2011年数学建模东三省赛A题省一等奖论文

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论文题目：深圳市人口与医疗需求预测（A）

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深圳人口与医疗需求预测

摘 要：针对深圳人口预测与医疗床位需求问题建立了相应的数学模型，预测出了未来全市和各区医疗床位需求及在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

针对问题一：首先根据前十年常住人口数量，运用Excel曲线拟合，得出未来10年人口数量分别为1050.9,1081,1110.4，1138.9,1166.5,1193.3,1219.3,

1244.5,1268.8，1292.2(万人)；然后根据2000,2005,2010年少年、中年、老年人口数量，计算出三年中少年、中年、老年人口比例，运用Matlab软件拟合出未来少年、中年、老年人口比例的变化曲线，进而推测出未来深圳人口结构的发展趋势为：少年人口比例减少，中年、老年人口比例增加；其次，通过分析全市床位需求与老年人口比例及总人口数量关系，建立床位需求的统计回归模型，运用Matlab软件求解，得到未来十年全市床位需求为：3.8272，4.0937,4.3632,4.6352，4.9097，5.1869，5.4670，5.7497，6.0350，6.3229(万张)；最后，利用各区人数占全市人数的比例，结合各年总床位数，预测出各区的医疗床位需求。

针对问题二：依据预测的未来十年不同类型的医院数量，计算出各类型医院占各医院总数量的比例，结合未来十年三种病患者人数，从而预测出三种类型病的患者在未来不同类型的医疗机构就医的床位需求

关键字：统计回归模型；Excel曲线拟合；Matlab软件

1

一、问题重述

近年来，深圳人口结构的显著特点是流动人口远远超过户籍人口。随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都将导致现有的深圳人口社会发展模型却难以满足人口和医疗的预测要求。合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题

1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口 数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；

2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病(肺 癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等)在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

二、模型假设

1.假设未来10年内深圳户籍人口不发生突然地大规模变动。 2.假设未来深圳市没有瘟疫、流行病等因素对人口产生较大影响。 3.假设深圳市产业结构不会发生太大变化。 4.假设短期内医院数量不发生较大变化。

三、符号说明

符号 意义 k类医院数量(k=1、2、3、4、5、6、7分别表示综合医院、中医医Mk 院、传染病医院、肝病医院、妇幼保健院、妇产医院、儿童医院) q类患者人数(q=1、2、3分别表示肝病患者、剖腹产者、小儿肺炎Nq 患者) Ok 肝病在k类型医院的床位需求(k=1、2、3、4) Pk 剖腹产在k类型医院的床位需求(k=1、2、5、6) 2

Qk 小儿肺炎在k类型医院的床位需求(k=1、2、7) x x1，2，25分别表示1996年，1997年，2020年 Wj 深圳市j年龄段的比例(j1,2,3,4,5分别表示幼儿，少年，青年，中年，老年) Y 深圳市的总人口数 Z 深圳市的总床位数 i区的床位数(i=1,2,3,4,5,6,7,8,分别表示罗湖区，福田区，南山zi 区，宝安区，龙岗区，盐田区，光明新区，坪山新区) 回归系数   随机误差

四、模型分析

4,1问题一的模型分析 4.1.1人口数量预测

进入深圳市卫生和计划委员会网站，查找1996年至2010年深圳市人口数量，运用

Excel进行曲线拟合并显示函数关系式，进而求出未来十年深市人口数量。

4.1.2人口结构的分析

将深圳市2000年、2005年、2010年人口数据表提供的21组不同年龄段人口数量划

分为三组，0-19岁为少年，20-59岁为中年，60-100岁以上为老年。由人口数据表可分别求出少年、中年、老年所占总人口的比例，并运用Matlab软件对比例进行拟合。由拟合曲线看出三种不同年龄段人口结构的发展趋势。 4.1.3全市床位需求的分析

全市床位需求与全市人口数量、老年人口数量有关。通过查找数据可得到2001至2010年深圳市各床位的需求量、各年人口数量以及各年60岁以上的老年人口数量。利

3

用Matlab,Excel拟合可分别得出床位数量与人口数量关系以及床位数量与老年人口数量关系，将两个关系式相加建立统计回归模型。再用Excel分别求出1，2，3的值从而求解。

4.2问题二的模型分析

肝病、剖腹产、小儿肺炎患者既可以去综合医院就诊也可去专科医院就诊。经查找可知三种病患者在2001-2010年的数量，运用EXCEL拟合可预测出2011-2020年三种病患者数量。肝病在各类型医院的床位需求=肝病患者人数同理可得出剖腹产、小儿肺炎在各类型医院的床位需求。

该类型医院数量,

能治愈肝病的医院总量五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解 5.1.1人口数量预测 5.1.1.1.数据分析

表一 深圳近10年人口总人数 年份 人数(万人) 年份 人数(万人) 年份 人数(万人) 1996 482.89 2001 724.57 2006 871.1 1997 527.75 2002 746.62 2007 912.37 1998 580.33 2003 778.27 2008 954.28 1999 632.56 2004 800.8 2009 995.01 2000 701.24 2005 827.75 2010 1037.2 年末常住人口数随着年份的增长呈现递增趋势，对表一数据运用Excel做二次多项式拟合：

4

总人数随年份的增长曲线y = -0.4191x2 + 44.001x + 454.15120010008006004002000123456789101112131415总人数与年份的关系多项式 (总人数与年份的关系)

5.1.1.2.模型建立

Y0.419x244.001x454.15

5.1.1.3.模型求解

根据模型得出未来十年深圳年末常住人口数 年份 人数(万人) 年份 人数(万人) 2011年 1050.9 2016年 1193.3 2012年 1081 2017年 1219.3 2013年 1110.4 2018年 1244.5 2014年 1138.9 2019年 1268.8 2015年 1166.5 2020年 1292.2 5.1.2人口结构预测 5.1.2.1.相关数据分析

人口结构是指将人口以不同的标准划分而得到的一种结果，将所有年龄分为五个年龄段：幼儿阶段、少年阶段、青年阶段、中年阶段、老年阶段。 幼儿 少年 青年 中年 老年 0-4岁 5-19岁 20-39岁 40-59岁 60岁以上 根据2000、2005、2010三年的人口总数和各年龄段的人数，计算出各年龄段人数的比例

表二 2000年各年龄段所占比例 人口数(个人) 比例 5

幼儿 少年 青年 中年 老年 231658 1395145 4652536 586422 143070 0.0331 0.1991 0.6637 0.0837 0.0204 表三 2005年各年龄段所占比例 幼儿 少年 青年 中年 老年 人口数(个人) 270667 1593798 5253100 960090 199811 比例 0.0327 0.1926 0.6346 0.1160 0.0241 表四 2010年各年龄段所占比例 幼儿 少年 青年 中年 老年 人口数(个人) 425772 1370108 6320809 1937649 303416 比例 0.0411 0.1323 0.6102 0.1871 0.0293 将表中数据分别用MATLAB进行拟合，推算出各年龄段未来的变化趋势

幼儿所占总人数比例的变化趋势

6

少年所占总人数比例的变化趋势

青年所占总人数比例的变化趋势

7

中年所占总人数比例的变化趋势

老年所占总人数比例的变化趋势

8

5.1.2.2模型建立

幼儿所占总人数的比例函数：W10.004x0.02763

少年所占总人数的比例函数：W20.0269x20.0742x0.1518 青年所占总人数的比例函数：W30.02675x0.6897 中年所占总人数的比例函数：W40.0194x20.0259x0.0902

老年所占总人数的比例函数：W50.00075x20.00145x0.0182 5.1.2.3模型求解

根据所拟合得图像和所得函数发现：幼儿所占比例呈递增趋势，少年和青年所占比例呈递减趋势，中年和老年所占比例呈递增趋势，由此我们可以预测未来深圳人口结构是向老龄化发展的，老年人数所占总人数的比例将逐渐增加。 5.1.3全市床位需求预测 5.1.3.1数据分析

随着时间的发展，床位的需求越来越多。深圳总人口数和在老年人比例也在逐年增长，由此推断出床位的变化与人口总数和老年人比例有关。

表五 未来十年深圳总人数与老年人比例

年份

1996年 1997年 9

1998年 1999年 2000年 人数（万人） 老年人口的比例 年份 人数（万人） 老年人口的比例 年份 人数（万人） 老年人口的比例 482.89 0.0201 2001年 724.57 0.0421 2006年 871.1 0.0641 527.75 0.0245 2002年 746.62 0.0465 2007年 912.37 0.0685 580.33 0.0289 2003年 778.27 0.0509 2008年 954.28 0.0729 632.56 0.0333 2004年 800.8 0.0553 2009年 995.01 0.0773 701.24 0.0377 2005年 827.75 0.0597 2010年 1037.2 0.0817 根据表五，用Excel拟合床位数与老年人口比例的关系 床位数与老年人口比例的关系2.521.510.50床位与老年人口比例的关系多项式 (床位与老年人口比例的关系)0.02010.02890.03770.04650.05530.0640.107290.0817

由上图可知，床位与老年人口比例二次项拟合吻合度较好，故得

Z01W2W2 (1)

根据表五，用Excel拟合床位数与总人口数的关系

10

床位与总人口数的关系2.521.510.50床位与总人口的增长曲线多项式 (床位与总人口的增长曲线)482.89580.33701.24746.62800.8871.1954.281037.2

由上图可知，床位与总人口数三次项拟合吻合度较好，故得

Z03Y4Y25Y3 (2) 综合(1)(2)得模型 Z01W2W23Y4Y25Y3 将数据y,x1,x2代入Matlab，求出多项式系数

0 0.0061 1 28.1195 2 120.8414 3 0.0024 4 -0.0000 5 0.0000 即得函数：

Z0.006128.1195W120.8414W20.0024Y

经过带y,x1,x2代入函数检验，根据得到的结果与原数据进行比较，将函数调整为：

Z0.993928.1195W120.8414W20.0024Y

利用问题一的模型建立与求解所得到的未来十年深圳总人数与老年人比例，如下表：

年份 深圳市老年人的比例（x1） 人数（万人） 2011年 0.0641 1050.9 2012年 0.0685 1081 2013年 0.0729 1110.4 2014年 0.0773 1138.9 2015年 0.0817 1166.5 11

年份 深圳市总人口数（万人）（x2） 人数（万人） 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 0.0861 0.0905 0.0949 0.0993 0.1037 1193.3 1219.3 1244.5 1268.8 1292.2 W120.8414W20.0024Y算得深圳市未来将x1,x2带入函数Z0.993928.1195十年的床位数： 年份 深圳市的床位数（万个） 年份 深圳市的床位数（万个） 2011年 3.8272 2016年 5.1869 2012年 4.0937 2017年 5.4670 2013年 4.3632 2018年 5.7497 2014年 4.6352 2019年 6.0350 2015年 4.9097 2020年 6.3229 5.1.4各区床位需求预测 5.1.4.1数据分析

表六 2000、2005、2010年各区人数比例表

罗湖区 福田区 南山区 2000年 宝安区 龙岗区 盐田区 罗湖区 福田区 2005年 南山区 宝安区 龙岗区 2735129 1714908 152323 860400 1161000 900600 3300500 1839200 0.390240398 0.244678178 0.021733011 0.103944867 0.140260333 0.108801427 0.398733187 0.222193631 总人口 774805 909571 722095 各区的比例 0.110546966 0.129774994 0.103026453 12

盐田区 罗湖区 福田区 南山区 宝安区 2010年 龙岗区 盐田区 光明新区 坪山新区 215800 923470 1317620 1088008 4017805 2011224 208878 481505 309244 0.026070784 0.08915736 0.127210976 0.10504285 0.387903111 0.194175687 0.020166341 0.046487395 0.02985628 根据表六将各区三年人口数占总人口数的比例求平均得：

罗湖区 福田区 南山区 宝安区 龙岗区 盐田区 宝安区 龙岗区 盐田区 光明新区 坪山新区 各区的平均比例 0.101216398 0.132415435 0.105623577 0.392292232 0.220349165 0.022656712 0.387903111 0.194175687 0.020166341 0.046487395 0.02985628 5.4.1.2模型建立

各区的医疗床位的需求=各区人口比例全市床位总数 5.1.4.3 模型的求解

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罗湖区的医疗床位的需求量 z1=0.1012163983.82723873.753984 同理可分别得出其他各个区未来十年的医疗床位需求zi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)

全市和各区未来十年的床位数

深圳市 罗湖区 福田区 南山区 宝安区 龙岗区 盐田区 光明新区 坪山新区 深圳市 罗湖区 福田区 南山区 宝安区 龙岗区 盐田区 光明新区 坪山新区 2011年 38272 3874 5068 4042 15014 8433 867 1779 1143 2016年 51869 5249 6868 5479 20348 114298 11758 24118 1549 2012年 40937 4143 5421 4324 16059 9020 927 1903 1222 2017年 54670 5534 7239 5774 21447 12046 1239 2541 1632 2013年 43632 4416 5778 4609 17116 9614 989 2028 1303 2018年 57497 5820 7613 6073 22556 12669 1303 2673 1717 2014年 46352 4692 6138 4896 18184 10214 1050 2155 1384 2019年 60350 6108 7991 6374 23675 13298 1367 2806 1802 2015年 49097 4969 6501 5186 19260 10818 1112 2282 1466 2020年 63229 6400 8372 6678 24804 13932 1433 2940 1888 5.2问题二的模型建立与求解

根据深圳市人口年龄、结构和患病情况，我们选择3种具有代表性的疾病进行研究。通过查找《常见慢性病患病率的年龄分布特征及相关性分析》，得出肝病，剖腹产，小

14

儿肺炎这三种病在不同年龄段的患病几率.。

根据所查找的资料将深圳市的医院分为：综合医院，中医医院，传染病医院，肝病医院，妇幼保健院，妇产医院，儿童医院共7种。

其中肝病患者只能在综合医院，中医医院，传染病医院，肝病医院治疗；剖腹产病人可去综合医院，中医医院，妇幼保健院，妇产医院；小儿肺炎患者只能去综合医院，中医医院，儿童医院。

不同类型的医院数量 中医院 4 综合医院 90 传染病医院 4 儿童医院 2 妇幼保健院 10 妇产医院 5 肝病医院 4 5.2.1肝病在不同类型的医疗机构就医的床位需求预测 5.2.1.1数据分析 各类型医院的床位需求=肝病患者人数×该类型医院数量 能治愈肝病的医院总数量综合医院床位需求量： O1N1M1 M1M2M3M4N1M2 M1M2M3M4N1M3 M1M2M3M4N1M4 M1M2M3M4(3) 中医医院床位需求量： O2 (4) 传染病医院床位需求量：O3(5) 肝病医院床位需求量： O4(6) 表七 以往十年肝病患者人数 年份 肝病患者数 年份 肝病患者数 2001年 998 2006年 3345 2002年 1212 2007年 3881 2003年 1739 2008年 4344 2004年 2341 2009年 4407 2005年 2854 2010年 4770 根据表七数据运用Excel进行拟合 15

肝病患者各年人数600050004000300020001000015.2.1.2模型建立

N1451.21x507.47 5.2.1.3模型求解

根据(7)式，预测出未来十年肝病患者总数： 年份 肝病患者数（个人） 年份 肝病患者数（个人） 2011年 5471 2016年 7727 2012年 5922 2017年 8178 2013年 6374 2018年 8630 2014年 6825 2019年 9081 2015年 7276 2020年 9533 2345678910

(7)

根据(3)(4)(5)(6)和未来十年肝病患者总数之间的关系，预测未来十年肝病患者在四种不同类型医院的床位需求： 年份 综合医院 中医医院 2011年 4828 215 2012年 5226 235 2013年 5624 250 2014年 6022 268 2015年 6420 286 16

传染病医院 肝病医院 年份 综合医院 中医医院 传染病医院 肝病医院 215 215 2016年 6819 303 304 304 233 233 2017年 7217 321 321 321 250 250 2018年 7615 339 339 339 268 268 2019年 8013 356 357 357 286 286 2020年 8411 374 374 374 5.2.2剖腹产在不同类型的医疗机构就医的床位需求预测 5.2.2.1数据分析 各类型医院的床位需求=剖腹产患者人数×该类型医院数量 能治愈剖腹产的医院总数量综合医院床位需求量： P1N2M1 M1M2M5M6N2M2 M1M2M5M6N2M5 M1M2M5M6N2M6 M1M2M5M6(8) 中医医院床位需求量： P2(9) 妇幼保健院床位需求量： P5(10) 妇产医院床位需求量： P6(11) 表八 剖腹产以往十年年人数 年份 剖腹产人数（个人） 年份 剖腹产人数（个人） 2001年 18665 2006年 24214 2002年 19003 2007年 25002 2003年 19998 2008年 25875 2004年 21458 2009年 26584 2005年 22458 2010年 27658 根据表八数据运用Excel进行拟合

17

剖腹产各年人数30000250002000015000100005000015.2.2.2模型建立

.3x17176 (12) y1079y = 1079.3x + 171762345678910

5.2.2.3模型求解

根据(10)预测出相邻十年的数据，并与年份相对应：

年份 剖腹产人数（个人） 年份 剖腹产人数（个人） 2011年 29048 2016年 34445 2012年 30128 2017年 35524 2013年 31207 2018年 36603 2014年 32286 2019年 37683 2015年 33366 2020年 38762 根据(8)(9)(10)(11)和未来十年剖腹产患者总数之间的关系，预测未来十年剖腹产患者在四种不同类型医院的床位需求： 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 综合医院 2399 2488 25768 26659 27550 中医医院 107 111 1146 1185 1225 妇幼保健医院 267 277 2864 2963 3062 妇产医院 134 139 1432 1482 1531 18

2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 28441 29332 30223 31115 32006 1265 1304 1344 1383 1423 3161 3260 3359 3458 3557 1581 1630 1680 1729 1779 5.2.3小儿肺炎在不同类型的医疗机构就医的床位需求预测 5.2.3.1数据分析 各类型医院的床位需求=小儿肺炎患者人数×N3M1 M1M2M7N3M2 M1M2M7N3M7 M1M2M7该类型医院数量 能治愈小儿肺炎的医院总数量综合医院床位需求量： Q1(13) 中医医院床位需求量： Q2(14) 儿童医院床位需求量： Q7(15) 表九 小儿肺炎患者各年人数

年份 小儿肺炎患者 年份 小儿肺炎患者 2001年 13558 2006年 16548 2002年 14112 2007年 17548 2003年 14548 2008年 19458 2004年 15002 2009年 21548 2005年 15478 2010年 24658 根据表九数据运用Excel进行拟合

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小儿肺炎患者各年人数30000250002000015000100005000015.2.3.2模型建立

y154.76x2579.85x14477 (16) 5.2.3.3模型求解

根据(14)预测出相邻十年的数据，并与年份相对应：

年份 小儿肺炎患者（个数） 年份 小儿肺炎患者（个数） 2011年 32623 2016年 52516 2012年 36183 2017年 58623 2013年 40052 2018年 64039 20142年 44230 2019年 69766 2015年 48718 2020年 75801 2345678910

根据(11)(12)(13)和未来十年小儿肺炎患者总数之间的关系，预测未来十年小儿肺炎患者在四种不同类型医院的床位需求： 2011年 2012年 2013年 2014年 综合医院 30585 33922 37549 41466 中医医院 1360 1508 1669 1843 儿童医院 680 754 835 922 20

2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年

45674 49234 54960 60037 65406 71064 2030 2189 2443 2669 2907 3159 1015 1095 1222 1334 1454 1580 六、模型的评价及推广

6.1模型的优点

1.统计回归模型将全市的床位需求与人口数量、老年人口数量相联系，避免了预测床位需求时只考虑单一因素的影响。

2.模型建立在正确分析题意的基础上，结构简单易于理解、便于决策者使用。 3.模型的建立充分利用了所给数据，应用了Excel和Matlab软件计算有利于减小计算误差，增强可信度。

4.运用Excel和Matlab软件进行曲线拟合，图像能够清晰地反映变量之间的关系。 6.2模型的不足之处

由于计算机拟合存在误差，因此计算出的数据与真实值存在一定的偏差。 6.3模型的推广

模型虽存在一定的不足之处，但所得结果仍为合理。问题一中的统计回归模型将深圳市医疗床位需求与人口数量、老年人口比例结合起来，预测出未来深圳市医疗床位需求。这只是模型应用的一小部分，在各个领域还能有更广泛的应用，它的主要功能是对变量的预测与判别。运用该模型可对医院每个时期患病人数预测，探索患病人数变化与各因素关系，有助于医护人员做好防范措施，并筹备食疗方案，减少有害因素对病人的影响，避免病情的扩散。在商业方面，通过建立产品销量与消费者年龄结构、同种产品在其他厂家的物价水平的统计回归模型，可预测未来市场的销售状况。这样，厂家可根据不同年龄消费者的喜好进行创造性地设计产品；通过分析其他厂家价格水平来调整自己的价格水平，形成自己的竞争优势，使得利润最大化。

对于问题二建立的模型除了用于深圳市不同类型疾病在各类型医院的床位需求，还可以推广到国家经济建设方面。当前国际贸易竞争日益激烈，运用该模型计算出各年份不同类型的出口产品占贸易总额的比重，由拟合曲线可预测不同类型出口产业的发展趋势。

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七、参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型,北京高等教育出版社，2003 [2]吴建国.数学建模,中国水利水电出版社，2005

[3]云舟工作室.Matlab数学建模基础教程，北京人民邮电出版社，2001

[4]蔡锁章.数学建模原理与方法,北京海洋出版社，2000

[5]http://www.szhpfpc.gov.cn/view?fid=view&id=1&oid=menunews&ntyp=A10B032

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