专题22 内切球与外接球的解题策略
一．【学习目标】
1．掌握球的表面积体积公式
2．掌握恢复长方体法求球的表面积及体积 3．掌握多面体与球问题 4．掌握外接球与内切球的解法 二．【典例分析及训练】
（一）球相关问题
例1已知A，B，C是球面上三点，且的，则此球的表面积为 A．
B．
C．
D．
，
，
，球心O到平面ABC的距离等于该球半径
【答案】D
【解析】求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【详解】由题意AB＝6，BC＝8，AC＝10，∵62+82＝102，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的， 所以R2＝（R）2+52， 解得R2
，
．
∴球的表面积为4πR2故选：D．
【点睛】本题考查球的表面积的计算，考查球的截面的性质，属于基础题. 练习1.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）
，点在线段
A．
B．
上，且 C．
的外接球，
，
，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） D．
【答案】B
【解析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过的最大截面是经过球心的截面，配套K12学习（小初高）
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可由球的半径计算得出.过最小的截面是和截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积.
【详解】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形
的中心.根据等边三角形中心的性质有
垂直的截面，先计算得
的长度，利用勾股定理计算得这个
，，即
，设球的半径为，在三角形，解得
，故最大的截面面积为
中，由勾股定理得
.在三角形
中，
，由余弦定理得.在三角形中，
,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为
.综上所述，本小题选B.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.
练习2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( ) A．
cm3 B．
cm3 C．
cm3 D．
cm3
【答案】C
【解析】设球心为，截面圆心为
，连结
，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径
，再利用球的表面积和体积公式即可算出答案.
如图，设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连接EF.在△ABF中求得BF=
，在△EBF中求得EF=
.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连接OA、OD．设第五个球的半径为r，则OA=r+3，OD=r+2，于是OE=
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，OF=
，∵OE+OF=EF，
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∴
（舍掉），故答案为
.
平方整理再平方得，解得或
点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解．
（三）多面体的最值与球问题
例3.点A，B，C，D在同一个球的球面上，则这个球的表面积为（ ）
，
，若四面体ABCD体积的最大值为，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。 【详解】根据题意，画出示意图如下图所示
因为
，所以三角形ABC为直角三角形，面积为
，其所在圆面的小圆圆
心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值 即当DQ⊥平面ABC时体积最大
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所以所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。
练习1.三棱锥PABC中， PA,PB,PC互相垂直，
， M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是6，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（ ） 2A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B
【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA,PB,PC互相垂直，∴AMP就是直线AM与平面
PBC所成角，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．
此时
AP66， PM，在直角△PBC中，PM23．
三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为∴三棱锥PABC的外接球的半径为R1，
2∴三棱锥PABC的外接球的表面积为4R4．
，
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配套K12学习（小初高） 选B.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直，且把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用（四）多面体放入球中求球的表面积和体积
例4.侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若△ABC是边长为角形，C1C=A．
B．
，则球O的表面积为 C．
D．
的等边三
求解．
，一般
【答案】D
【解析】根据组合体的结构特征，现求得三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径，在利用勾股定理求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.
练习1.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥外接球球心在过
中点且垂直于平面
的直线上，
的交点没有此可求三棱锥
外接球的半径，得到棱锥
，
可知是直线与面的交点，也是直线与直线的外接球的表面积
详解：
外接球球心在过又点到
由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥
中点且垂直于平面
的直线上， 的垂直平分面上，
的交点
，
距离相等，∴点又在线段
故是直线与面的交点，可知是直线与直线（
分别是左侧正方体对棱的中点）
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