2021年江苏省常州市数学中考真题含答案解析

一、选择题（每小题2分,共16分）1．（2分）（2015•潜江）﹣3的绝对值是（　　）　A．3B．﹣3C．　

2．（2分）（2015•常州）要使分式

有意义,则x的取值范围是（　　）

D．

　A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠2　3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）　A．B．C．D．

　4．（2分）（2015•常州）如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是（　　）

　A．70°B．60°C．50°D．40°　5．（2分）（2015•常州）如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是（　　）

　A．AO=OD　

B．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB

6．（2分）（2015•常州）已知a=　A．a＞b＞c　

B．c＞b＞a

,b=,c=,则下列大小关系正确的是（　　）C．b＞a＞c

D．a＞c＞b

7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1,当x＞1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是（　　） 1

　A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣1　8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是（　　）

　A．

cm2

B．8cm2C．

cm2

D．16cm2

二、填空题（每小题2分,共20分）

9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=　　　　　　．　10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米,数字696 000用科学记数法表示为　　　　　　．　

11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2=　　　　　　．　12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是　　　　　　．　13．（2分）（2015•常州）如图,在△ABC中,DE∥BC,AD：DB=1：2,DE=2,则BC的长是　　　　　　．

14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解,则a的值是　　　　　　．　

15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　　　　　　．　16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A（400,300）,从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是　　　　　　．

2

　17．（2分）（2015•常州）数学家歌德通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想．4=2+2。　　　　　 12=5+7。

6=3+3。　　　　　 14=3+11=7+7。8=3+5。　　　　 　16=3+13=5+11。10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11。…

通过这组等式,你发现的规律是　　　　　　（请用文字语言表达）．　18．（2分）（2015•常州）如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是　　　　　　．

三、解答题（共10小题,共84分）

19．（6分）（2015•常州）先化简,再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x）,其中x=2．　20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：（1）

。　　　　　

（2）．

　21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

3

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数,并补全占频数分布直方图。（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．　22．（8分）（2015•常州）甲,乙,丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛,他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率。（2）求甲比乙先出场的概率．　23．（8分）（2015•常州）如图,在▱ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF。（2）求∠EAF的度数．

　24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元。中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费．

（1）求m,n的值,并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式。（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？　25．（8分）（2015•常州）如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2,求AB。 4

（2）若AB+CD=2+2,求AB．

　26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图）,画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积）,那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空

如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH,EH．

∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽　　　　　　．∴

,即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2=　　　　　　,即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形．

如图②,请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法,保留作图痕迹）．（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　　　　　　（填写图形名称）,再转化为等积的正方形．

如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方．

如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图）．

5

　27．（10分）（2015•常州）如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标。

（2）当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在,求出点P的坐标。如果不存在,请说明理由．

（3）若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求

的值．

6

28．（10分）（2015•常州）如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1,4）,直接写出k的值和△PAB的面积。

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证：△PMN是等腰三角形。

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合）,连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由．

7

2021年江苏省常州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题2分,共16分）1．（2分）（2015•潜江）﹣3的绝对值是（　　）　A．3B．﹣3C．

D．

考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．

故选：A．点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身。一个负数

的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0．　

2．（2分）（2015•常州）要使分式　A．x＞2

B．x＜2

有意义,则x的取值范围是（　　）

C．x≠﹣2

D．x≠2

考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据分式有意义得到分母不为0,即可求出x的范围．解答：解：要使分式有意义,须有x﹣2≠0,即x≠2,

故选D．点评：此题考查了分式有意义的条件,分式有意义的条件为：分母不为0．　3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）　A．B．C．D．

考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答：解：A、不是轴对称图形,故本选项错误。

B、是轴对称图形,故本选项正确。C、不是轴对称图形,故本选项错误。D、不是轴对称图形,故本选项错误．故选：B．

8

点评：本题考查了轴对称图形,掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,图

形两部分沿对称轴折叠后可重合．　4．（2分）（2015•常州）如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是（　　）

　A．70°B．60°C．50°D．40°

考点：平行线的性质。垂线．专题：计算题．分析：由BC与AE垂直,得到三角形ABC为直角三角形,利用直角三角形两锐角互余,求出

∠A的度数,再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．解答：解：∵BC⊥AE,

∴∠ACB=90°,

在Rt△ABC中,∠B=40°,∴∠A=90°﹣∠B=50°,∵CD∥AB,

∴∠ECD=∠A=50°,

故选C．点评：此题考查了平行线的性质,以及垂线,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．　5．（2分）（2015•常州）如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是（　　）

　A．AO=ODB．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB

考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等,对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等,A错误。

对角线不一定互相垂直,B错误。对角线互相平分,C正确。

对角线与边不一定垂直,D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质,掌握平行四边形的对边平行且相等,对角线互相平分

是解题的关键．　

9

6．（2分）（2015•常州）已知a=　A．a＞b＞c

B．c＞b＞a

,b=,c=,则下列大小关系正确的是（　　）C．b＞a＞c

D．a＞c＞b

考点：实数大小比较．专题：计算题．分析：将a,b,c变形后,根据分母大的反而小比较大小即可．解答：

解：∵a==,b==,c==,且＜＜

,

∴＞＞,即a＞b＞c,

故选A．点评：此题考查了实数比较大小,将a,b,c进行适当的变形是解本题的关键．　

7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1,当x＞1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是（　　）　A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣1考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．解答：

解：抛物线的对称轴为直线x=﹣,

∵当x＞1时,y的值随x值的增大而增大,∴﹣

≤1,

解得m≥﹣1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的增减性,熟记性质并列出不等式是

解题的关键．　8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是（　　）

　A．

cm2

B．8cm2C．

cm2

D．16cm2

考点：翻折变换（折叠问题）．分析：当AC⊥AB时,重叠三角形面积最小,此时△ABC是等腰直角三角形,面积为8cm2．

10

解答：解：如图,当AC⊥AB时,三角形面积最小,

∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm,

∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．

点评：本题考查了折叠的性质,发现当AC⊥AB时,重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．　

二、填空题（每小题2分,共20分）

9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=　1　．考点：负整数指数幂。零指数幂．分析：分别根据零指数幂,负整数指数幂的运算法则计算,然后根据实数的运算法则求得计算

结果．解答：解：（π﹣1）0+2﹣1

=1+=1．

故答案为：1．

点评：本题主要考查了零指数幂,负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数。任

何非0数的0次幂等于1．　10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米,数字696 000用科学记数法表示为　6.96×105　．

考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．本题中696 000有6

位整数,n=6﹣1=5．解答：解：696 000=6.96×105．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜

10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　

11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2=　2（x+y）（x﹣y）　． 11

考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．

故答案为：2（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,

注意分解要彻底．　12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是　27π　．考点：扇形面积的计算．分析：利用弧长公式即可求扇形的半径,进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．解答：解：设扇形的半径为r．

则解得r=9,

=6π,

∴扇形的面积==27π．

故答案为：27π．点评：

此题主要考查了扇形面积求法,用到的知识点为：扇形的弧长公式l=

积公式S=

．

。扇形的面

　13．（2分）（2015•常州）如图,在△ABC中,DE∥BC,AD：DB=1：2,DE=2,则BC的长是　6　．考点：相似三角形的判定与性质．分析：由平行可得对应线段成比例,即AD：AB=DE：BC,再把数值代入可求得BC．解答：解：∵DE∥BC,

∴,

∵AD：DB=1：2,DE=2,∴

,

解得BC=6．

故答案为：6．点评：

12

本题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．　

14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解,则a的值是　　．

考点：一元一次方程的解．专题：计算题．分析：把x=2代入方程计算即可求出a的值．解答：

解：把x=2代入方程得：3a=a+2,

解得：a=．故答案为：．

点评：此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．　

15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　（1,﹣2）　．考点：二次函数的性质．分析：此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其

顶点的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+2x﹣3

=﹣（x2﹣2x+1）﹣2

=﹣（x﹣1）2﹣2,

故顶点的坐标是（1,﹣2）．故答案为（1,﹣2）．点评：本题考查了二次函数的性质,求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法,②配方法．　16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A（400,300）,从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是　（400,800）　．

考点：勾股定理的应用。坐标确定位置。全等三角形的应用． 13

分析：根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS）,进而得出C,A,D

也在一条直线上,求出CD的长即可得出C点坐标．解答：解：连接AC,

由题意可得：AB=300m,BC=400m,在△AOD和△ACB中

∵

,

∴△AOD≌△ACB（SAS）,∴∠CAB=∠OAD,

∵B、O在一条直线上,∴C,A,D也在一条直线上,

∴AC=AO=500m,则CD=AC=AD=800m,∴C点坐标为：（400,800）．故答案为：（400,800）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理,得出C,A,D也在一条直线上是解题关键．　17．（2分）（2015•常州）数学家歌德通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想．4=2+2。　　　　　 12=5+7。

6=3+3。　　　　　 14=3+11=7+7。8=3+5。　　　　 　16=3+13=5+11。10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11。…

通过这组等式,你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据以上等式得出规律进行解答即可．解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和,

故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和点评：此题考查规律问题,关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．　

14

18．（2分）（2015•常州）如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是　

　．

考点：全等三角形的判定与性质。勾股定理。圆心角、弧、弦的关系。圆周角定理．分析：

过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°,推出=,求出∠BAC=∠DAC,BC=CD,求出CE=CF,根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE,证△CBE≌△CDF,推出BE=DF,证△AEC≌△AFC,推出AE=AF,设BE=DF=x,得出5=x+3+x,求出x,解直角三角形求出即可．解答：

解：

过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,则∠E=∠CFD=∠CFA=90°,∵点C为弧BD的中点,∴

=

,

∴∠BAC=∠DAC,BC=CD,∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF,

∵A、B、C、D四点共圆,∴∠D=∠CBE,在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF,∴BE=DF,

在△AEC和△AFC中

15

∴△AEC≌△AFC,∴AE=AF,设BE=DF=x,∵AB=3,AD=5,∴AE=AF=x+3,∴5=x+3+x,解得：x=1,即AE=4,∴AC=故答案为：

=．

,

点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,圆内接四边形性质,解直角三角形,全等三角形

的性质和判定的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键,综合性比较强,难度适中．　

三、解答题（共10小题,共84分）

19．（6分）（2015•常州）先化简,再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x）,其中x=2．

考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式化简,第二项利用单项式乘以多项式法则计算,去括号合

并得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1,

当x=2时,原式=8+1=9．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．　20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：

（1）。　　　　　

（2）．

考点：解分式方程。解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到

分式方程的解。

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可求出解集．解答：解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1,

解得：x=,

经检验x=是分式方程的解。

16

（2）,

由①得：x＞﹣2,由②得：x＜3,

则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．点评：此题考查了解分式方程,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键．　21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法,对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查,并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数,并补全占频数分布直方图。（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．

考点：频数（率）分布直方图。扇形统计图。加权平均数．分析：（1）利用0.5小时的人数为：100人,所占比例为：20%,即可求出样本容量。

（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数,即可求出1.5小时的人数,画图即可。（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．解答：解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人,所占比例为：20%,

∴本次调查共抽样了500名学生。

（2）1.5小时的人数为：500×2.4=120（人）

如图所示：（3）根据题意得：

17

,即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用,根据统计图得出正确信息是解题

关键．　22．（8分）（2015•常州）甲,乙,丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛,他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率。（2）求甲比乙先出场的概率．

考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）画树状图得出所有等可能的情况数,找出甲第一个出场的情况数,即可求出所求的

概率。

（2）找出甲比乙先出场的情况数,即可求出所求的概率．解答：解：（1）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种,其中甲第一个出场的情况有2种,则P（甲第一个出场）==。（2）甲比乙先出场的情况有3种,则P（甲比乙先出场）==．

点评：此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比．　23．（8分）（2015•常州）如图,在▱ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF。（2）求∠EAF的度数．

考点：全等三角形的判定与性质。等边三角形的性质。平行四边形的性质． 18

分析：（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC,AB=CD,BC=AD,由

等边三角形的性质得出BE=BC,DF=CD,∠EBC=∠CDF=60°,证出

∠ABE=∠FDA,AB=DF,BE=AD,根据SAS证明△ABE≌△FDA,得出对应边相等即可。（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD,求出∠AEB+∠BAE=60°,得出∠FAD+∠BAE=60°,即可得出∠EAF的度数．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC,AB=CD,BC=AD,

∵△BCE和△CDF都是正三角形,∴BE=BC,DF=CD,∠EBC=∠CDF=60°,∴∠ABE=∠FDA,AB=DF,BE=AD,在△ABE和△FDA中,∴△ABE≌△FDA（SAS）,∴AE=AF。

（2）解：∵△ABE≌△FDA,∴∠AEB=∠FAD,

∵∠ABE=60°+60°=120°,∴∠AEB+∠BAE=60°,∴∠FAD+∠BAE=60°,

∴∠EAF=120°﹣60°=60°．点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质。熟练

掌握平行四边形和等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键．　24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元。中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费．

,

（1）求m,n的值,并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式。（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？

考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意,不超过3公里计费为m元,由图示可知光明中学和市图书馆相距2公

里,可由此得出m,由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费．当x＞3时,由收费与路程之间的关系就可以求出结论。（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数,即可得出结论．解答：解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里,付费9元,

∴m=9,

∵从市图书馆乘出租车去光明电影院,路程5公里,付费12.6元,

19

∴（5﹣3）n+9=12.6,解得：n=1.8．

∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．

（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元）,乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2,

故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．点评：本题考查了分段函数,一次函数的解析式,由一次含数的解析式求自变量和函数值,解答

时求出函数的解析式是关键　25．（8分）（2015•常州）如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2,求AB。（2）若AB+CD=2

+2,求AB．

考点：勾股定理。含30度角的直角三角形。等腰直角三角形．分析：（1）在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得

∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB。

（2）设DE=x,利用（1）的某些结论,特殊角的三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果．解答：解：（1）过A点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,

∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,

∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°,∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,∵AD=2,∴AE=DE=

=

,

∵∠ABC=105°,

∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°,∴BE=

=

=

,

∴AB=。

20

（2）设DE=x,则AE=x,BE===,

∴BD=∵∠BDF=60°,∴∠DBF=30°,∴DF=∴BF=∴CF=,∵AB=AE+BE=CD=DF+CF=xAB+CD=2+2,∴AB=+1

,

=x,

=

=2x,

=,

,

点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性

质,解题的关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角的度数．　26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图）,画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积）,那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空

如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH,EH．

∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽　△HDE　．∴

,即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2=　AD×DC　,即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形． 21

如图②,请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法,保留作图痕迹）．（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　矩形　（填写图形名称）,再转化为等积的正方形．

如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方．

如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图）．

考点：相似形综合题．分析：（1）首先根据相似三角形的判定方法,可得△ADH∽△HDE。然后根据等量代换,可得

DH2=AD×DC,据此判断即可．

（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN,然后延长AD到E,使DE=DM,以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABMN等积,所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积,据此解答即可．

（3）首先以三角形的底为矩形的长,以三角形的高的一半为矩形的宽,将△ABC转化为等积的矩形MBCD。然后延长MD到E,使DE=DC,以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H,则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

22

（4）首先根据AG∥EH,判断出AG=2EH,然后根据CF=2DF,可得CF•EH=DF•AG,据此判断出S△CEF=S△ADF,S△CDI=S△AEI,所以S△BCE=S四边形ABCD,即△BCE与四边形ABCD等积,据此解答即可．解答：

解：（1）如图①,连接AH,EH,∵AE为直径,∴∠AHE=90°,

∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE,

∴∠ADH=∠EDH=90°,∴∠HAD+∠AHD=90°,∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽△HDE．∴

,

,

即DH2=AD×DE．又∵DE=DC,

∴DH2=AD×DC,

即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）如图②,延长AD到E,使DE=DM,连接AH,EH,

,

∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高,∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积,∵AE为直径,∴∠AHE=90°,

∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE,

∴∠ADH=∠EDH=90°,∴∠HAD+∠AHD=90°,∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽△HDE．

23

∴,

23

即DH2=AD×DE．又∵DE=DM,

∴DH2=AD×DM,

即正方形DFGH与矩形ABMN等积,

∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）如图③,延长MD到E,使DE=DC,连接MH,EH,

,

∵矩形MDBC的长等于△ABC的底,矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半,∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积,∵ME为直径,∴∠MHE=90°,

∴∠HME+∠HEM=90°．∵DH⊥ME,

∴∠MDH=∠EDH=90°,∴∠HMD+∠MHD=90°,∴∠MHD=∠HED,∴△MDH∽△HDE．∴

,

即DH2=MD×DE．又∵DE=DC,

∴DH2=MD×DC,

∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

（4）如图④,延长BA、CD交于点F,作AG⊥CF于点G,EH⊥CF于点H,

24

,

△BCE与四边形ABCD等积,理由如下：∵AG∥EH,∴

∴AG=2EH,又∵CF=2DF,

∴CF•EH=DF•AG,∴S△CEF=S△ADF,∴S△CDI=S△AEI,

∴S△BCE=S四边形ABCD,

即△BCE与四边形ABCD等积．故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．点评：（1）此题主要考查了相似形综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,

考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握．

（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法,以及对等积转化的理解,要熟练掌握．　27．（10分）（2015•常州）如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标。

（2）当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在,求出点P的坐标。如果不存在,请说明理由．

（3）若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求

的值．

,

25

考圆的综合题．点：

分（1）将y=0代入y=﹣x+4,求得x的值,从而得到点A的坐标。

析：（2）首先根据题意画出图形,然后在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB的长度,然后由全

等三角形的性质求得QA的长度,从而得到BQ的长,然后根据PA=BQ求得PA的长度,从而可求得点P的坐标。

（3）首先根据题意画出图形,设AP=m,由△OAM∽△PAO,可求得AM的长度,然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示）,然后利用圆的面积公式求得两圆的面积,最后代入所求代数式求解即可．解解（1）令y=0,得：﹣x+4=0,解得x=4,

。答：所以点A的坐标为（4,0）

（2）存在．

理由：如图下图所示：

将x=0代入y=﹣x+4得：y=4,∴OB=4,

由（1）可知OA=4,

在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4,BQ=PA． 26

=4．

∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4,∴PA=4﹣4．

∴点P的坐标为（4,4﹣4）．（3）如下图所示：

∵OP⊥OM,

∴∠1+∠3=90°．又∵∠2+∠1=90°,∴∠2=∠3．

又∵∠OAP=∠OAM=90°,∴△OAM∽△PAO．∴

,

,

设AP=m,则：∴AM=

．

在Rt△OAP中,PO=,

∴S1=

=

=

=

,

,

在Rt△OAM中,OM=

∴S2=

==,

∴=+=1+=

．

点评： 27

本题主要考查的是全等三角形的性质,相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用,根据题意画出图形,利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键．　

28．（10分）（2015•常州）如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1,4）,直接写出k的值和△PAB的面积。

（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证：△PMN是等腰三角形。

（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合）,连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由．

考点：反比例函数综合题。待定系数法求一次函数解析式。反比例函数与一次函数的交点问

题。三角形的外角性质。线段垂直平分线的性质。等腰三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,

如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此

可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题。

（2）过点P作PH⊥x轴于H,如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形。

（3）过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3．可设点Q为（c,）,运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为（c﹣4,0）,同理可得E（c+4,0）,从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ．解答：解：（1）k=4,S△PAB=15．

提示：过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,

28

把x=4代入y=x,得到点B的坐标为（4,1）,

28

把点B（4,1）代入y=,得k=4．

解方程组,得到点A的坐标为（﹣4,﹣1）,

则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,

∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP．

设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A（﹣4,﹣1）、P（1,4）代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标（0,3）,OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC•AR+OC•PS=×3×4+×3×1=

,

∴S△PAB=2S△AOP=15。

（2）过点P作PH⊥x轴于H,如图2．设直线PB的解析式为y=ax+b,把点P（1,4）、B（4,1）代入y=ax+b,得

,

解得：

,

∴直线PB的解析式为y=﹣x+5．当y=0时,﹣x+5=0,∴x=5,点N（5,0）．同理可得M（﹣3,0）,

∴MH=1﹣（﹣3）=4,NH=5﹣1=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,

∴△PMN是等腰三角形。

（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：

过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3．可设点Q为（c,）,直线AQ的解析式为y=px+q,则有

29

,

解得：,

∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1．当y=0时,x+﹣1=0,

解得：x=c﹣4,∴D（c﹣4,0）．

同理可得E（c+4,0）,

∴DT=c﹣（c﹣4）=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,

∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE,

∴∠MDA=∠QED．

∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM．

∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ．

30

点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一

次函数图象的交点,三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识,运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．　

31

23. 在平面直角坐标系xOy中,二次函数ymx(m3)x3(m0)的图象与x轴交于

2A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C。（1）求点A的坐标。

（2）当ABC45时,求m的值。

（3）已知一次函数ykxb,点P（n,0）是x轴上的一个动点,在（2）的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数ymx2(m3)x3(m0)的图象于N。若只有当2n2时,点M位于点N的上方,

求这个一次函数的解析式。

24. 在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。（1）在图1中证明CECF。

（2）若ABC90,G是EF的中点（如图2）,直接写出∠BDG的度数。

（3）若ABC120,FG∥CE,FGCE,分别连结DB、DG（如图3）,求∠BDG的度数。

AABF

DDECEBGCF

ADBEGCF 32

25. 如图,在平面直角坐标系xOy中,我把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（1,0）,B（1,0）,AE∥BF,且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上。（1）求两条射线AE,BF所在直线的距离。

（2）当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围。

当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围。（3）已知□AMPQ（四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围。

26．(10分)在等腰△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6．动点M、N分别在AB、AC上(M不与A、B

重合),且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上？

(2)设MN＝x,△PMN与△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式．当x为何值时,y的值最大？最大值是多少？AMN

BPC 33