人教版高中数学必修2直线与平面垂直的判定教案

课题：直线与平面垂直的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修2

1.教学目标

根据本节地位和作用的重要性，结合高一年级学生的认知规律，我制定了以下的教学目标：

☆知识目标:

1.正确理解直线与平面垂直的定义。

2. 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理。

☆技能目标：

1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，

2.运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“转化”这一数学思想。

☆情感态度和价值观目标：

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 2.教学重点、难点

教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。 3.教学方法与手段

本节课采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。 “问”—精心设计了一些问题，让学生在问题的带动下，概括出直线与平面垂直的定义，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用。

“动”—我设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心的探究活动。首先课前安排学生收集有关“直线与平面垂直”的例子，其次在课堂上让学生操作折纸实验，让其在动的过程中对直观感知概念本质，并操作确认了判定定理。

课前准备：要求学生收集”直线和平面垂直”的例子及准备一块三角形纸片。

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4.教学过程：

教学环节 教师活动 学生活动 学生课前收集例子，通过观察，思考和回答 学生观察思考，交流讨论 初步给出线面垂直的定义 设计意图 线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中，先安排学生课前收集大量图片进行感知，然后再通过多媒体课件演示，设计这样的问题情景贴近学生生活，使得学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备。 学生在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直。 一、 （1）创设情境—感知概念 展示图片： 直 线 与 平 面 ①请同学们观察图片，说出高楼的侧垂 棱与地面，旗杆与地面的位置有什么直 关系？ 定 ②请把自己的数学书打开直立在桌面义 上，观察书脊与桌面的位置有什么关的 系？ 建 构 ③请同学们举一些直线和平面垂直的例子。 这些都给我们以直线与平面垂直的形象，那么如何定义直线和平面垂直 呢？ （2）观察归纳—形成概念 ①思考：一条直线与平面垂直时，这 条直线与平面内的直线有什么样的位 置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影 子的位置变化。 ③由此你能得到什么启发，你觉得怎 样能用你学过的知识给出线面垂直的 定义。 线面垂直的定义: 如果一条直线与一 2

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二 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 探 究 3

个平面内任意一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直，记作：l⊥α. 直线 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。 用符号语言表示为： m是平面内任一直线llm (3）剖析概念—深化理解 辨析： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ ②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ （1）分析实例—猜想定理 观察在正方体ABCD－A1B1C1D1中直线与平面位置关系回答以下问题 ①图中有哪些线面垂直关系？你是如何判断的？ ②如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直？和一个平面内的两条直线垂直呢？和一个平面内的无数条直线垂直呢？ ③你认为保证直线与底面垂直的条件是什么？ （2）动手实验—A 确认定理 如图，请同学们拿出C 准备好的一块（任B D 意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放 学生通过对两个问题的辨析讨论，体会“无数”和“任何”的不同，感受“线线垂直”和“线面垂直”间的转化。 学生指出正方体中的互相垂直的直线和平面，但无法找到说明他们垂直的依据。 类比“线面平行”的判定，想到能否利用“线线垂直”得到“线面垂直” 学生动手实验 学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导两类学生进 通过两个问题的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。掌握线面垂直的一个性质。 通过这组问题想让学生认识到判断直线与平面的垂直用定义很难做到所以我们有必要寻找更为简便可行的方法来判断直线与平面的垂直，于是就想到要减少直线的条数从而引出直线与平面的垂直判定定理的探索。 《课程标准》中只要求对线面垂直的判定定理进行直观感知、操作确认，注重合情推理。 -

三直线与平面垂直判定定理及应用 4

置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.行交流，根据因而在探究直线与观察并思考： 直线与平面垂平面垂直判定定理① 折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折直的定义分析过程中，安排学生“不垂直”的原动手实验，讨论交才能使折痕AD与桌面所在的平面垂因。学生再次流、对实验现象进折纸，进而探行观察和分析，自直？ 究直线与平面己发现结论。通过② 由折痕ADBC，翻折后垂直关垂直的条件，问题让学生真正体系，即ADCD,ADBD发生变化经过讨论交会到知识产生的过流，使学生发程，有利于发展学了吗？ 现只要保证折生的合情推理能力痕AD是BC边上和空间想象能力。 的高，即AD⊥ 多媒体演示翻折过程 BC，翻折后折 痕AD就与桌面 垂直 得到结论: 直线与平面垂直的判定定理：一条直学生叙述结 线和一个平面内的两条相交直线都垂论，并尝试用培养学生的归纳能图形语言和符力和表述能力 直，则该直线与此平面垂直。 号语言进行叙 用符号语言表示为： 述 m,n,mnP llm,ln （3）反思，深化定理 老师强调使用“直线与平面垂直判定定 理”时要注意“两条”、“相交”。 “线不在多，相交则灵” 阅读课本例1 例1.如图，已知a//b,a，求证：b．让学生阅读课 本例1，理解线 面垂直判定定 ba理的应用。 n m 教师略作讲评后指出这个结论也是判 定线面垂直的依据。 -

四总 结 反思提 高 认 识 五 布置作业自5

例2:已知矩形ABCD,过A作PA面ABCD, 再过A作AEPB于E,过E作EFPC于F (1)与面PAB垂直的直线有_____Ｐ请学生完成并F板演 (2)与面PCB垂直的直线有_____CD E(3)与面PAD垂直的直线有_____A B(4)与直线PC垂直的直线有_____ 提出问题： （1）通过本节课的学习，你学会 了哪些判断直线与平面垂直的方法？ （2）在证明直线与平面垂直时应 注意哪些问题？ 学生发言，互（3）本节课你还有哪些问题？ 相补充 教师点评，归纳出判断直线与平面 垂直的方法，给出框图（投影展示）， 同时，说明本课蕴含着转化、类比、 归纳、猜想等数学思想方法，强调“平 面化”是解决立体几何问题的一般思 路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教 师作好记录，以便查缺补漏。 布置作业: P （1）如图，点P 是平行四边形 A ABCD所在平面 O C 外一点，O是对B 角线AC与BD的 交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥ 师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，；同时，展示了线面垂直的枢纽作用，进一步提高转化和综合运用知识能力。 以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。 （1）题是基础题，（2）题是开放性题目，这样，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同 -

主探究 平面ABCD （2）探究：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？ P 的几何体中体会线面垂直关系。 使学生及时巩固知识和检验教学效果。 A C

O B 教案说明

这是一节数学教学的探讨课，教师对合理使用教材、改进教法、改变数学教学模式，促进学科素质教育做了一点尝试。

教师在本节课的处理上借助多媒体辅助教学，采用“引导—探究式”教学方法。在整个教学过程中，遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律。对于线面垂直的定义没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动画演示帮助学生概括得出。而对于线面垂直判定定理更是通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流。这里教师创建了一种以学生为中心，使学生自主学习的环境。

在课堂教学中设置开放的教学环境，会让师生处于平等的地位。这样的课堂，学生参与积极性高，不同层面的学生会有不同的收获。教师主要在两方面做出努力：一

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方面通过问题创设情境，为学生的自主探索提供了平台；另一方面调节课堂气氛，放手让学生动手试验，讨论交流，鼓励学生对问题多质疑多总结。

在课堂的组织形式上，教师的主要任务是负责学习的组织，指导学生研究问题，帮助学生学习，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣。如在折纸实验中，鼓励学生进行合情推理，并让学生尝试进行归纳总结，最后还以问题讨论的形式进行课堂小结，这使得不同层次的学生都积极参与，充分自主的去探究总结，突出保障了学生的主体地位。

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