高中数学竞赛试题

421f20072f20072006f． 20072．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论．

3．已知f(x)x2pxq，求证f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于．

4．已知ab0，解函数方程af(x)bf(x)c(1x)．

5．设fxax2bxc，a,b,c为实数，如果对于所有适合1x1的x值，都有1fx1成立，则对这些x的值有42axb4．

6．证明n3n2n1对任何正整数n都是整数，并且用3除时余2．

7．已知a, b为非零的不共线向量，设条件M：bab；条件N：对一切xR不等式axbab恒成立．则M成立是N成立的什么条件？证明你的结论．

8．设多项式fxa0xna1xn1an1xan的系数都是整数，并且有一个奇数及一个偶数使得f及f都是奇数，求证方程

fx0没有整数根．

1232129．设P(x)akxkak1xk1a1xa0，式中各系数aj(j0,1,,k)都是整数．今设有4个不同的整数x1,x2,x3,x4使p(xi)(i1,2,3,4)都等于2．试证明对于任何整数x,p(x)必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个．

10．已知数列an满足a1a21,an2an1an，求数列的通项． 11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：

一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的．

12．已知凸四边形ABCD，求证这个凸四边形一定可以被

AB,BC,CD,DA为直径的半圆共同覆盖．

13．在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E、F．证明：DE、DF通过ABC内心和一个旁心．

14．设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线

AP,AQ,切点分别为P,Q.求证:P,H,Q三点共线..

15．在等边ABC所在的平面上找这样的一点P，使

PAB,PBC,PAC都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个．

16．过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B．所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使

DAQPBC．求证：DBQPAC．

17．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色．

18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点．

19．如图,菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,在弧EF与弧GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于

P,交DA于Q.求证MQ//NP.

20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．

21．在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数，如果他们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数．

22．设d是异于2，5，13的任一整数．求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同元素a,b，使得ab1不是完全平方数．

23．设有2n1n1个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下．

24．有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？

25．证明对任意正整数n，分数

21n4不可约． 14n3的前24位数字为3.1415926535793238462，26．记a1,a2,,a24为该24个数字的任一排列，求证a1a2a3a4a23a24必为偶数．

27．用n表示n的约数个数，请对122007的奇偶

性作出证明．

28设p与q为正整数，满足被1979整除．

29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2．

30．有n个同学围坐在圆周上n4，若每个学生的两旁都是一男一女，求证n是4的倍数．

31．如果从数1，2，,14中按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足 a2a1≥3,a3a2≥3,那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？

32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个．

33．在一次乒乓球循环赛中，n名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3名选手A,B,C，使得A胜B，B胜C，C胜A．

34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？

35．设有2n2n的正方形方格棋盘，在其中任意的3n个方格中放一枚棋子，求证，可以选出n行n列，使得3n枚棋子都在这n行和n列中．

36．凸n边形（n4）玫瑰园的n个顶点各栽有1棵红玫瑰，每

p11111 求证p可q2313181319两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．

⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数f(n)的表达式． ⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．

37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻．一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手．握手完毕后，李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数，发现恰好数字互不相同．请问，李明的妻子握了几次手?

38．设n是正整数，我们说集合1,2,,2n的一个排列x1,x2,,x2n具有性质p，是指在1,2,,2n1当中至少有一个i，使得|xixi1|n，求证对于任何n，具有性质p的排列比不具有性质p的排列的个数多．

39．运动会连续开了n天（n1），一共发了m枚奖章．第一天发1枚以及剩下m1枚的，第二天发2枚以及发后剩下的 ，以后每天均按此规律发奖章．在最后一天即第n天发了剩下的n枚奖章，问运动会开了多少天，一共发了多少枚奖章？

40．有17位科学家，每一个和其他人都通信，在他们的书信中一共讨论3个题目，而每两个科学家仅仅讨论一个题目，证明，至少有3个科学家，他们互相讨论同一题目．

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