二次函数与等腰三角形

第二讲 函数与三角形 1、（东城）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线yax2ax2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请yA (0,2)说明理由．

BOC(-1,0)x1

第二讲 函数与三角形

2、（丰台）已知抛物线y222xbxc与x轴交于不同的两点Ax1，0和Bx2，0，与y轴交于3点C，且x1，x2是方程x2x30的两个根（x1x2）．

（1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积； （3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

2

第二讲 函数与三角形

3、（海淀）已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D. （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于

点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△EFG. 设P（x, 0）, △EFG与四边形FGCB 重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

y

5

AB4

3 2 1

O1-5-4-3-2-1

-1

-2

C2345x3

第二讲 函数与三角形

4． 已知二次函数yax2bxc的图象分别经过点（0，3），（3，0），（－2，－5）. 求：(1) 求这个二次函数的解析式； (2) 求这个二次函数的最值；

(3) 若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标.

4

第二讲 函数与三角形

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc经过A（3，0）、B（5，0）、

C（0，5）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若在抛物线的对称轴上有一个动点P，当△OCP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

5

第二讲 函数与三角形

6、如图，抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由． y

C B

1 A

0 1

x 6

第二讲 函数与三角形

7、如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1点B的坐标为(31)二次函数yx2，2)，，，的图象记为抛物线l1．

（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．

（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数表达式．

（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点．若S△ABKS△ABC，求点K的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师． y y y l2

l2 l1

7

1 A B 图①

1 A O 1 x

O 1 C B x

1 A B 图③

O 1 x

图②

第二讲 函数与三角形

8、已知抛物线C1：yax22amxam22m1(a0,m1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称. （1）用m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标； （2）求m的值和抛物线C2的解析式；

（3）设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当ABC为等腰三角形时，求a的值.

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