河南省郑州市重点高中2019-2020学年高三期中考试理科数学试题含答案

理数试题

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．定义集合的商集运算为

{x|x ，m∈A，n∈B}，已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x ，

k∈A}，则集合 元素的个数为（ ） A．7

B．8

C．9

D．10

2．下列命题中正确的个数是（ ）

①命题“任意x∈（0，+∞），2＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2＜1” ②命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x＝1，x≠1” ③命题“若xy＝1，则lgx+lgy＝0”的否命题为假命题 ④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题 A．0个

xx

22

B．1个

C．2个

D．3个

3．两个非零向量 ， 满足| |＝| |＝2| |，则向量 与 夹角为（ ） A．

B．

C．

D．

4．等比数列{an}满足a3a5＝4（a4﹣1），且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（ ） A．

B．

C．4 D．2

5．已知正实数a，b满足 ， ，则（ ） A．a＜b＜1

B．1＜b＜a

C．b＜1＜a

D．1＜a＜b

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，a＝4，b+c＝5，则△ABC的面积为（ ）

A．

B．

C． D．

7．设函数f（x）对x≠0的一切实数均有 A．﹣4034

B．2017

，则f（2019）＝（ ） C．2018 D．4036

8．若直线l：y＝kx﹣2k+1将不等式组 表示平面区域的面积分为1：2两部分，

则实数k的值为（ ） A．1或

B．或

a

b

a

b

C．或

D．或

9．已知0＜a＜b＜1，则在a，a，b，b中，最大的是（ ） A．a

a

B．a

b

C．b

a

D．b

b

10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）

A． C．

B． D．

11．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为

E，则 （ ）A．

x

B． C．

D．

12．已知函数f（x）＝xlnx+ae有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． ，

B． ，

C． ，

D． ，

二．填空题（共4小题,每小题5分,共20分） 13．设函数f（x）

， ， ＞

，若函数f（x）恰有3个零点，则实数m的

取值范围为 ．

14．已知 ， 15．已知a＞0，b＞0，且

，则

1，则3a+2b的最小值等于 ．

16．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，且 ∈ ，则a2020＝ ．

三．解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设命题p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0（a＞0）；命题q：实数x满足（1）若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知

2

2

＜0．

（1）求角C的大小；

（2）若 ，且a＝2b，求c的值．

19．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a5＝16，S6＝36． （1）求{an}的通项公式；

（2）设 ，求{bn}的前n项和Tn．

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （c﹣acosB）＝bsinA． （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a ，求b+c的最大值．

21．已知等差数列{an}满足a1+a3+a5＝9，a2+a4+a6＝12，等比数列{bn}的公比q＞1，且b2+b4

＝a20，b3＝a8．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若数列{cn}满足 ，且数列{cn}的前n项和为Bn，求证：数列 的前n

项和 ＜ ．

22．已知函数

．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间 ， ＞ 上存在极值，求实数m的取值范围

理数答案

1．A 解：∵集合的商集运算为

{x|x ，m∈A，n∈B}，

集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x ，k∈A}＝{0，1，2}， ∴

{0，，，，，1}，∴∪B＝{0，，，，，1，2}．

∴集合 元素的个数为7个．故选：A．

2．B 解：①命题“任意x∈（0，+∞），2＞1”的否定是“∃x0∈（0，+∞），2≤1”，因此不正确；

②命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x≠1，x≠1”，因此不正确；

③命题“若xy＝1，则lgx+lgy＝0”的逆命题为：若lgx+lgy＝0，则xy＝1，为真命题，因此原命题的否命题为真命题，因此不正确；

④命题“若x＝y，则sinx＝siny”，为真命题，其逆否命题为真命题，正确．故选：B． 3．A 解：∵两个非零向量 ， 满足| |＝| |＝2| |，如图， 设 ， ，则 ， ， 则四边形OACB为矩形 BA＝2OA，OB OA．

设向量 与 夹角为θ，则∠OBA＝π﹣θ，∴cos（π﹣θ ）

xx

22

， ∴π﹣θ ，θ

，故选：A．

4．D 解：由a3a5＝4（a4﹣1），得 ，

即 ，解得a4＝2．又a4，a6+1，a7成等差数列， ∴2（a6+1）＝a4+a7，即2（2q+1）＝2+2q，∴q＝2．故选：D．

5．B 解：在同一坐标系中分别作出函数y ，y 及y＝log2x的图象如图：

2

3

由图可知，1＜b＜a．故选：B．

6．D 解：△ABC中： ，a＝4，b+c＝5，

由余弦定理得

，∴ ，

，故选：D． 7．A 解：∵函数f（x）对x≠0的一切实数均有

， ∴ ，解得f（1）＝8074，f（2019）＝﹣4034．故选：A．

8．A 解：不等式组 表示的平面区域，如右图所示：

∵直线l：y＝kx﹣2k+1恒过（2，1），

可得：当直线l：y＝kx﹣2k+1过BC的三等分点E（，）；D（，）时，

故kAE 1，故选：A． ，kAD

9．C 解：∵0＜a＜b＜1，∴b＞a＞a，且b＞b，∴最大的是b．故选：C． 10．C 解：根据图象得A＝2，T （ ），可得T ，

∴ω

，又f（x）过点（ ，0），可得2sin[ （ ）+φ]＝0，

，

a

a

b

a

b

a

由五点作图法可得 （ ）+φ＝π，解得φ 所以f（x）＝2sin（x

）＝0．故选：C． 11．D 解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，则A（0，3），B（0，0），C（4，0），D（4，3）； 直线BD的方程为y x；由AE⊥BD，则直线AE的方程为y﹣3 x，即y x+3；

，E（ ， ） 由 ，解得

所以 （， ）， （， ），

所以 （ ）×（ ） ．故选：D．

12．D 解：∵f'（x）＝1+lnx+ae，由题意，f'（x）＝1+lnx+ae＝0有两个不同的实根， 即y＝﹣a和

在（0，+∞）上有两个交点， xx

令 ，∴ ．

记 ，h（x）在（0，+∞）上单调递减，

且h（1）＝0，所以当x∈（0，1]时，h（x）≥0，g'（x）≥0，所以g（x）在（0，1]上单调递增；

当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减， 故 ．当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→0， 当 ＜ ＜ ，即 ＜ ＜ 时，y＝﹣a和 故选：D．

13．答案为﹣1＜m≤2 解：令g（x）

， ，则f（x）有3个零点转化

， ＞

在（0，+∞）上有两个交点，

为g（x）＝m有3个实根．故问题转化为y＝g（x）的图象与直线y＝m有3个交点，作

出函数g（x）的图象如下图所示

观察可知，﹣1＜m≤2，故答案为﹣1＜m≤2． 14．答案为：

解：由sin（α+β）＝﹣1，得sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣1，

由sin（α﹣β） ，得sinαcosβ﹣cosαsinβ ， 联立解得：sinαcosβ ，cosαsinβ ，∴15．答案为：5+2 解：a＞0，b＞0，且

．故答案为：．

1，则3a+2b＝（3a+2b）（ ）＝

5

5+2 5+2 ，当且仅当 ，即a ，b＝1 时等号

成立，故3a+2b的最小值等于5+2 ，故答案为：5+2 ．

16．答案为：a2020＝﹣1 解：法一：令n＝1，则a3＝a2﹣a1＝5﹣1＝4； 令n＝2，则a4＝a3﹣a2＝4﹣5＝﹣1；

令n＝3，则a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣4＝﹣5；令n＝4，则a6＝a5﹣a4＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4； 令n＝5，则a7＝a6﹣a5＝﹣4﹣（﹣5）＝1；

令n＝6，则a8＝a7﹣a6＝1﹣（﹣4）＝5； ∴数列{an}为周期为6的周期数列， ∴a2020＝a336×6+4＝a4＝﹣1．

法二： ∈ ①，an+3＝an+2﹣an+1②， ①+②得an+3+an+2＝an+1﹣an+an+2﹣an+1，

∴an+3＝﹣an，∴an+6＝﹣an+3＝an，{an}周期为6，∴a2020＝a336×6+4＝a4， ∴由a1＝1，a2＝5，得a3＝4，a4＝﹣1．∴a2020＝﹣1 17.解：（1）由x﹣4ax+3a＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，

又a＞0，所以a＜x＜3a，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3． 由实数x满足分）

若p∧q为真，则p真且q真，则

＜ ＜ ，得1＜x＜3，

＜ ＜

2

2

＜ ． 得﹣2＜x＜3，即q为真时实数x的取值范围是﹣2＜x＜3．（4

所以实数x的取值范围是1＜x＜3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）p是q的充分不必要条件，则（a，3a）⫋（﹣2，3）

由a＞0，及3a≤3得0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1．﹣﹣（10分） 18．【解答】解：（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知

由正弦定理得

，即

，

化简得 ，由于0＜C＜π，所以C ．

（2）由题意知 ，所以 ，解得ab＝2．

由于a＝2b，所以a＝2，b＝1．则c＝a+b﹣2abcosC，解得c ． 19．解：（1）由题意得

， ，解得

， ， 2

2

2

所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．

（2） ，

所以 ．

{bn}的前n项和Tn为：

．

20.解：（Ⅰ）∵ （c﹣acosB）＝bsinA，

∴由正弦定理可得 （sinC﹣sinAcosB）＝sinBsinA，即 sin（A+B）＝sinBsinA sinAcosB， ∴ cosAsinB＝sinBsinA，∵sinB≠0，∴ cosA＝sinA，可得tanA ， ∵A∈（0，π），∴A ．

（Ⅱ）∵a ，A ，∴由正弦定理可得∴b+c

，

（sinB+sinC） [sinB+sin（ B）] （sinB cosB sinB）＝2 sin

，＜B ＜，

（B ），∵0＜B＜

∴＜sin（B ）≤1，当且仅当sin（B ）＝1，即B 时，b+c取得最大值2 ． （此问也可用基本不等式）。

21.解：（1）∵a1+a3+a5＝9，a2+a4+a6＝12 ∴a3＝3，a4＝4，∴d＝1，可得an＝n． ∵b2+b4＝20，b3＝8， ∴b1q+b1q＝20① b1q＝8②

由①②得q＝2或q （舍）b1＝2，∴bn＝2． （2）cn＝4﹣2， ∴Bn ∴

，

n

n

2

3

n

，

∴Tn

＜．

．∴f′（x） ，

， 22.解：（I）∵函数

∴曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为

又f（e） ，∴曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为： y

2

（x﹣e），即x+ey﹣3e＝0． （II）当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞l时，f′（x）＜0， f（x）在（0，1）上单调递增，在（1．+∞）上单调递减．

故f（x）在x＝l处取得极大值．∵f（x）在区间（m，m ）（m＞0）上存在极值， ∴0＜m＜1且m ＞1，解得＜ ＜ ．∴实数m的取值范围是（，1）.