结合具体实例

结合具体实例，说说怎样在几何教学中培养学生的空 间观念、几何直观与推理能力 新课程标准实施以来，随着数学学习内容的增删，数学更贴近学生的实际，学生学习 数学的兴趣越来越浓，数学课堂教学也更加充满活力,数学学习的内容更为丰富，除了传统的有理数、一元一次方程等有关知识外，增加了空间图形的认识，数据的统计收集等内容，代数侧重培养学生的数感、符号感、几何则侧重学生的空间观念培养。以下就空间观念的培养和推理能力的培养谈一点自己的体会。 一、空间观念的培养 作为数学学习的核心内容之一----学生的空间观念的培养，成为新课程的一大特色，《新课程标准》把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容。传统的几何课程，内容差不多都是计算和演绎证明，到了初中后，几乎成了一门纯粹的关于证明的学问。表面上看是遵循了“数学是思维的体操”这一传统要求，但实际上学生的学习积极性、主动性在此过程中被无情地扼杀，数学应有的人文功能、应用功能得不

到有效地发挥。尤其是错过了培养学生空间观念的最佳时期。事实上，空间观念是创新精神所必需的基本要素，没有空间观念几乎谈不上任何发明创造。因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象力和创造性的探求过程，这个过程也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换、利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关生要的作用。所以，明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、发展学生的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力是十分重要的。这就是《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段重要学习内容的原因。 按照《标准》描述的空间观念的主要表现，其具体要求是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考．在这一章的教学过程中，学生 动手较多，亲身体验较多，因此在充分挖掘图形的现实模型，充分让学生动手操作，自主探索，合作交流，以积累有关图形的经验和数学活动经验，发展空间观念之外，还应让学生有充分的思考和想象的空间。为此在学习之初，应鼓励学生先动手，后思考；而以后，则应鼓励学生先想象，再动手。 例如，在开展正方体表面展开的教学时，可以让学生先观察正方体，再想象它的展开图，并把脑子里所想的图形画出来，然后再来进行动手操作，这样能充分验证学生对图形的空间想象力。 二、推理能力的培养 标准指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。演绎推理就是我们熟知的三段论，而合情推理则是指借助归纳、类比、统计等手段得出结论。在初中阶段它是我们研究问题和解决问题的重要手段。我们第二次教学几何知识是在第四章“平面图形及其位置关系”，这一章除了在探索图形性质、画图、拼摆图形、图案设计的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉外，还要了解一些关于图形的概念，如：直线、射线、线段、角、角度、周

角、平角、钝角、直角、锐角和相关的一些性质，进行简单的换算以及两条直线平行和垂直关系等等。其实这些内容小学里就已经学过，这里只是要求学生在小学学过有关知识的基础上能进一步系统地理解和掌握。 在初一第二学期第二章有关“平行线与相交线”的教学中，我明确要求学生通过观察、操作（包括测量、画、折等）、想象、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力。因为这是老教材中的内容，往往会把老教材中的要求带过来，重视概念、图形的性质及判定，而忽视对空间与图形性质的探索和推导过程。 我们知道作为一种直观、形象化的数学模型，几何是不可替代的，由图形带来的直觉，能增进学生对数学的理解，激发他们的创造力，而对空间与图形性质的探索和推导有助于培养学生借助直观进行推理的能力。 平行线、相交线在现实生活中随处可见，同时它们又构成同一平面内两条直线的基本位置关系。学生在以往的学习中已经直观认识了平行与垂直的有关知识，积累了初步的数学活 动经验。因此在这一章教学中，通过学生提供生动有趣的问题情境来进行观察、操作、推理、交流，以丰富数学活动。转在第五章中，我们学习了三角形。三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。因此探索和掌握它的基本性质对学生以后更好地认识现实世界，发展空间观念和推理能力都是非常重要的。本章中，课本为我们提供了很多现实的有趣的问题情境，使学生经历从现实世界中抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程，丰富的例子力求使学生能体会数学与生活的密切联系。多种形式的活动如测量、拼图、折纸和设计图案等，给了学生充分实践和探索的空间。为学生空间观念的发展，数学活动经验的积累，个性的发挥提供很好的机会。但我们在应用课本情境时，也要有一定的选择和变动。 总而言之，在以后的教学中，要注重学生空间观念和推理能力的培养，提高学生学习数学的兴趣，从而使学生在快乐中学习数学

几何直观与空间观念的差异及教学侧重点 孔凡哲(东北师范大学南湖实验学校，314000浙江省嘉兴市南湖区智慧路77号) 王延萍(东北师范大学第二附属小学, 130000

吉林春市朝阳区繁荣路8号) 《新世纪小学数学》2012年第5期（双月刊） 几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布的《普通高 中数学课程标准（实验）》① 早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培养和发展学生的„ 几何直观能力„”）；同时，《义务教育数学课程标准》（2011年版）首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生的几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清的问题。本文就此阐述。 一、几何直观与空间观念的含义差异分析 正如《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。特别地，空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程中”。 其实，“这是针对几何直观的作用的解释性说明，„”②。尽管如此，我们认为：几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，但各有侧重。 （一）二者的侧重点非常明显 几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证。而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。 不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展。 （二）二者触及的领域各有侧重 几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与

几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域。 （三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性 即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。 （四）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用 在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。 特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力的必不可少的阶段，属于奠基性工作。 二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析 几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思考所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力； 同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华。 （一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性 1．几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。 例如，看到a2 +b2 ，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和，它等于斜边的平方。 2．长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念。同时，空间观念的发展具有（儿童发展的）时节性，已有的研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念的最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展。 而几何的启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中的真实形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，熟练地描述与表征周围的环境。这些实验、观察、探索的活动需要不间断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世

界，促进他们几何思维的发展。 （二）二者都具有一定的逻辑性 几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息，而把握核心要素之间的内在关联，其逻辑的成分显而易见； 与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应的图形之间的逻辑关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还是将复杂的图形与其基本图形之间的关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素。 （三）二者具有密切的关联性 作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分。虽然空间观念、几何直观都有先天的成分，但是，其实质性的发展都是在后天完成的，同时，二者的发展相互制约、相互促进。 1．空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础（虽然不是唯一基础，几何直观发展的另一个重要基础，就是整体思维方式的形成，这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害。 2．几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用。正如我们在②中指出的：中小学数学中的几何直观具体表现为四种基本形式“实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观”。这些不同层面的几何直观其实与空间观念的发展密切联系在一起：在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，学生借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断（的一种能力），与其同时，学生也在渐渐地经历图形抽象的过程，空间观念的“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“依据语言的描述画出图形等”等成分不断发展。 在简约符号直观（即简约符号层面的几何直观）阶段，学生在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象而形成半符号化的直观，诸如行程问题中的线路图等等，运用这种直观形式，学生可以很好地“描述物体的方位及其相互之间的位置关系”“描述物体的运动和变化”。 在运用图形直观的阶段，学生可以采以明确的

几何图形为载体分析处理相关的问题，既可以涉及代数问题，也可以触及几何问题。其中，分析图形的基本要素之间的相关关系，是准确运用图形直观的关键，这恰恰是空间观念的重要成分之一。 作为实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物，替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表的直观形式，对于“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等等成分的培养具有显著作用。 （四）二者彼此具有不可替代性 作为“图形与几何”领域学习的重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象的把握程度。从而，具有良好的几何直观（能力）就构成检验空间观念的重要指标之一（虽然不是唯一指标）。 三、几何直观与空间观念的培养侧重点及其典型案例分析 （一）空间观念需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而几何直观需要渗透在数学学习的各个领域，特别是，在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域 例如，通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体，利用学生周围常见的事物，引导学生感受和探索图形的特征，丰富图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念和几何直观。因而，积累几何活动经验就成为几何教育的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。 与此相对应，借助于恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，而抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个主动思考的机会和揭示经验的策略，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。 （二）几何直观更多地体现在问题解决之中、新知建构的过程之中，而空间观念需要全方位地体现在学生亲身参与几何活动之中 例如，借鉴俄罗斯L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著的《直观几何》③中的做法，通过折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单向曲面、六面体的展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题，让小学生用直观的方法接触大量的、生动的几何世界，既可以在问题解决之中体会几何直观带来

的美妙，又可以在活动之中发展空间观念，开阔学生的数学视野，体验了数学的魅力和情趣④。 （三）随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到符号直观、图形直观。而空间观念的发展需要从涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等各个方面，而不可局限在某些方面，比如，从实物到图形的转换。例如，小学低学段可用如下的案例案例1 北师版3年级上册 第26-37页 《搭配中的学问》 教学片断： 师：谁愿意把星期五的菜谱（荤菜：肉丸子、虾；素菜：白菜、豆腐、冬瓜）有几种不同的搭配方法呢？ 生1：我是这样想的： 肉丸子—白菜， 虾—白菜， 肉丸子—豆腐， 虾—豆腐， 肉丸子—冬瓜； 虾—冬瓜。 一共有六种搭配方法。 生2：我用①代表肉丸子，②代表虾，③代表白菜，④代表豆腐，⑤代表冬瓜。 ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ 一共有六种搭配方法。 生3：我是用画图的方法记录的： 肉丸子 虾 白菜 豆腐

冬瓜 一共有六种方法。 „ （四）

几何直观需要更较高的思维水平，从而，更需要教师在日常教学中不断主动地运用几何直观帮助学生建构自己的数学理解，有意识地培养学生的整体思维方式和数形结合的意识，并帮助学生把握往往起核心的那些基本图形（诸如三角形、正方形等等）。 比如，在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据1的替代物，直观而形象。而如下的代数案例也可以很好地体现几何直观的作用：

案例2 北师版3年级上册 第30-31页 《去游乐场——两位数乘一位数进位乘法》 用小棒直观图让孩子理解，4×6=24中的2，要加在十位上，这个2在图里就代表24中的那两捆小棒，因为这两捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆，算十位4×1=4还要加上个位进来的2。结合小棒图，给孩子一个直观的感受，孩子更容易理解竖式的算理。 但是，随着学龄的增加，我们要有意识地提高学生几何直观的层次和水平，逐步过渡到图形直观、符号直观的层次。 参考文献： ① 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）[M]，北京：人民教育出版社，2003年. ② 孔凡哲、史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J],课程·教材·教法，2012年第32卷第7期

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③ 吕乃刚译，沙雷金著，直观几何[M]，上海：华东师范大学出版社，2001年. ④ 孔凡哲、史亮.几何课程设计方式的比较分析--直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较[J], 数学通报,2006年第10期：第7～11页.

用图形说话----培养几何直观能力的尝试 几何直观简单的说就是用图形说事。它反映了一个学生能否把他的理解用一种适当的方式表达出来，能否用图形的方式来去帮助别人、帮助自己，去理解一个可能不太容易理解的问题。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。在教学中我注重从以下

几方面来培养学生的几何直观能力： 一、打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一块。 扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有深厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花，也就提高不了学生的直观洞察能力。 因此，必须严格要求学生熟练掌握几何的各种性质；几种函数的图像特征与性质，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。有了扎实的基础，就可以利用图形的对称、平移变换等特性，找到解决问题的突破口，顺利解决问题。 二、重视直观图形与数学符号的合情转换。如在学生学习正比例函数图像时，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例函数的图像，在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例函数图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例函数的性质。画出图像后，进一步认识图像上任意一点所表示的实际意义，初步体会正比例函数图像的实际应用。通过正比例函数图像与正比例函数关系式的转换，加深对正比例函数的理解。 三、重视数与形的结合。比如不等式组的解法，借助数轴可以很直观的得出结论。二次不等式问题，没有坐标系也很难掌握其解法。在认真的审题的基础上，通过出示直观图，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，使学生体会到数与形的完美结合，从而培养学生的几何直观能力。 四、重视解题教学。教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直观洞察力。例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直观思维的发展，实施开放性问题教学，也是培养直观洞察力的有效方法。 例如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（ ）

根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选C． 五、利用图形来记忆基础知识 几何的很多定理、公理、定义等学生很难记清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。 函数中的性质对于学生来说，也相当难以记住，而且也相当容易混淆它们之间的关系。利用指数函数与对数函数的图象比较形象直观理解与记忆了它们的性质。 \"用图形说话\"，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。培养学生几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求。

多角度全方位培养学生的推理能力 ——学习《专题讲座—初中数学图形与几何》有感 教师：吴桂余 说到推理能力的培养，我们往往把重点放在几何题的证明上，显然这点认识是不全面的。其实，推理应包括合情推理和演绎推理，而合情推理和演绎推理的能力的培养，图形与几何是一个很重要的领域，但不是唯一的领域，在很多领域里面都有所体现。代数中法则公式的获得，我们也可以经历由合情推理到演绎推理的过程，包括统计知识里也可以同样培养学生的推理能力。 而对于合情推理的培养，我们可以设置好的问题情景，给他一个很开阔的空间，才能够感受到合情推理的价值和意义所在。比如说在学习三角形中位线定理时，我们可能遇到过这样的问题——画一个任意的四边形，连接这个四边形四边中点，得到了一个我们叫做中点四边形的图形。同样是这个素材，如果我们老

师让学生求证这个中点四边形是一个平行四边形，他很快的就会过渡到演绎推理；可如果我们能提出一个更开放性的问题“同学们观察我们新得到的这个四边形你觉得它的形状有什么特点，可能是怎样的四边形呢？”那学生可能就要通过很多的手段——直观的观察、测量、猜想等一系列手段去思考，而这个问题又不像有一些问题那么肤浅，它确实有一定的思考空间，真得琢磨琢磨，只有通过观察、测量、想象才会产生它可能是平行四边形的猜想，这个过程就显得更真实。有了这样一个过程，我们进而再去提问“为什么它是一个平行四边形？”，通过连接对角线的辅助线，构造三角形的中位线，逐渐把这个问题证明了。当然这样的例子不只一个，我们应该更多地去挖掘。 在代数的学习中，其实也可以培养推理能力，如代数值大小的比较，即若要证明a>b，只需要证a-b>0即可，通过这种形式的训练，也可培养学生的推理能力。 同样这样一个问题，如果我们直接要求“请证明两个奇数的平方差是 8 的倍数”，从结果上好像是一样的，但像前面那样设置问题的话，给学生的就不仅仅是得到这个结论了，而是他经历了观察猜想，自己又举案例去支持他的猜想，再想办法用数学符号来表达规律，进一步通过代数运算去证明。这个例子启示我们，把以前一些纯粹只有演绎这样成分的问题，尽可能改造成既有演绎又有合情推理的过程，在这当中学生的能力就得到了培养。 所以我们在平时的教学过程当中，把推理能力贯穿到每个领域、贯穿到每一节课当中，多角度全方位培养学生的推理能力。