人教版八年级数学下册 182 矩形 综合练习

矩形

1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A．内角和为360° B．对角线相等 C．对角相等 D．相邻两角互补 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质( ) A．对角线相等

B．对角线互相平分

D．对角线互相垂直

C．对角线平分一组对角

3.下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．矩形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 4.下列说法正确的有( )

①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形． A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

5.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．

D

E O A

6.如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E， ∠BDE=15°，试求∠COE的度数．

A O D B

C

B E C

7.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC

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于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．

A

F

E

B

M P

C

8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．

A E B F C

D

9.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

F A

E B

D

C

10.如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE． (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；

(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．

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F

D E

A B

C

11.如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点． (1)求证：△BOC≌△EOD；

1 (2)当∠A=∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．

212.已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．

M

A O B

C

D

13.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．

(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；

(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．

M A E N

F

B D C

14.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1)求证：△ADE≌△CBF；

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(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 15.如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．

D

Q

P

E R

A F

B

G C

16.如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．

A F P B

C

E G

D

参

题一： B．

详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；

B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确； C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误； D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误． 故选B． 题二： B．

详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B． 题三： B．

详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误； B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；

C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误； D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误． 故选B． 题四： C．

详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错； 有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．

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故选C． 题五： 30°．

详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°， ∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，

∴∠DBA=90°∠BAE=90°60°=30°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠CAE=∠BAE∠OAB=60°30°=30°． 题六： 75°．

详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠CED= 45°，∴EC=DC， 又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，

又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC， ∴△OCD是等边三角形，

∴∠DCO=60°，∠OCB=90°∠DCO=30°，

∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED= 45°， ∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO； ∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．

详解：由题意知，四边形AFPE是矩形，

∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，

∴当AP为Rt△ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值， 此时AM=∵S△ABC=

122AP，由勾股定理知BC=ABAC=5， 211134126AB•AC=BC •AP，∴AP==，∴AM=AP=．

555222题七： 1+13．

详解：作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求， ∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，∴EF为△ABC的中位线， ∵BC=2，∴EF=

11BC=×2=1； 22∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFG=∠C=90°， 又∵∠ABC=60°，BC=2，FG=AC=23，EG=∴DE+FE+DF=EG+EF=1+13． 题八： 见详解． 详解：(1)BD=CD．

理由：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEC (AAS)，∴AF=CD， ∵AF=BD，∴BD=CD；

(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AFBD是矩形． 题九： 见详解．

EF2FG2=13，

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详解：(1)∵△BCF和△ACE是等边三角形， ∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，

∴∠ECA∠FCA=∠BCF∠FCA，即∠ACB=∠ECF， ∵在△ACB和△ECF中，AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF， ∴△ACB≌△ECF(SAS)，∴EF=AB，

∵三角形ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴EF=AD=AB，

同理FD=AE=AC，即EF=AD，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形； (2)当∠BAC=150°时，平行四边形AEFD是矩形，

理由：∵△ADB和△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°， ∵∠BAC=150°，∴∠DAE=360°60°60°150°=90°，

∵由(1)知：四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形． (3)当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下： ∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°， ∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上， ∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在． 题十： 见详解．

详解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO， ∵DE=AD，∴DE=BC，

在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE， ∴△BOC≌△EOD(ASA)；

(2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形， 在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE， ∵∠A=

11∠EOC，∴∠ODE=∠EOC， 22∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD， ∵平行四边形BCED中，CD=2OD，BE=2OE， ∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形． 题十一： 见详解． 详解：矩形．

理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD， ∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°， ∴OM=

11BD，OM=AC，∴BD=AC， 22∴四边形ABCD是矩形． 题十二： 见详解．

详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，

理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB， ∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC， ∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE， ∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形； (2)CE∥AD，CE=AD；

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理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，

∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，

∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形， ∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形， ∴CE∥AD，CE=AD． 题十三： 见详解．

详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD， ∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=

1∠MAC， 211AB，CF=CD．∴AE=CF， 22在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS)，

(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形， ∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，

∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°， ∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°， ∴四边形AGBD是矩形． 题十四： 5．

详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD， ∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5． 题十五： PF+PG =AB．

详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE， 则S△BEP+S△DEP=S△BED，即又∵BE=DE，∴

111BE•PF+DE•PG =DE•AB． 22211111DE•PF+DE•PG=DE•AB，即DE(PF+PG)=DE•AB， 22222∴PF+PG =AB．

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