高中数学 构造常数列解题例析 学法指导

X长如

一、在解客观题时巧妙设取常数列

对于等差数列、等比数列的选择题或填空题，若条件中没有给出公差d0或公比q1的条件，有时可巧取常数数列快捷解题。

例1. 等差数列{an}满足a1a2a3a1010，则（ ）

A. a1a1010

B. a2a990

C. a3a990

D. a5151

解析：符合条件的“数列”有无数个，但结论与具体取什么样的数列无关。可取满足题意的常数数列an0，则排除A，B，D，显然选C。

二、将已知式巧妙化成常数列

对于解决非等差数列、非等比数列问题时，可以转化为等差数列、等比数列问题来解决，有时还可转化为常数数列。

2 例2. 设{an}是首项为1的正项数列，且n1a2，n1nanan1an0（n=1，2，3，…）则它的通项公式an=_________。

∵an1an0，

解析：已知条件可化为[n1an1nan]an1an0。 ∴n1an1nan。

∴{nan}是首项为1的常数数列，从而nan1，即an1。 n

三、在证恒等式时巧妙构造常数列

对于与自然数有关的恒等证明题，可设待证等式的差或商为an，通过构造并证明{an}是常数数列，然后再利用常数数列的性质去解决。

122nn1nN*。 4112证明：构造数列an132333n3n2n1，则有a113220，

44111322232即数an1ann1n1n2n2n1n1n14n40，

444列{an}是常数数列。

12∴ana10，即132333n3n2n1nN*。

4

例4. 求证：n1n2nn2n132n1nN*。

n1n2nnnN*，则

证明：设ann2132n1n2n3nn2n12n2， an12n1132n12n1an12n12n21。 得

an22n1n1∴{an}为常数数列，且a11。

例3. 求证：132333n3∴an1，即n1n2nn2n132n1nN*。

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