导数的运算专题含答案

导数的运算专题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑓′(1)𝑥2+2，则𝑓(2)=（ ） A.−2

2. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥，则𝑓′(1)=（ ） A.3

3. 下列求导运算不正确的是（ ） A.(𝑥2)′=2𝑥 C.(3𝑥)′=3𝑥ln3

4. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥2+sin𝑥，则𝑓′(0)=（ ） A.−1

5. 某运动物体的位移𝑠（单位：米）关于时间𝑡（单位：秒）的函数关系式为𝑠=2𝑡2−1，则该物体在𝑡=1秒时的瞬时速度为( ) A.1米/秒

6. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−)，则𝑓′()=( )

6

6

1

√3𝜋

𝜋

B.1 C.6 D.14

B.4 C.1 D.7

B.(𝑒𝑥+ln3)′=𝑒𝑥+3 D.(sin𝑥)′=cos𝑥

1

B.0 C.1 D.3

B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒

A.2

B.1 C.√3

D.2 7. 函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2−3的导数( ) A.𝑓′(𝑥)=3𝑥2−4𝑥 C.𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑥

8. 记函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)．若𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥，则𝑓′(0)=( ) A.1

9. 记函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)．若𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin2𝑥，则𝑓′(0)=（ ）

试卷第1页，总24页

B.𝑓′(𝑥)=3𝑥2−4𝑥−3 D.𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑥−3

B.0 C.−1 D.2

A.2

B.1 C.0 D.−1

10. 已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(𝑒)+ln𝑥（其中𝑒为自然对数的底数），则𝑓′(𝑒)=( ) A.𝑒

11. 已知𝑓(𝑥)为二次函数，且𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑓′(𝑥)−1，则𝑓(𝑥)=( ) A.𝑥2−2𝑥+1

12. 若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐满足𝑓′(1)=2，则𝑓′(−1)=( ) A.−1

13. 已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(1)+ln𝑥，则𝑓′(1)=（ ） A.−1

14. 已知函数𝑓(𝑥)=

𝑎𝑥−𝑏𝑥2+𝑐

B.−1

C.−𝑒−1

D.−𝑒

B.𝑥2+2𝑥+1 C.2𝑥2−2𝑥+1 D.2𝑥2+2𝑥−1

B.−2 C.2 D.0

B.−2

1

C.1 D.𝑒

(𝑎≠0)是定义在𝑅上的奇函数，𝑥=1是𝑓(𝑥)的一个极大值点，

且𝑓(1)=1，则𝑓(𝑥)=（ ） A.𝑥2+1

15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−𝑥𝑒𝑥，则𝑓′(0)=（ ） A.1

16. 设𝑦=e3，则𝑦′=（ ） A.3e2

17. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(1)+ln𝑥，则曲线在点𝑃(1,𝑓(1))处的切线的斜率等于（ ） A.−𝑒

18. 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥𝑓′(1)，则𝑓′(1)=________.

19. 设函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+3，𝑓′(1)=5，则实数𝑎=________.

试卷第2页，总24页

2𝑥

B.𝑥2+2

3𝑥

C.−𝑥2−2

𝑥

D.

2𝑥−1𝑥2

B.0 C.−1 D.2

B.0

C.e2 D.e3

B.−1 C.1 D.𝑒

20. 写出导函数是𝑓′(𝑥)=𝑥+的一个函数为________.（答案不唯一，写出一个即可）

𝑥1

21. 若𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥， 则𝑓′(1)=________.

22. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥2𝑓′(𝑎)，且𝑓(1)=−1，则实数𝑎等于________．

23. 设函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥𝑓′(2)，则𝑓′(1)=________.

24. 设函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)内可导，且𝑓(𝑒𝑥)=𝑥+𝑒𝑥，则𝑓′(𝑒)=________.

25. 对于三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑(𝑎≠0)，定义：设𝑓′′(𝑥)是函数𝑦=𝑓(𝑥)的导数𝑦=𝑓′(𝑥)的导数，若方程𝑓′′(𝑥)=0有实数解𝑥0，则称点(𝑥0,𝑓(𝑥0))为函数𝑦=𝑓(𝑥)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心”根据这一结论，请你写出函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2+3𝑥−4的对称中心，应是________；

并计算𝑓(2021)+𝑓(2021)+𝑓(2021)+⋯+𝑓(2021)=________.

26. 已知函数𝑦=𝑥ln𝑥． (1)求这个函数的导数；

(2)求这个函数的图像在点𝑥=𝑒处的切线方程．

27. 已知函数𝑓(𝑥)=

ln𝑥𝑥

1

2

3

2020

3

1

．

(1)求函数𝑓(𝑥)导数；

(2)求函数𝑓(𝑥)的单调区间．

28. 求下列函数的导数： (Ⅰ)𝑦＝𝑥4−3𝑥2−5𝑥+6； (Ⅱ)𝑦＝𝑥3𝑒𝑥．

29. 求下列函数的导函数． （1）𝑦＝𝑒𝑥cos𝑥；

试卷第3页，总24页

（2）𝑦＝

+ln𝑥．

30. 求下列函数的导数： (1)𝑦=sin𝑥−𝑥+1；

(2)𝑦=−2𝑒𝑥⋅𝑥3； (3)𝑦=

ln𝑥𝑥+1

−2𝑥.

31. 已知函数（1）求 （2）求

的值. ，

的值；

且，.

32. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑓′(0)𝑒𝑥+𝑥2−(𝑓(0)−1)𝑥． (1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；

(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚𝑥在[1,2]上单调递增，求𝑚的取值范围．

33. 求下列函数的导数： (1)𝑦=𝑥(𝑥−𝑥2)；

(2)𝑦=𝑒𝑥−2𝑥；

(3)𝑦=𝑥2(ln𝑥+sin𝑥)．

34. 已知函数 𝑓(𝑥)=3𝑥3+2𝑥2+𝑏𝑥，其导函数 𝑦=𝑓′(𝑥)的图像经过点(0,0),(2,0).

试卷第4页，总24页

1

𝑎

1

(1)求𝑎，𝑏的值；

(2)求函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+1 在区间[−3,3]上的最值．

35. 已知函数𝑓(𝑥)=0.

(1)求实数𝑐的值；

(2)若函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处的切线经过点(−1,0)，求函数𝑓(𝑥)的极值；

(3)若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≤2对于任意的𝑥∈[0,2]恒成立，求实数𝑏的取值范围．

36. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑥2+𝑏𝑥（其中常数𝑎，𝑏∈R)，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)是奇函数．

(1)求𝑎，𝑏的值；

(2)求𝑔(𝑥)在区间[1,2]上的最大值与最小值．

37. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥2+cos𝑥，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数． （1）求函数𝑓(𝑥)的极值；

（2）设函数𝑔(𝑥)=(2−𝑥+调性；

（3）当𝑥≥0时， 𝑓′(𝑥)≤𝑒𝑥+𝑏𝑥−1，求实数𝑏的取值范围．

𝑥2

sin𝑥+cos𝑥

2

1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑒𝑥（𝑒为自然对数的底数），𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，且𝑓′(1)=

)𝑒𝑥−𝑎(6𝑥3+sin𝑥−𝑥),𝑎∈𝐑，讨论𝑔(𝑥)的单

1

试卷第5页，总24页

参与试题解析 导数的运算专题含答案

一、 选择题 （本题共计 17 小题 ，每题 3 分 ，共计51分 ） 1.

【答案】 C

【考点】 导数的运算 函数的求值

【解析】

求导，代入𝑥=1，求得𝑓′(0)，然后将𝑥=2代入原函数求得函数值． 【解答】

解：𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑓′(1)𝑥，

则𝑓′(1)=3−2𝑓′(1)⇒𝑓′(1)=1，

则𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+2， 𝑓(2)=23−22+2=6． 故选𝐶． 2. 【答案】 A

【考点】 导数的运算 【解析】

求导，将𝑥=1代入导函数中即可. 【解答】

解：函数𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥， ∴ 𝑓′(𝑥)=2𝑥+𝑥， 则𝑓′(1)=2+1=3. 故选𝐴. 3.

【答案】 B

【考点】 导数的运算 【解析】

根据基本函数的导函数公式对选项进行逐一求解，注意常数的导数为0，即可判定． 【解答】

解：(𝑥2)′=2𝑥，(𝑒𝑥+ln3)′=𝑒𝑥，(3𝑥)′=3𝑥ln3，(sin𝑥)′=cos𝑥， 故选项𝐵错误， 故选𝐵． 4. 【答案】 C

【考点】

试卷第6页，总24页

1

导数的运算 【解析】

利用导数的运算求解即可. 【解答】

解：𝑓(𝑥)=𝑥2+sin𝑥， ∴ 𝑓′(𝑥)=2𝑥2+cos𝑥， ∴ 𝑓′(0)=0+cos0=1. 故选𝐶. 5.

【答案】 D

【考点】

变化的快慢与变化率 导数的运算

【解析】

根据瞬时速度与导数的关系，先对𝑠求导，再把𝑡=1代入𝑠′进行运算即可得解. 【解答】

解：∵ 𝑠=2𝑡2−1， ∴ 𝑠′=4𝑡，

当𝑡=1时，𝑠′=4×1=4. 故选𝐷. 6. 【答案】 C

【考点】 导数的运算 【解析】

先由复合函数的求导公式求出𝑓′(𝑥)，再把𝑥=代入计算．

6𝜋

【解答】

解：∵ 函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−6)，

则𝑓′(𝑥)=[sin(2𝑥−)]′⋅(2𝑥−)′=2cos(2𝑥−)，

6

6

6

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

所以𝑓′(6)=2cos(2×6−6)=2cos6=√3. 故选𝐶. 7.

【答案】 A

【考点】 导数的运算 【解析】

利用导数运算法则，直接计算即可. 【解答】

解：根据题意得𝑓′(𝑥)=(𝑥3−2𝑥2−3)′=3𝑥2−4𝑥.

试卷第7页，总24页

𝜋𝜋𝜋𝜋

故选𝐴． 8.

【答案】 A

【考点】 导数的运算 【解析】

先求导，再代入即可. 【解答】

解：𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥，

所以𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥sin𝑥+𝑒𝑥cos𝑥 则𝑓′(0)=𝑒0sin0+𝑒0cos0=1 . 故选𝐴. 9.

【答案】 A

【考点】

简单复合函数的导数 导数的运算

【解析】

可求出导函数𝑓(𝑥)，然后将𝑥换上0即可求出𝑓(0)的值． 【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sin2𝑥，

∴ 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥sin2𝑥+2𝑒𝑥cos2𝑥=𝑒𝑥(sin2𝑥+2cos2𝑥)， ∴ 𝑓′(0)=𝑒0(sin0+2cos0)=2． 故选𝐴． 10.

【答案】 C

【考点】 导数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：求导得：𝑓′(𝑥)=2𝑓′(𝑒)+，

𝑥1

把𝑥=𝑒代入得：𝑓′(𝑒)=𝑒−1+2𝑓′(𝑒)， 解得：𝑓′(𝑒)=−𝑒−1． 故选𝐶. 11.

【答案】 B

【考点】

函数解析式的求解及常用方法 导数的运算

试卷第8页，总24页

【解析】

利用待定系数法，即可得出解析式. 【解答】

解：设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，(𝑎≠0)， 则𝑓′(𝑥)=2𝑎𝑥+𝑏，

由题意得，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏−1， 𝑎=1,𝑎=1,则有{𝑏=2𝑎,解得{𝑏=2,

𝑐=𝑏−1,𝑐=1,故𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+1. 故选𝐵. 12.

【答案】 B

【考点】 导数的运算 【解析】

根据导数的运算法则先求导，问题得以解决 【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐， ∴ 𝑓′(𝑥)=4𝑎𝑥3+2𝑏𝑥，

∴ 𝑓′(−𝑥)=−4𝑎𝑥3−2𝑏𝑥=−𝑓′(𝑥)， ∴ 𝑓′(−1)=−𝑓′(1)=−2. 故选𝐵. 13.

【答案】 A

【考点】 导数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(1)+ln𝑥，求导得：𝑓′(𝑥)=2𝑓′(1)+𝑥， 令𝑥=1，得到𝑓′(1)=2𝑓′(1)+1，解得：𝑓′(1)=−1. 故选𝐴. 14.

【答案】 A

【考点】

函数奇偶性的性质 函数恒成立问题 利用导数研究函数的极值 导数的运算 【解析】

试卷第9页，总24页

1

利用奇偶性以及极值关系列出关系式求解参数即可 【解答】

解：∵ 𝑓(1)=1且𝑓(𝑥)为奇函数， ∴ 𝑓(−1)=−1，

𝑎−𝑏

1+𝑐

代入{−𝑎−𝑏

1+𝑐

=1，=−1，𝑎𝑥−𝑏

𝑥2+𝑐

∴ 𝑏=0， ∵ 𝑓(𝑥)=⇒𝑓′(𝑥)=

𝑎(𝑐−𝑥2)

， (𝑥2+𝑐)2∵ 𝑥=1是极大值点， ∴ 𝑓1)=0⇒⇒

′(

𝑎(𝑐−12)(1+𝑐)2

=0，

∵ 𝑎≠0，∴ 𝑐−1=0解得𝑐=1， ∴

𝑎−01+1

=1⇒𝑎=2，

2𝑥

∴ 𝑓(𝑥)=𝑥2+1. 故选A. 15.

【答案】 A

【考点】 导数的运算 【解析】 无

【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−𝑥𝑒𝑥， ∴ 𝑓′(𝑥)=2𝑥+2−(𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥)， ∴ 𝑓′(0)=2−1=1． 故选𝐴． 16. 【答案】 B

【考点】 导数的运算 【解析】

利用常数的导数为零求解即可. 【解答】 解：𝑦=e3， 则𝑦′=0. 故选𝐵. 17. 【答案】

试卷第10页，总24页

B

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的运算

【解析】

根据题意，求出函数的导数，进而可得𝑓′(1)=2𝑓′(1)+1 ，解可得𝑓′(1)的值，由导数的几何意义分析可得答案． 【解答】

解：根据题意，函数𝑓(𝑥)满足 𝑓(𝑥)=2𝑥𝑓′(1)+ln𝑥， 其导函数𝑓′(𝑥)=2𝑓′(1)+，

𝑥1

则有𝑓′(1)=2𝑓′(1)+1 ， 解可得𝑓′(1)=−1，

则𝑓(𝑥)图象在点𝑀(1,𝑓(1))处的切线斜率𝑘=−1. 故选B．

二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）

18.

【答案】 −2

【考点】 导数的运算 【解析】

由𝑓(𝑥)的解析式，利用求导法则求出𝑓(𝑥)的导函数，把𝑥=1代入导函数中求出𝑓′(1)的值，从而确定出𝑓(𝑥)的解析式，然后分别把𝑥等于1和−1代入即可求出𝑓(1)和𝑓(−1)的值，即可比较出大小． 【解答】

解：由𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥𝑓′(1)， 求导得𝑓′(𝑥)=2𝑥+2𝑓′(1)，

把𝑥=1代入得：𝑓′(1)=2+2𝑓′(1)， 解得：𝑓′(1)=−2. 故答案为：−2. 19.

【答案】 2

【考点】 导数的运算 【解析】

由题得到𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑎，根据𝑓′(1)=3+𝑎=5，即可得解. 【解答】

解：因为𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑎， 所以𝑓′(1)=3+𝑎=5， 所以𝑎=2. 故答案为：2. 20. 【答案】

试卷第11页，总24页

1

𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥

2【考点】

常用函数的导数 导数的运算 【解析】

答案未提供解析． 【解答】

解：由题意，导函数𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑥， 则函数𝑓(𝑥)可能为𝑓(𝑥)=2𝑥2+ln𝑥. 故答案为：𝑓(𝑥)=𝑥2+ln𝑥.

21

1

1

21.

【答案】 2𝑒

【考点】 导数的运算 【解析】

认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)． 【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥， ∴ 𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥， ∴ 𝑓′(1)=2𝑒． 故答案为：2𝑒. 22.

【答案】 1

【考点】 导数的运算 【解析】 无

【解答】

解：因为𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥2𝑓′(𝑎)， 令𝑥=1，

则𝑓(1)=0+𝑓′(𝑎)， 所以𝑓′(𝑎)=−1． 又𝑓′(𝑥)=𝑥+2𝑥𝑓′(𝑎)， 令𝑥=𝑎，

得−1=𝑎+2𝑎×(−1)， 故2𝑎2−𝑎−1=0， 解得𝑎=1或𝑎=−2，

试卷第12页，总24页

1

11

又𝑎>0， 故𝑎=1．

故答案为：1． 23.

【答案】 −6

【考点】 导数的运算 【解析】

先求导得𝑓′(𝑥)=2𝑥+2𝑓′(2)，令𝑥=2求得𝑓′(2)得到𝑓′(𝑥)=2𝑥−8，即可求解． 【解答】

解：由题意，得𝑓′(𝑥)=2𝑥+2𝑓′(2)， ∴ 𝑓′(2)=2×2+2𝑓′(2)， 解得𝑓′(2)=−4， ∴ 𝑓′(𝑥)=2𝑥−8，

∴ 𝑓′(1)=2×1−8=−6. 故答案为：−6. 24. 【答案】

1+1 𝑒【考点】 导数的运算

函数解析式的求解及常用方法

【解析】

根据题意，求出函数𝑓(𝑥)的解析式，对其求导即可得答案． 【解答】

解：根据题意， 得𝑓(𝑒𝑥)=𝑥+𝑒𝑥， 令𝑡=𝑒𝑥，

则𝑓(𝑡)=ln𝑡+𝑡， ∴ 𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥， ∴ 𝑓′(𝑥)=𝑥+1， ∴ 𝑓′(𝑒)=𝑒+1. 故答案为：𝑒+1. 25. 【答案】 (2,1),2020 【考点】 函数的对称性 函数的求值 函数新定义问题

1

111

试卷第13页，总24页

导数的运算 【解析】

【解答】

解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+3𝑥−，

2

4

3

1

∴ 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3𝑥+3，则𝑓″(𝑥)=6𝑥−3. 令𝑓″(𝑥)=0，可得𝑥=，则𝑓()=1，

22根据题意可得，

函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2+3𝑥−4的对称中心为(2,1)， ∴ 𝑓(1−𝑥)+𝑓(𝑥)=2，

∴ 𝑓(2021)+𝑓(2021)+𝑓(2021)+⋯+𝑓(2021) =2×

202021

2

3

2020

3

1

1

1

1

=2020.

1

故答案为：(2,1)；2020.

三、 解答题 （本题共计 12 小题 ，每题 10 分 ，共计120分 ） 26.

【答案】

解：(1)𝑦=𝑥ln𝑥，

∴ 𝑦′=1×ln𝑥+𝑥⋅=1+ln𝑥，

𝑥1

∴ 𝑦′=ln𝑥+1.

(2)𝑘=𝑦′|𝑥=𝑒=ln𝑒+1=2.

又当𝑥=𝑒时，𝑦=𝑒，所以切点为(𝑒, 𝑒)， ∴ 切线方程为𝑦−𝑒=2×(𝑥−𝑒)， 即2𝑥−𝑦−𝑒=0．

【考点】 导数的运算

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

（1）运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．

（2）欲求在点𝑥=𝑒处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在𝑥=𝑒处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】

解：(1)𝑦=𝑥ln𝑥，

∴ 𝑦′=1×ln𝑥+𝑥⋅𝑥=1+ln𝑥， ∴ 𝑦′=ln𝑥+1.

(2)𝑘=𝑦′|𝑥=𝑒=ln𝑒+1=2.

又当𝑥=𝑒时，𝑦=𝑒，所以切点为(𝑒, 𝑒)， ∴ 切线方程为𝑦−𝑒=2×(𝑥−𝑒)， 即2𝑥−𝑦−𝑒=0．

试卷第14页，总24页

1

27. 【答案】 解：𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=

′

ln𝑥𝑥

， =

1−ln𝑥𝑥21

×𝑥−ln𝑥×1𝑥

𝑥2．

(2)当𝑓′(𝑥)=0时，𝑥=𝑒， 当𝑓′(𝑥)>0时，0<𝑥<𝑒， 当𝑓′(𝑥)<0时，𝑥>𝑒，

∴ 𝑓(𝑥)的单调增递增区间为(0,𝑒)，单调递减区间为(𝑒,+∞)． 【考点】 导数的运算

利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=

′

ln𝑥𝑥

， =

1−ln𝑥𝑥21

×𝑥−ln𝑥×1𝑥

𝑥2．

(2)当𝑓′(𝑥)=0时，𝑥=𝑒， 当𝑓′(𝑥)>0时，0<𝑥<𝑒， 当𝑓′(𝑥)<0时，𝑥>𝑒，

∴ 𝑓(𝑥)的单调增递增区间为(0,𝑒)，单调递减区间为(𝑒,+∞)． 28.

【答案】

（1）因为𝑦＝𝑥4−3𝑥2−5𝑥+6， 所以𝑦′＝4𝑥3−6𝑥−5； （2）因为𝑦＝𝑥3𝑒𝑥，

所以𝑦′＝3𝑥2⋅𝑒𝑥+𝑥3⋅𝑒𝑥＝𝑒𝑥𝑥2(3+𝑥)． 【考点】 导数的运算 【解析】

(Ⅰ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可； (Ⅱ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可． 【解答】

（1）因为𝑦＝𝑥4−3𝑥2−5𝑥+6， 所以𝑦′＝4𝑥3−6𝑥−5； （2）因为𝑦＝𝑥3𝑒𝑥，

所以𝑦′＝3𝑥2⋅𝑒𝑥+𝑥3⋅𝑒𝑥＝𝑒𝑥𝑥2(3+𝑥)． 29.

【答案】

𝑦′＝𝑒𝑥cos𝑥−𝑒𝑥sin𝑥＝𝑒𝑥(cos𝑥−sin𝑥)；

试卷第15页，总24页

．

【考点】 导数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 30.

【答案】 【考点】

利用导数研究函数的单调性 导数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 31. 【答案】

（1）𝑓(2)=3𝑔(2)=6； （2）𝑓[𝑔(2)]=7 【考点】 函数的求值 求函数的值 导数的运算 【解析】

（1）根据函数解析式，直接计算，得出𝑓(2)=3𝑔(2)=6 （2）由（1）可直接计算出结果． 【解答】

（1）因为𝑓(𝑥)=1+𝑥,𝑔(𝑥)=𝑥2+2，所以𝑓(2)=1+2=3𝑔(2)=22+2=6 （2）由（1）得𝑓[𝑔(2)]=𝑓(6)=7 32.

【答案】

解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑓′(0)𝑒𝑥+2𝑥−𝑓(0)+1， 令𝑥=0，解得𝑓(0)=1， 则𝑓(𝑥)=𝑓′(0)𝑒𝑥+𝑥2，

令𝑥=0，得𝑓(0)=𝑓′(0)=1， 所以𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2．

试卷第16页，总24页

1

1

1

1

1

11

(2)因为𝑔(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2−𝑚𝑥在[1,2]上单调递增， 所以𝑔′(𝑥)≥0在[1,2]上恒成立，

即𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+2𝑥−𝑚≥0在[1,2]上恒成立， 所以𝑚≤𝑒𝑥+2𝑥在[1,2]上恒成立．

又因为函数𝑦=𝑒𝑥+2𝑥在[1,2]上单调递增， 所以𝑚≤𝑒+2，

所以𝑚的取值范围为(−∞,𝑒+2]． 【考点】

函数解析式的求解及常用方法 导数的运算

已知函数的单调性求参数问题 【解析】

左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析

【解答】

解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑓′(0)𝑒𝑥+2𝑥−𝑓(0)+1， 令𝑥=0，解得𝑓(0)=1， 则𝑓(𝑥)=𝑓′(0)𝑒𝑥+𝑥2，

令𝑥=0，得𝑓(0)=𝑓′(0)=1， 所以𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2．

(2)因为𝑔(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥2−𝑚𝑥在[1,2]上单调递增， 所以𝑔′(𝑥)≥0在[1,2]上恒成立，

即𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+2𝑥−𝑚≥0在[1,2]上恒成立， 所以𝑚≤𝑒𝑥+2𝑥在[1,2]上恒成立．

又因为函数𝑦=𝑒𝑥+2𝑥在[1,2]上单调递增， 所以𝑚≤𝑒+2，

所以𝑚的取值范围为(−∞,𝑒+2]． 33. 【答案】

解：(1)∵ 𝑦=𝑥(𝑥−∴ 𝑦′=2𝑥+

1𝑥2

1𝑥2)=𝑥2−𝑥，

1

.

(2)∵ 𝑦=𝑒𝑥−2𝑥，

∴ (𝑒𝑥)′=𝑒𝑥，(2𝑥)′=2𝑥ln2， ∴ 𝑦′=𝑒𝑥−2𝑥ln2.

(3)∵ 𝑦=𝑥2(ln𝑥+sin𝑥)=𝑥2ln𝑥+𝑥2⋅sin𝑥， ∴ 𝑦′=2𝑥⋅ln𝑥+𝑥2⋅𝑥+2𝑥⋅sin𝑥+𝑥2⋅cos𝑥 =2𝑥(ln𝑥+sin𝑥+2)+𝑥2⋅cos𝑥. 【考点】 导数的运算 【解析】

试卷第17页，总24页

1

1

无 无 【解答】

解：(1)∵ 𝑦=𝑥(𝑥−𝑥2)=𝑥2−𝑥， ∴ 𝑦′=2𝑥+

1𝑥21

1

.

(2)∵ 𝑦=𝑒𝑥−2𝑥，

∴ (𝑒𝑥)′=𝑒𝑥，(2𝑥)′=2𝑥ln2， ∴ 𝑦′=𝑒𝑥−2𝑥ln2.

(3)∵ 𝑦=𝑥2(ln𝑥+sin𝑥)=𝑥2ln𝑥+𝑥2⋅sin𝑥， ∴ 𝑦′=2𝑥⋅ln𝑥+𝑥2⋅+2𝑥⋅sin𝑥+𝑥2⋅cos𝑥

𝑥1

=2𝑥(ln𝑥+sin𝑥+)+𝑥2⋅cos𝑥.

2

1

34. 【答案】

解：(1)𝑓(𝑥)=3𝑥3+2𝑥2+𝑏𝑥， 所以𝑓′(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，

函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图像经过点(0,0),(2,0)， 所以𝑏=0，𝑎=−2．

(2)由(1)𝑔(𝑥)=3𝑥3−𝑥2+1可得， 𝑔′(𝑥)=𝑥2−2𝑥， 令𝑔′(𝑥)=𝑥2−2𝑥=0， 解得𝑥=0,𝑥=2， 列出表格如下：

11

𝑎

𝑥 −3 𝑔′(𝑥) (−3,0) 0 + 0 (0,2) 2 − 0 (2,3) 3 + 1 𝑔(𝑥) −17 ↗ 极大值1 ↘ 1极小值−3 ↗ 所以函数𝑔(𝑥)在[−3,3]上的最大值为1，最小值为−17． 【考点】 导数的运算

利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：(1)𝑓(𝑥)=3𝑥3+2𝑥2+𝑏𝑥， 所以𝑓′(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，

函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图像经过点(0,0),(2,0)，

试卷第18页，总24页

1

𝑎

所以𝑏=0，𝑎=−2．

(2)由(1)𝑔(𝑥)=𝑥3−𝑥2+1可得， 𝑔′(𝑥)=𝑥2−2𝑥，

31

令𝑔′(𝑥)=𝑥2−2𝑥=0， 解得𝑥=0,𝑥=2， 列出表格如下：

𝑥 −3 𝑔′(𝑥) (−3,0) 0 + 0 (0,2) 2 − 0 (2,3) 3 + 1 𝑔(𝑥) −17 ↗ 极大值1 ↘ 1极小值−3 ↗ 所以函数𝑔(𝑥)在[−3,3]上的最大值为1，最小值为−17． 35. 【答案】

解：(1)因为𝑓(𝑥)=所以𝑓′(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑒𝑥

，

−𝑥2+(2−𝑏)𝑥+𝑏−𝑐

𝑒𝑥. 又因为𝑓′(1)=0， 所以

−1+(2−𝑏)+𝑏−𝑐

𝑒

=0，

解得𝑐=1.

(2)由(1)知𝑐=1， 所以𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+1

𝑒𝑥，

所以𝑓(0)=1， 因为𝑓′(𝑥)=

−𝑥2+(2−𝑏)𝑥+𝑏−1

𝑒𝑥，

所以𝑓′(0)=𝑏−1，

因为函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=0处的切线方程为𝑦−1=(𝑏−1)𝑥， 又切线过点(−1,0)，即−1=−(𝑏−1)，解得𝑏=2. 因为𝑓′(𝑥)=−

(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑒𝑥

，

令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=±1，列表如下：

𝑥 (−∞,−1) −1 (−1,1) 1 (1,+∞) 𝑓′(𝑥) − 0 + 0 − 𝑓(𝑥) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以当𝑥=−1时，函数𝑦=𝑓(𝑥)取得极小值𝑓(−1)=0， 当𝑥=1时，函数𝑦=𝑓(𝑥)取得极大值为𝑓(1)=𝑒. (3)因为𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+1

𝑒𝑥4

≤2在𝑥∈[0,2]上恒成立，

所以𝑏𝑥≤2𝑒𝑥−(𝑥2+1)在𝑥∈[0,2]上恒成立．

试卷第19页，总24页

当𝑥=0时， 0≤1成立； 当𝑥∈(0,2]时， 𝑏≤记𝑔(𝑥)=

2𝑒𝑥𝑥

2𝑒𝑥𝑥1

−(𝑥+)恒成立，

𝑥

1

−(𝑥+)，𝑥∈(0,2]，

𝑥

𝑥2

则𝑔′(𝑥)=

2𝑒𝑥(𝑥−1)

−(1−

)=𝑥2

1

(𝑥−1)(2𝑒𝑥−𝑥−1)

𝑥2

. 令ℎ(𝑥)=2𝑒𝑥−𝑥−1，𝑥∈(0,2]，

则ℎ′(𝑥)=2𝑒𝑥−1>2𝑒0−1=1>0， 所以函数𝑦=ℎ(𝑥)在区间(0,2]上单调递增， 所以ℎ(𝑥)>ℎ(0)=2𝑒0−0−1=1>0， 即2𝑒𝑥−𝑥−1>0在区间(0,2]上恒成立． 当𝑥∈(0,2]，令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥=1，

所以函数𝑦=𝑔(𝑥)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 所以𝑔(𝑥)min=𝑔(1)=2𝑒−2， 所以 𝑏≤2𝑒−2，

因此实数𝑏的取值范围是(−∞,2𝑒−2]. 【考点】 导数的运算

利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：(1)因为𝑓(𝑥)=所以𝑓′(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑒𝑥，

−𝑥2+(2−𝑏)𝑥+𝑏−𝑐

𝑒𝑥. 又因为𝑓′(1)=0， 所以

−1+(2−𝑏)+𝑏−𝑐

𝑒

=0，

解得𝑐=1.

(2)由(1)知𝑐=1， 所以𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+1

𝑒𝑥

，

所以𝑓(0)=1， 因为𝑓′(𝑥)=

−𝑥2+(2−𝑏)𝑥+𝑏−1

𝑒𝑥，

所以𝑓′(0)=𝑏−1，

因为函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=0处的切线方程为𝑦−1=(𝑏−1)𝑥， 又切线过点(−1,0)，即−1=−(𝑏−1)，解得𝑏=2. 因为𝑓′(𝑥)=−

(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑒𝑥

，

令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=±1，列表如下：

试卷第20页，总24页

𝑥 (−∞,−1) −1 (−1,1) 1 (1,+∞) 𝑓′(𝑥) − 0 + 0 − 𝑓(𝑥) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以当𝑥=−1时，函数𝑦=𝑓(𝑥)取得极小值𝑓(−1)=0， 当𝑥=1时，函数𝑦=𝑓(𝑥)取得极大值为𝑓(1)=𝑒. (3)因为𝑓(𝑥)=

𝑥2+𝑏𝑥+1

𝑒𝑥4

≤2在𝑥∈[0,2]上恒成立，

所以𝑏𝑥≤2𝑒𝑥−(𝑥2+1)在𝑥∈[0,2]上恒成立． 当𝑥=0时， 0≤1成立； 当𝑥∈(0,2]时， 𝑏≤记𝑔(𝑥)=

′(

2𝑒𝑥𝑥

2𝑒𝑥𝑥1

−(𝑥+𝑥)恒成立，

1

−(𝑥+𝑥)，𝑥∈(0,2]，

𝑥2

则𝑔𝑥)=

2𝑒𝑥(𝑥−1)

−(1−𝑥2)=

1

(𝑥−1)(2𝑒𝑥−𝑥−1)

𝑥2

. 令ℎ(𝑥)=2𝑒𝑥−𝑥−1，𝑥∈(0,2]，

则ℎ′(𝑥)=2𝑒𝑥−1>2𝑒0−1=1>0， 所以函数𝑦=ℎ(𝑥)在区间(0,2]上单调递增， 所以ℎ(𝑥)>ℎ(0)=2𝑒0−0−1=1>0， 即2𝑒𝑥−𝑥−1>0在区间(0,2]上恒成立． 当𝑥∈(0,2]，令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥=1，

所以函数𝑦=𝑔(𝑥)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 所以𝑔(𝑥)min=𝑔(1)=2𝑒−2， 所以 𝑏≤2𝑒−2，

因此实数𝑏的取值范围是(−∞,2𝑒−2]. 36.

【答案】

解：(1)因为𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑥+𝑏，

所以𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥3+(3𝑎+1)𝑥2+(𝑏+2)𝑥+𝑏． 因为𝑔(𝑥)是奇函数，

所以𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥)恒成立， 从而3𝑎+1=0，𝑏=0， 解得𝑎=−3，𝑏=0．

(2)由(1)知𝑔(𝑥)=−𝑥3+2𝑥，

31

1

所以𝑔′(𝑥)=−𝑥2+2， 令𝑔′(𝑥)=0．

解得𝑥=−√2（舍去）或𝑥=√2， 而𝑔(1)=3，𝑔(√2)=

5

4√2，𝑔(2)3

4

=3，

4√2， 3

因此𝑔(𝑥)在区间[1,2]上的最大值为𝑔(√2)=最小值为𝑔(2)=3．

4

试卷第21页，总24页

【考点】

函数奇偶性的性质 导数的运算

利用导数研究函数的最值 【解析】

【解答】

解：(1)因为𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑥+𝑏，

所以𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥3+(3𝑎+1)𝑥2+(𝑏+2)𝑥+𝑏． 因为𝑔(𝑥)是奇函数，

所以𝑔(−𝑥)=−𝑔(𝑥)恒成立， 从而3𝑎+1=0，𝑏=0， 解得𝑎=−3，𝑏=0．

(2)由(1)知𝑔(𝑥)=−3𝑥3+2𝑥， 所以𝑔′(𝑥)=−𝑥2+2， 令𝑔′(𝑥)=0．

解得𝑥=−√2（舍去）或𝑥=√2， 而𝑔(1)=3，𝑔(√2)=

5

4√2，𝑔(2)3

4

1

1

=3，

4√2， 3

因此𝑔(𝑥)在区间[1,2]上的最大值为𝑔(√2)=最小值为𝑔(2)=3． 37.

4

【答案】 解：（1）𝑓′(𝑥)=𝑥−sin𝑥，

因为(𝑥−sin𝑥)′=1−cos𝑥≥0，

所以𝑓′(𝑥)在(−∞,+∞)单调递增，又𝑓′(0)=0 所以当𝑥∈(−∞,0)时，𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥)单调递增，

所以当𝑥=0时， 𝑓(𝑥)的极小值𝑓(0)=1 ，无极大值． （2）𝑔′(𝑥)=(2+cos𝑥−1)(𝑒𝑥−𝑎) 由（1）知，𝑓(𝑥)≥𝑓(0) ， 即2+cos𝑥−1≥0，

当𝑎≤0时， 𝑒𝑥−𝑎>0,𝑔′(𝑥)≥0， 𝑔(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递增， 当𝑎>0时，令𝑒𝑥−𝑎=0 ，得𝑥=ln𝑎，

于是当𝑥∈(−∞,ln𝑎)，𝑒𝑥−𝑎<0，𝑔′(𝑥)≤0，𝑔(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(ln𝑎,+∞),𝑒𝑥−𝑎>0,𝑔′(𝑥)≥0，𝑔(𝑥)单调递增， 综上，当𝑎≤0时，𝑔(𝑥)在(−∞,+∞)单调递增，

当𝑎>0时，𝑔(𝑥)在(−∞,ln𝑎)上单调递减，在(ln𝑎,+∞)单调递增．

𝑥2

𝑥2

试卷第22页，总24页

（3）令ℎ(𝑥)=𝑓′(𝑥)−𝑒𝑥−𝑏𝑥+1

则ℎ(𝑥)=−𝑒𝑥+(1−𝑏)𝑥−sin𝑥+1，𝑥∈[0,+∞) ℎ′(𝑥)=−𝑒𝑥−cos𝑥+1−𝑏，

ℎ′(𝑥)的导函数ℎ′′(𝑥)=−𝑒𝑥+sin𝑥，

因为𝑥∈[0,+∞） ，所以𝑔′′(𝑥)≤−1+sin𝑥≤0 ℎ′(𝑥)=−𝑒𝑥+sin𝑥在[0,+∞）上单调递减，

当𝑏≥−1时，对任意𝑥≥0时，ℎ′(𝑥)≤ℎ′(0)=−1−𝑏≤0， 所以ℎ(𝑥)在[0,+∞）上单调递减，

所以对任意𝑥≥0时，ℎ(𝑥)≤ℎ(0)=0，

当𝑏<−1时，因为ℎ′(𝑥)在[0,+∞）上单调递减，ℎ′(0)=−1−𝑏>0 当𝑥→+∞时，ℎ′(𝑥)→−∞，

故∃𝑥0∈(0,+∞) ，使ℎ′(𝑥0)=0，且𝑥∈(0,𝑥0)时，ℎ′(𝑥)>0， ℎ(𝑥)单调递增， 所以ℎ(𝑥0)>ℎ(0)=0 ，与任意𝑥≥0，ℎ(𝑥)≤0矛盾， 所以实数𝑏的取值范围为[−1,+∞）． 【考点】

利用导数研究函数的极值 导数的运算

【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）𝑓′(𝑥)=𝑥−sin𝑥，

因为(𝑥−sin𝑥)′=1−cos𝑥≥0，

所以𝑓′(𝑥)在(−∞,+∞)单调递增，又𝑓′(0)=0 所以当𝑥∈(−∞,0)时，𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥)单调递增，

所以当𝑥=0时， 𝑓(𝑥)的极小值𝑓(0)=1 ，无极大值． （2）𝑔𝑥)=(

′(

𝑥22

+cos𝑥−1)(𝑒𝑥−𝑎)

由（1）知，𝑓(𝑥)≥𝑓(0) ， 即

𝑥22

+cos𝑥−1≥0，

当𝑎≤0时， 𝑒𝑥−𝑎>0,𝑔′(𝑥)≥0， 𝑔(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递增， 当𝑎>0时，令𝑒𝑥−𝑎=0 ，得𝑥=ln𝑎，

于是当𝑥∈(−∞,ln𝑎)，𝑒𝑥−𝑎<0，𝑔′(𝑥)≤0，𝑔(𝑥)单调递减， 当𝑥∈(ln𝑎,+∞),𝑒𝑥−𝑎>0,𝑔′(𝑥)≥0，𝑔(𝑥)单调递增， 综上，当𝑎≤0时，𝑔(𝑥)在(−∞,+∞)单调递增，

当𝑎>0时，𝑔(𝑥)在(−∞,ln𝑎)上单调递减，在(ln𝑎,+∞)单调递增． （3）令ℎ(𝑥)=𝑓′(𝑥)−𝑒𝑥−𝑏𝑥+1

则ℎ(𝑥)=−𝑒𝑥+(1−𝑏)𝑥−sin𝑥+1，𝑥∈[0,+∞) ℎ′(𝑥)=−𝑒𝑥−cos𝑥+1−𝑏，

ℎ′(𝑥)的导函数ℎ′′(𝑥)=−𝑒𝑥+sin𝑥，

因为𝑥∈[0,+∞） ，所以𝑔′′(𝑥)≤−1+sin𝑥≤0 ℎ′(𝑥)=−𝑒𝑥+sin𝑥在[0,+∞）上单调递减，

当𝑏≥−1时，对任意𝑥≥0时，ℎ′(𝑥)≤ℎ′(0)=−1−𝑏≤0， 所以ℎ(𝑥)在[0,+∞）上单调递减，

所以对任意𝑥≥0时，ℎ(𝑥)≤ℎ(0)=0，

试卷第23页，总24页

当𝑏<−1时，因为ℎ′(𝑥)在[0,+∞）上单调递减，ℎ′(0)=−1−𝑏>0 当𝑥→+∞时，ℎ′(𝑥)→−∞，

故∃𝑥0∈(0,+∞) ，使ℎ′(𝑥0)=0，且𝑥∈(0,𝑥0)时，ℎ′(𝑥)>0， ℎ(𝑥)单调递增， 所以ℎ(𝑥0)>ℎ(0)=0 ，与任意𝑥≥0，ℎ(𝑥)≤0矛盾， 所以实数𝑏的取值范围为[−1,+∞）．

试卷第24页，总24页