2007年高考真题(全国卷1)(数学文)

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准

考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 每小题选出答案后 ，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB)P(A)P(B) S4R 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式

2如果事件A在一次实验中发生的概率是P，那么 V=R

433n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkpn(k)Cnp(1p)nk（k=0，1，2，„„，n）

一、选择题

（1）设S{x|2x10}，T{x|3x50}，则ST=

A.

B。{x|x} D。{x|12C。{x|x}

5315x} 23（2）a是第四象限角，cosa12，则sina 13本卷第1页（共11页）

（A）

5 13

(B) 5 13 (C)

5 12

(D) 5 12（3）已知向量a=（-5，6），b=(6,5),则a与b

（A）垂直 （B）不垂直也不平行 （C）平行且同向 （D）平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为

x2y21 （A）

412x2y21 （C）

106

x2y21 （B）

124x2y21 （D）

610

（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

（A）36种

（B）48种

（C）96种

（D）192种

xy10（6）下面给出的四个点中，位于，表示的平面区域内的点是

xy10（A）（0，2）

（B）（－2，0）

（C） （0，－2）

（D）（2，0）

（7）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

1 52（B）

53（C）

54（D）

5（A）

（8）设a1，函数fxlogax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为

1，则a 2（A）2 （B）2 （C）22 （D）4

（9）fx，gx是定义在R上的函数，hxfxgx，则“fx，gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的

（A）充要条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）既不充分也不必要的条件

本卷第2页（共11页）

（10）函数y2cos2x的一个单调增区间是

,） （B）（0，） 4423（C）（,） （D）（，）

4421342（11）曲线yxx在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角面积为

331212（A） （B） （C） （D）

9933（A）（（12）抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F的且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l,垂足为K，则△AKF的面积是

（A）4

（B）33

（C）43

（D）8

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效。 3.本卷共10题，共90分。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在横线上。

（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：

492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5—501.5g之间的概率约为_____________________________.

（14）函数yfx的图像与函数ylog3x(x0)的图像关于直线yx对称，则f(x)= .

本卷第3页（共11页）

（15）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个

球面上，则该球的体积为______________.

（16）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______________________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA。 （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a33，c5，求b。

18.（本小题满分12分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元。

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件商品，商场获得利润不超过650元的概率. （19）（本小题满分12分）

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45o，AB=2，BC=22，SA=SB=3. （Ⅰ）求证：SABC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小.

（20）（本小题满分12分）

设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）（21）(本小题满分12分)

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13. （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

本卷第4页（共11页）

an的前n项和Sn bn（22）（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆+=1的左、右焦点分别在F1、F2，过F1的直线交椭圆与B、D两点，

32过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P。

22x0y01； （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

本卷第5页（共11页）

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题

1．D

2．B 3．A 4．A 5．C 6．C

11．A 12．C

7．D 8．D 9．B 10．D 二、填空题

13．0.25 14．3xxR 15．三、解答题 17．解：

41 16． 33（1）由absinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA， 所以 sinB=1 2由△ABC为锐角三角形得B=（2）根据余弦定理，得

 6 bac2accosB 272545 7， 所以，b18．解：

（1）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”， 则A表示事件“3位顾客中无人采用一次性付款”. PA(10.6)0.064，

PA1PA10.0640.936.

（2）记B表示事件：“3位复课每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”， B0 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采取分期付款”， B1 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采取分期付款”.

2227。

3本卷第6页（共11页）

则 B ＝B0 ＋ B1 ，

1 PB00.630.216， PB1C30.620.40.432 ，

PBPB0B1 PB0PB1 0.2160.432 0.648 19．解法一：

（1）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．

因为SA=SB，所以AO=BO．

0又ABC45，故为△AOB等腰直角三角形，AOBO，

由三垂线定理，得SABC．

（2）由（1）知SABC，依题设AD‖BC，故SAAD，由AD=BC=22，SA=3，AO=2，得SO=1，SD=11．

△SAB的面积S111ABSA2(AB)2122．

连结DB，得△DAB的面积 S21ABADsin135o2． 2131SOS2， 3设D到平面SAB的距离为h，由VD-SAB=VS-ABD ,得hS1解得 h2．

设SD与平面SAB所乘得夹角为，则sinh222． SD111122． 11所以，直线SD与平面SAB所成得角为arcsin解法二：

（1） 作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

∵SA=SB , ∴AO=BO．

本卷第7页（共11页）

又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz．

SA2,0,1,CB0,22,0,SACB0,

A∴ SA⊥BC． （2）取AB中点E,E2,0,0,B0,2,0,C0,2,0,S0,0,1,

222,2,0． 连接SE，取SE中点G，连接OG,

22122122G4,4,2,SE2,2,1,AB2,2,0 4,4,2,OGSEOG0,ABOG0,OG与平面SAB所成的角记为，则与互余．

D2,22,0,DS2,22,1,

OGDS2222,sin, cos1111OGDS所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin20 解：（1）f'(x)6x6ax3b

因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有 f'(1)0 ，f'(2)0 . 即 66a3b0， 2412a3b0. 解得 a3，b4.

（2）由（1）可知，f(x)2x9x12x8c， f'(x)6x18x126x1x2.

232222． 11当x0,1时，f'(x)0； 当x1,2时，f'(x)0；

本卷第8页（共11页）

当x2,3时，f'(x)0.

所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c. 则当x0,3时，f(x)的最大值f(3)98c. ∵ 对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立， ∴ 98cc2， 解得 c1或c9， 因此c的取值范围为.19,. 21解：

（1）设an的公差为d,bn的公比为q, 则依题意有q>0且

12dq421 14dq213.

解得 d2，q2.

∴ an1(n1)d2n 1 bnqn12n1.

（2）

an2nb1n1. n2 S352nn1212232n22n12n1， 2S52n32n1n2322n32n2. ②－①得 S22222n1n22222n22n1

11 222n12n1112n1 2 62n32n1

22．证明：；

本卷第9页（共11页）

① ②

（1）椭圆的半焦距c321．

22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0 y01，2222x0y0x0y011 所以，32222（2）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程

x2y21，并化简得 32(3k22)x26k2x3k260．

设B(x1,y1),D(x2,y2)，则

6k23k26x1x22,x1x22，

3k23k2BD1k2x1x2(1k2)x1x24x1x2因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为四边形ABCD的面积

243k213k22

1； k124(k21)224(k21)296， SBDAC222222253k22k33k22k32当k2=1时，上式取等号.

(ⅱ) 当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4. 综上。四边形ABCD的面积的最小值为

本卷第10页（共11页）

96. 25

本卷第11页（共11页）