

i－2＝a＋bi（a，b∈R），则a＋b＝ 1＋ix A．1 B．2 C．－1 D．－2 2．命题“存在x0∈R，20≤0”的否定是

A．不存在x0∈R，20＞0 B．存在x0∈R，20≥0 C．对任意的x0∈R，20≤0 D．对任意的x0∈R，20＞0 3．已知集合M＝{x｜y＝lgN＝

A．（0，1） B．[1，＋∞） C．[2，＋∞） D．（－∞，0]∪[1，＋∞） 4．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为

m和n，则m＞n的概率为

xxxx1－x2}，N＝{y｜y＝x＋2x ＋3}，则（CRM）∩x73 B． 101032 C． D．

55 A．

5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为 A．2π＋23 B．4π＋23 C．2π＋

2323 D．4π＋ 336．已知抛物线y＝ax（a＞0）的焦点恰好为双曲线y－x＝2的一个焦点，则a的值为

2221 41C．8 D．

8A．4 B．

7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的

1

值是

A．1007 B．2015 C．2016 D．3024

8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋

则an＝

A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn

1）， nx＋y－1≤0,11≥0,表示的区域Q，不等式(x－)2＋y2≤表示的区域为，向 9．若不等式组x－y＋1241y＋≥02Ω区域均匀随机撤360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为

A．114 B．10 C．150 D．50

10．已知球的直径CS＝4，A，B在球面上，AB＝2，∠CSA＝∠CSB＝45°，则棱锥S—ABC的体积为 A．

3234353 B． C． D． 333311．若将函数y＝2sin（3x＋）的图象向右平移

称，则｜｜的最小值是 A．

个单位后得到的图象关于点（，0）对 433 B． C． D．

44322x－1, (x≤0)112．已知函数f（x）＝把函数g（x）＝f（x）－x的偶数零点按从小到大的顺序

2f(x－2)＋1,(x＞0),排列成一个数列，该数列的前10项的和S10等于

A．45 B．55 C．90 D．110

第Ⅱ卷

本卷包含必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题。每个试题考生都必须做答．第22—24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分） 13．如右图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次

得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知 甲运动员得分的中位数和乙运动负得分的众数 ．．．．．

之和为______________。 14．已知cos（α－

sin（α＋

43，则 ）＋sinα＝567）＝___________． 611n215．若关于x的不等式x＋x－()≥0,当x∈（－∞，λ]时对任意n∈N* 恒成立，

22则实数λ的取值范围是____________．

2

16．函数f（x）＝xlnx－

a2x－x＋1有两个极值点，则a的取值范围为__________． 2三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

设函数f（x）＝2sinxcos值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝2，f（A）

22＋cosxsin－sinx （0＜＜π）在x＝π处取得最小

＝

3，求角C． 218．（本小题满分12分）

有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到

如下的列联表．

甲班 乙班 合计105 优秀 非优秀 总计 已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为

2． 7 （Ⅰ）请完成上面的列联表；

（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95％的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （Ⅲ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到

11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序 号．试求抽到6号或10号的概率．

参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角 三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，E、F分别为BC、 CC1的中点．

（Ⅰ）求证：B1E⊥平面AEF；

（Ⅱ）当AB＝2时，求点E到平面B1AF的距离． 20．（本小题满分12分）

y2x21（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2＝4y的 已知F1、F2分别为椭圆C1：2＋2＝ab焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且｜MF1｜＝ （Ⅰ）求椭圆的方程；

3

5． 3

（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2＋y2＝b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在

uuuruuruuuruuur

线段AB取一点Q，满足：AP＝－λPB，AQ＝λQB（λ≠0且λ≠1），探究是否存在一

条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．

21．（本小题满分12分） 设函数f（x）＝x－

1－2mlnx（m∈R）． x （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个极值是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：

是否存在m，使得k＝2－2m?若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE 交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB． 证明：

（Ⅰ） CD＝BC；

（Ⅱ）△BCD∽△GBD． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知

直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（

23，），圆C的参数方程为 23x＝2＋2cos, （θ为参数）． y＝－3＋2sin, （Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f（x）＝｜3x－1｜＋ax＋3． （Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤4；

（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．

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数学(文科) 参考答案

4

第Ⅰ卷

一、选择题： 题号 答案

第Ⅱ卷

二、填空题:

1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 A 9 A 10 C 11 A 12 C 14(0,) 13．64 14. - 15.，116．

5e三、解答题: 17. （Ⅰ）f(x)2sinx1coscosxsinsinx, 2sinxsinxcoscosxsinsinx sinxcoscosxsinsin(x), ———————2分

因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,———————4分 因为0,所以2.所以f(x)sin(x2)cosx,—————6分

（Ⅱ）因为f(A)又因为a1,b33,所以cosA,因为角A为ABC的内角,所以A. ———————8分

622ab, sinAsinB2,所以由正弦定高考,得

也就是sinBbsinA12, 2a223. ——10分

44733. ————12分 当B时,C;当B时,C6412464124因为ba,所以B或B18.解 (1) 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据，得到 2

优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105 105×10×30－20×45k＝≈6.109＞3.841， ———————5分

55×50×30×75因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ———————7分

(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、„、(6,6)，共36个．

5

事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个 ∴P(A)＝82

36＝9. ———————12分

19.（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，不妨设|AB||AA1|=a， ∵△ABC为等腰直角三角形，BAC90，

∴BC|B1C1|2a，

∵E、F分别为BC、CC1的中点，

2∴|B|BE|2|BB222321E|21|aa2a， 22|EF|2|EC|2|CF|221232， 2a4a4a|BC191F|2|B11|2|C1F|22a2a24a24，

有|BE|2|EF|23a23a291a2244|B1F|2，

∴B1EEF，

又∵AEBC,B1B平面ABC，∴B1EAE，AEEFE，

∴B1E平面AEF．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

（Ⅱ）解：由条件知，

|AE|2,|B1E|6,|EF|3,|AF|5， |AB1|22,|B1F|3，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

∵AEEF，∴S116△AEF2|AE||EF|2232， 在△AFB8591中，cosB1AF2225110,sinB31AF10，

∴S1△AB1F2|AB|AF|sinB131|1AF2225103， „„„„„„（10分）

设点E到平面B1AF的距离为d，则dS△AB1F|B1E|S△AEF，

66所以d231，

即点E到平面B1AF的距离为1．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）

6

20.（I）由C2：x24y知F1（0，1），设M(x0,y0)(x00) ，因M在抛物线C2上，故

2x04y0 ① 又MF155，则y01 ②， 33由①②解得x0262，F2(0,1)，点M在椭圆上， ,y0， 椭圆C1的两个焦点F1（0，1）

33由椭圆定义可得

2aMF1MF253(2630)2(231)24 ∴a2,又c1，∴b2a2c23，

y2椭圆C1的方程为：4x231. „„„„„5分 （II）设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y)，

由APPB可得：(1x1,3y1)(x21,y23)，

即x1x21y1y23(1)

由AQQB可得：(xx1,yy1)(x2x,y2y)， 即x1x2(1)x

y1y2(1)y⑤×⑦得：x2212x2(12)x， ⑥×⑧得：y2212y23y(12)，

两式相加得(x22221y1)2(x2y2)(12)(x3y)，

又点A，B在圆x2y23上，且1，

所以x22221y13，x2y23，即x3y3，所以点Q总在定直线x3y3上. „„12分

21. （Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+）.--------1分 由已知，f(x)112mx22mx1x2-xx2.--------2分 令g(x)x22mx1,=4m24,

1当-1m1时，则0，g(x)0恒成立，即f(x)0恒成立..

7

f(x)在（0,+）上单调递增.--------------------------------------3分

2当m1时，则0,

g(x)=0的两个根为mm21,

m1mm210.

f(x)在（0,+）上单调递增.------------------------------------5分 3当m1时，则0,

g(x)=0的两个根为mm21.

m1mm210.------------------------------------6分

f(x)在（0,mm21)上单调递增,在（mm21,mm21)上单调递减，在（m+m21，+)上单调递增,综上，当m1时，f(x)在（0,+）上单调递增,

当m1时，f(x)在（0,mm21)上单调递增,在（mm21,mm21)上单调递减，在（m+m21，+)上单调递增,

（Ⅱ） 由已知，f(x)有两个极值点x1,x2,则m1, 则x1+x2=2m,x1x21.f(x1)f(x2)x1x2x1----------------------------------------------7分

k=11112mlnx1x22mlnx2x1x22mlnx12mlnx2x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x2-2mlnx1+2mlnx2x1x2lnx1lnx2-------------8分

2-2m,x1x2x1x2(x1x2) 若存在m适合题意，则lnx1lnx2=1.-----------------------------------------9分

x1x2 即lnxlnx=xx成立ln1lnx=1x成立,

121222x2x2 -lnxlnx=1x成立x-12lnx=0成立. 22222x2x2 令h(t)t12lnt(t1),只须h(t)在（1，+）上有零点.----------------------------10分

t 由（1）可知，h(t)在（0，+）上递增，

h(t)h(1)0.即h(t)在（1，+）上没有零点，

矛盾.故m不存在.----------------------------------------

--------12分

22．证明：(Ⅰ)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.

8

证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. —————5分 (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.

由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，

故△BCD∽△GBD. ———————10分

23．(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233), 又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，33)， 故直线OP的直角坐标方程为y33x,

———————5分 (2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(233,2)， 所以直线l的平面直角坐标方程为3x3y230, 又圆C的圆心坐标为(2,3)，半径r＝2，

2323圆心到直线l的距离d333932r. 故直线l与圆C相交． ———————10分 24．（1）a1时，f(x)3x1x3.

当x13时，f(x)43x1x34,解得113x2, 当x113时，f(x)43x1x34,解得0x3,

综上，原不等式的解集为[0,12].--------------5分

(312）f(x)3x1ax3a)x2,x3,(a3)x4,x13,  9

（

a30,函数f(x)有最小值的充要条件为3a3.a30 综上，所求a的取值范围为[-3，3].--------------10分

10