2021新高考版数学一轮习题：专题3+阶段滚动检测(二)Word版含解析

专题 3 阶段滚动检测(二)

一、单项选择题

1．已知集合 A＝｛x|－2≤x≤3｝，B＝｛x|x－3x≤0｝，则 A∪B等于 (

2

)

A．[－2,3] C．[0,3]

B． [－2,0] D．[－ 3,3]

2．已知条件 p： |x＋ 1|>2，条件 q：x>a，且綈 p是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 ( )

A ． a ≤ 1 B ． a≥ 1 C ． a ≥－ 1 D． a≤－ 3

1

3． (2020 重·庆模拟 )命题 p：? x0>0，x0＋x ＝2，则綈 p 为( )

A ． ? 1

x>0，

1

x＋ ＝ 2 x

B． ? x>0， x＋ ≠2

x

C． ? x≤0 ，x＋1x＝2

D． ? x≤ 0， x＋1

x ≠ 2

log

3 x＋ m －1，

x≥0，

4．已知函数 f (x)＝ 1 的图象经过点

(3,0)

则 f (f (2))等于(

，x<0

2 019

，

A．2 019

1

B.C2 019

．2 D ．1

1

5．若函数 f (x)＝3f′(－1)x2

3x－＋x＋5，则 f′(1)的值为 (

)

A ． 2 B ． － 2 C． 6 D．－ 6

6．三个数 a＝ 0.312，b＝log20.31， c＝20.31 之间的大小关系为 (

)

A．aB． aC．bD．b7．(2019 ·湖南师大附中博才实验中学月考 )函数 f (x)＝e

x1－＋1

ex(其中 e为自然对数的底数

x 1 － e

)的图象大致为) (

8．函数 f (x)＝2ex－a(x－1)有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )

D. －∞，

2

A. ，1 B． (1,2 e] C. 0， e4e32

e3

2

二、多项选择题

9．已知 a>b>0 ， c>1 ，则下列各式不成立的

()

是 b

A ． sin a>sin b

C．acc

B．c>c

c－1 c－1 D. < b a

a

10．下列命题为假命题的是 ( A．“ A∩ B＝A”的充要条件是“

2

2

)

A? B”

B．若 a，b，c∈R ，则“ ac>bc ”是“ a>b”

22

x y xy1625

的充分不必要条

件

C．若椭圆

＋＝1的两个焦点为 F1，F2，且弦 AB过点F1，则△ ABF2的周长为 16

x

D．“ a＝1”是“函数 f (x)＝

a－ e

x在定义域上是奇函数”的充要条件 1＋ ae

11．在下列函数中，其中最小值为 2 的函数的是 ( ) A． 1 y＝ x＋ x

x2＋2 y＝

B．

x2＋1

C．

y＝log2x＋logx2(x>0 且 x≠1) y＝tan x＋1

，0D．

tan x2 tan x 2

12． 列函数中，满足“对任意的 xf x1 － f x2

1， x2∈ (0，＋∞ )，使得f xx1

1－－fx2x2 <0”成立的是 ( ) A．

f (x)＝－ x2

－ 2x＋1 B． f (x)＝x－1x

x

C． f (x)＝ x＋ 1 D．f (x)＝ log 1 (2 x) ＋1

2

三、填空题

13．已知函数 f ( x)＝ x2

＋ 2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 5］上为减函数，则实数 a 的取值范围为 __________ ＝2 时，函数 f (x)在 ［－ 3,2］上的值域为 ______ ．

ππ

14．在曲线 f (x)＝sin x－cos x，x∈

－，

2

2

的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 ___________________ ．

1

15．设函数 f (x)＝ ex－f (a－3)＋f (2a2

ex－2x，若 )≤0，则实数 a 的取值范围为 ______________ ．

x － 1

＝

x .其中为“敛 1 函数”的有 _________ ． (填序号 )

四、解答题

17．设函数 f (x)＝ 6＋x＋ln(2－x)的定义域为 A，集合 B＝ { x|2x>1} ． (1) 求 A∪ B；

(2) 若集合 {x|aa

；当

16．对一定义域为 D 的函数 y＝f (x)和常数 c，若对任意正实数 ξ，? x∈D 使得 0<|f (x)－ c|<ξ成立，则称函

1

数 y＝f (x)为“敛 c 函数”，现给出如下函数： ①f (x)＝x(x∈Z)；②f (x)＝ 2 x＋1(x∈Z)；③f (x)＝log2x；④f (x)

18．计算： (1)( 3－ 1)＋ 3－π＋

0

2

2

(2)2lg 5＋lg 5＋ 2

log2 3

log23

a

19． (2019 天·津调研 )设函数 f (x)＝lg x＋ 1(a∈ R)，且 f (1)＝0. (1) 求 a 的值； (2) 求 f (x)的定义域；

(3) 判断 f (x)在区间 (0，＋∞ )上的单调性，并用单调性定义证明．

20．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动

用户 10 万人，人均月消费 50元．经测算，若人均月消费下降 x%，则用户人数会增加 万人．

8 (1)若要保证该公司

x

月总收入不减少，试求 x 的取值范围；

(2)为了布局“ 5G 网络”，该公司拟定投入资金进行 5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中 固定划出 2 元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求 x 的值． (总盈利资金＝总收入资金－总投 入资金 )

14

21．已知函数 f (x)＝3x＋ax＋b(a，b∈R)在 x＝2 处取得极小值－ 3.

3

(1) 求函数 f (x)的单调递增区间；

1 10 32

(2)若3x＋ax＋b≤m＋m＋ 3 对 x∈［－4,3］恒成立，求实数 m 的取值范围． 33

1

22． (2019 ·北京四中期中 )已知函数 f (x)＝ln x＋x.

x

(1) 求函数 f (x)的单调区间；

(2)设函数 g(x)＝( x＋ 1)ln x－ x＋ 1，证明：当 x>0且 x≠ 1时， x－1与 g( x)同号．

答案精析

1． A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8． C 9.ACD 10.CD

1 11

11．ABD [对于 A，y＝ x＋x ＝|x|＋ ≥2 |x| · ＝ 2，当且仅当 x＝±1 时取等号，正确； x |x| |x|

＋

1对于 B，y＝ xx2＋21＝ x2＋1 1 ＋ ≥ 2，当且仅当 x＝0 时取等号，正确； 4 5

x＋1

3

1

小值不可能为 2，错误；

π

对于 C，当 x∈ (0,1)时， log x2<0 ， log 2x<0 ，得 y＝ log2x＋ log x2(x>0且 x≠ 1)的最

对于 D，x∈ 0，2，所以 tan x∈(0，＋∞)，令 tan x＝ t，所以 t∈(0，＋∞)，所以 y＝ t＋ 1t ≥ 2，当且仅当 t ＝1 时取等号，正确． ]

12．AD [根据题意， “ 对任意的

f x1 － f x2

x1，x2∈(0，＋ ∞)，使得

2

π1

<0 ”，则函数 f (x)在(0，＋ ∞)上为减

函数，据此依次分析选项：对于选项

上单调递减，符合题意；对于选项

A，f (x)＝－x－2x＋1为二次函数，其对称轴为 x＝－1，在(0，＋∞) B，f (x)＝x－x，其导数 f′ (x) ＝ 1＋ x2>0 ，所以 f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递

1

1

增，不符合题意；对于选项 C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对 于选项 D，f (x)＝ log 1 (2 x) ＋ 1，在(0，＋ ∞ )上单调递减，符合题意． ]

2

13． (－∞，－ 4] [1,10] 14.x－y－1＝0 3 －， 1

15. 2

1

解析 根据题意，函数 f (x)＝ ex－ e1x－ 2x，

e

1

其导数 f′ (x)＝ex＋ 1x－2，

e

3

f′(x)＝ex＋ x－ 2≥0 恒成立，

e

则函数 f (x)在 R 上为增函数，

又因为 f (－ x)＝ ex－ ex＋ 2x＝－ f (x)， 所以 f (x)为奇函数，原式等价于 f (a－3)≤－f (2a2)， f (a－3)≤f

－

(－2a2)，a－3≤－2a2,2a2＋a－3≤ 0，

5

(2a＋3)(a－1)≤0，－ 2≤a≤1. 16．②③④

解析 由新定义知，对任意正实数 ξ，? x∈ D 使得 0<|f (x)－ c|<ξ成立，

即 0<|f (x)－c|<ξ有解．对于函数 ① 解得，

1－ξ－log2ξ且 x∈Z，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ

1＋ξ

11

1函数”；对于函数 ④解得， |x|>ξ，故函数 ④是“敛 1函数”．因此正确答案为 ②③④ .

6＋ x≥ 0 ，

17．解 (1)由

2－ x>0

得，－ 6≤x<2，

由 2x>1 得， x>0， ∴A＝[－ 6,2)，

B＝(0，＋ ∞)，

∴A∪B＝[－6，＋ ∞)．

(2)A∩B＝(0,2)，

∵集合 {x|aa≥ 0，

∴ 解得 0≤ a≤1，

a＋1≤2， ∴a 的取值范围是 [0,1] ．

18． 解 (1)原式＝ 1＋ |3－ π＋|2＝ 1＋ π－ 3＋2＝π. 2

(2)原式＝ lg 25＋lg 5＋3 2

＝lg ×25 ＋ 3＝4.

5

a

19．解 (1)根据题意，函数 f (x)＝ lg x＋1(a∈R)，且 f (1)＝0，

＋

aa

则 f (1)＝lg 2＝0，则 2＝1，解得 a＝2. (2)根据题意， f （x）＝ lg

2

必有

2

，

，

x＋ 1>0，解得 x>－1，

x＋ 1

即函数 f (x)的定义域为 (－1，＋ ∞ )．

2

(3)根据题意， f (x)＝ lg x＋ 1

在(0，＋ ∞ )上的单调递减，

证明：设 022 f (x1)－ f (x2)＝ lg －lg x1＋1 x2＋ 1

x2＋1

＝lg xx21＋11＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1），

＋

又由 0lg( x1＋ 1)，

即 f (x1)－f (x2)>0，即函数 f (x)在(0，＋∞)上单调递减．

20． 解 (1)根据题意，设该公司的总收入为 W 万元，

则 W＝50 10＋x 1－ x ， 08 100

若该公司月总收入不减少，

xx

则有 50 10＋ 1－

≥ 10×50，

8 100

解得 0(2) 设该公司盈利为 y 万元，

2

x x x

x

则 y＝50 10＋8 1－100 －2 10＋8 ＝－ 16＋x＋480,021． 解 (1)f′(x)＝x2

＋a，

由 f′(2)＝0得 a＝－4，

41

由 f (2)＝－ 3得 b＝ 4，则 f (x) ＝3x3－4x＋ 4，

33

令f′(x)＝x2－4>0得x>2或 x<－2，

∴f (x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2)，(2，＋ ∞)．

(2)由 f (－4)＝－4

3，f (－2)＝28

4

3，f (2)＝－3，f (3)＝1，

所以 f (x)在［－ 4,3］上的最大值28

为

1

要使 3

2

3x＋ax＋ b≤m＋ m＋

x∈［－4,3］恒成

立，

只要 f (x) max≤ 210 m＋ m＋ 就可以了，

28 2 10 即 ≤ m2

＋ m＋3 ，

33 解得 m≥2 或 m≤ － 3，

所以实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 3］∪［2，＋ ∞)．

22． (1)解 函数 f (x)的定义域是 (0，＋ ∞)，

(x)＝1

1

xx－x2＝

－1x2

22x x x

令 f′(x)＝0，得 x＝ 1，

当 x 变化时， f ′(x)与 f (x)的变化情况如下表，

x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f (x) ↘ ↗ 所以 f (x)的单调递增区间是 (1，＋ ∞)，单调递减区间是 (0,1)． (2)证明 函数 g(x)的

x＝ 8时，该公司的

定义域是 (0，＋ ∞ )， 又 g′ (x)＝ ln x＋xx1－1＝ln x＋1x＝f (x)，

＋

xx

由 (1) 可知， f (x)

min

＝ f (1)＝ 1， 所以当 x>0 时， g′(x)>0， 所以 g(x)在区间 (0，＋ ∞ )上单调

递增．

因为 g(1)＝ 0，所以当 x>1 时， g(x)>g(1)＝0 且 x－ 1>0； 当 0所以当 x>0 且 x≠1时，

x－1与 g(x)同号．