8.一元一次方程(含答案)-

8.一元一次方程

知识纵横

早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想:首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题;其次,把所有的数学问题转化为代数问题;最后,把所有的代数问题转化为解方程.••虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现,但是充分说明了方程(equation)的重要性. 一元一次方程(linear equation with one unknown)是代数方程中最基础的部分,是后续学习的基础,其基本内容包括:解方程、方程的解及其讨论.

解一元一次方程有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程,又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程.

当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程叫含字母系数的方程,含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b的形式,继续求解时,一般要对字母系数a、b进行讨论: 1.当a≠0时,方程有惟一解x=

ba

2.当a=0且b≠0时,方程无解;

3.当a=0且b=0时,方程有无数个解.

例题求解

【例1】(1)已知关于x的方程3[x-2(x-a3)]=4x和

3xa12-

15x8=1•有相同的解,•

那么这个解是___________. (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)如果

12+

16+

112+„+

1n(n1)=

20032004,那么n=________.(第18届江苏省竞赛题)

思路点拨 (1)设法建立关于a的等式,再解关于a的方程求出a的值;

(2)•恰当地解关于n的一元一次方程. 解:(1)

2728 提示:两方程的解分别为

2a7、

272a21 ;(2)n=2003

【例2】 当b=1时,关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解,则a等于(• ). A.2 B.-2 C.-23 D.不存在 (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 将b=1代入原方程,整理所得方程,就方程解的个数情况建立a的等式. 解:选A. 提示:原方程化为(3a-6)x=2a-4,则3a-6=0且2a-4=0. 【例3】 是否存在整数k,使关于x的方程(k-5)x+6=1-5x在整数范围内有解?并求出各个解.

思路点拨 把方程的解x用k的代数式表示,利用整除的知识求出k. 解: 存在整数k,k=±1或k=±5,原方程解分别为x=5 或x=1. 【例4】解下列关于x的方程.

- 1 -

www.czsx.com.cn

(1)4x+b=ax-8;(a≠4) (2)mx-1=nx; (3)

13m(x-n)=

14(x+2m).

思路点拨 首先将方程化为ax=b的形式,•然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.

解:(1)x=

b8a4;

1mn(2)当m≠n时,方程有惟一解x=当m=n时,原方程无解;

(3)原方程化为(4m-3)x=4mn+6m, 当m≠当m=当m=

343434;

时,原方程有惟一解x=

324mn6m4m3;

32,n=-(由4mn+6m=0,即n=-326m4m=-得到)时,原方程有无数个解;

,n≠-时,原方程无解.

【例5】已知p、q都是质数,并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97•的解是1,求代数式40p+101q+4的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 用代解法可得到p、q的关系式,进而综合运用整数相关知识分析.

解:提示:把x=1代入方程px+5q=97,得p+5q=97,故p与5q中必有一个数是偶数. (1)若p=2,则5q=95,q=19,40p+101q+4=40×2+101×19+4=2003.

(2)5q为偶数,则q=2,p=87,而87不是质数,与题设矛盾,舍去,因此原式值为2003.

学力训练

一、基础夯实

1.已知x=-1是关于x的方程7x3-3x2+kx+5=0的解,则k3+2k2-11k-85=______.

2.计算器上有一个倒数键1/x,能求出输入的不为零的数的倒数(注:有时需先按shift或2nd键,再按1/x键,才能实现此功能,下面不再说明).例如,输入2,按下键1/x,则得0.5,现在计算器上输入某数,再依下列顺序按键: 1/x-11/x-1 ,在显示屏上的结果为-0.75,则原来输入的某数是_______. (第17届江苏省竞赛题) 3.方程

162312(20x+50)+(5+2x)-(4x+10)=0的解为______;

- 2 -

www.czsx.com.cn

解方程

12｛

12[

12(

12x-3)-3]-3｝-3=0,得x=_______.

4.已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解,那么a=_____,b=_____. (“希望杯”邀请赛试题) 5.和方程x-3=3x+4不同解的方程是( ). A.7x-4=5x-11 B.

2

2

1x3+2=0

C.(a+1)(x-3)=(3x+4)(a+1) D.(7x-4)(x-1)=(5x-11)(x-1) 6.已知a是任意有理数,在下面各题中

(1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax=a的解是x=1 (3)方程ax=1的解是x=

1a (4)方程│a│x=a的解是x=±1

结论正确的个数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3 (江苏省竞赛题) 7.方程x- A.

16153513[36-12(x+1)]=

1514x-2的解是( ).

451414 B.- C. D.-

4514

8.已知关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解,则ab是( ).

A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 9.解下列关于x的方程:

(1)ax-1=bx; (2)4x+b=ax-8; (3)k(kx-1)=3(kx-1).

10.a为何值时,方程

- 3 -

x3+a=

x2-

16(x-12)有无数多个解?无解?

www.czsx.com.cn

二、能力拓展

11.已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a•的解为_______.

(“五羊杯”竞赛题) 13.已知

1412.•已知关于x•的方程9x-•3=•kx+•14•有整数解,•那么满足条件的所有整数k=_______.

119992

+4(+

1x)=1

34,那么代数式1872+48·(

1999xx1999)的值为_________.

14.若(3a+2b)x+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且有惟一解,则x=_____. 15.有4个关于x的方程：

(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4)x-2+

1x11x1=-1+

其中同解的两个方程是( ).

A.(1)与(2) B.(1)与(3) C.(1)与(4) D.(2)与(4) 16.方程

x12+

x23c2+„+

x19951996=1995的解是( ).

A.1995 B.1996 C.1997 D.1998 17.已知a+2=b-2= A.

14=2001,且a+b+c=2001k,那么k的值为( ).

14 B.4 C.- D.-4 (第15届江苏省竞赛题)

18.若k为整数,则使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k值有( ).

A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 (第12•届“希望杯”邀请赛试题) 19.若干本书分给小朋友,每人m本,则余14本;每人9本,则最后一人只得6本,•问小朋友共几个?有多少本书?

20.下边横排有12个方格,每个方格都有一个数字,•已知任何相邻三个数字的和都是20,求x的值. (上海市竞赛题)

5

ABCDEFXGHE10

- 4 -

www.czsx.com.cn

三、综合创新

21.如果a、b为定值,关于x的方程

2kxa3=2+

xbk6,无论k为何值,它的根总是1,求a、

b的值. (山东省竞赛题)

22.将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列,•用一个正方形框出16

个数,要使这个正方形框出的16个数之和分别等于:

(1)1988;(2)1991;(•3)2000;(4)2080.

这是否可能?若不可能,试说明理由;若可能,请写出该方框16个数中的最小数与最大数. (2002年河北省竞赛题)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 „„ „„

995 996 997 998 999 1000 1001

- 5 -

www.czsx.com.cn

答案： 1.-105.

2.设原来输入的数为x,则

11x1-1=-0.75,解得x=0.2

3.-4.

5253 ;90 、-109

5.•D •6.A 7.A 8.B

9.(1)当a≠b时,方程有惟一解x=

1abb8;当a=b时,方程无解; ;

(2)当a≠4时,•方程有惟一解x=

a4当a=4且b=-8时,方程有无数个解; 当a=4且b≠-8时,方程无解; (3)当k≠0且k≠3时,x=

1k;

当k=0且k≠3时,方程无解; 当k=3时,方程有无数个解. 10.提示:原方程化为0x=6a-12. (1)当a=2时,方程有无数个解;

当a≠2时,方程无解.

11.10.5 12.10、26、8、-8 提示:x=13.2000 提示:把(18.D 提示:x=

1179k,9-k│17,则9-k=±1或9-k=±17.

19992001k1+

1x)看作一个整体. 14.1.5 15.A 16.B 17.B

为整数,又2001=1×3×23×29,k+1

可取±1、±3、±23、•±29、±(3×23)、±(3×29)、±(23×29)、±2001共16个值,其对应的k值也有16个.

19.有小朋友17人,书150本. 20.x=5

21.提示:将x=1代入原方程并整理得(b+4)k=13-2a,

此式对任意的k值均成立, 即关于k的方程有无数个解. 故b+4=0且13-2a=0,解得a=

132,b=-4.

22.提示:设框中左上角数字为x,

则框中其它各数可表示为:

- 6 -

www.czsx.com.cn

x+1,x+2,x+3,x+•7,x+8,x+9,x+10,x+14,x+15,x+16,x+17,x+21,x+22,x+23,x+24, 由题意得:

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+„x+24=1998或1999或2000或2001, 即16x+192=•2000•或2080

解得x=113或118时,16x+192=2000或2080

又113÷7=16„余1,

即113是第17排1个数,

该框内的最大数为113+24=137;118÷7=16„余6, 即118是第17排第6个数,

故方框不可框得各数之和为2080.

- 7 -