平面向量精选试题

1、在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若

A、

B、=

，

=

，

=，

C、

则

=（ ）

D、

分析：在矩形ABCD中，，由向量加法公式可得答案． =

=（

+

）=（

+

）=（3

+5

），

解答：解：∵矩形ABCD中，O是对角线的交点，∴

故选A． 点评：本题考查相等的向量，以及向两加法的平行四边形法则的应用．

2、对于菱形ABCD，给出下列各式： ①

；②

=

；③A、1个

；④

B、2个 C、3个

与

+D、4个

=4|

|

2

其中正确的个数为（ ）

分析：由菱形图象可知这两个向量不相等①错误，两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的

模长相等，得到②正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，③正确，有菱形的定义知④正确

解答：解：由菱形图象可知①错误，

这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确， 把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，③正确， 有菱形的定义知④正确 故选C．

点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 3、在 ABCD中，设

A、

=，B、

， C、

，

，则下列等式中不正确的是（ ）

D、

分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线所在的向量之差，注意方向．

解答：解：根据向量加法的平行四边形法则知，

，

， 即

， 得到

， 故选B．

点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题． 4、已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ）

A、

=|

|

B、|

|=|

|

C、||+||=|

|

D、||+||=|

|

分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的绝对值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正确的答案 解答：解：由已知：向量与反向，

，

故选C．点评：本题主要是考查平行向量和共线向量的及相应模的运算． 5、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5），则第四个点的坐标为（ ） A、（1，5）或（5，﹣5） B、（1，5）或（﹣3，﹣5） C、（5，﹣5）或（﹣3，﹣5） D、（1，5）或（﹣3，﹣5）或（5，﹣5）

分析：利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式

求出．

解答：解：设第四个顶点为（x，y） 当第四个顶点与（﹣1，0）对顶点则 x﹣1=4；y=﹣5 解得x=5，y=﹣5 当第四个顶点与（3，0）为对顶点则 x+3=0，y=﹣5 解得x=﹣3，y=﹣5

当第四个顶点与（1，﹣5）为对顶点则 x+1=2；y﹣5=0 解得x=1，y=5 故选D 点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式． 6、与向量=（12，5）平行的单位向量为（ ）

A、C、

或

B、

D、

或

，求出．

分析：设出与向量=（12，5）平行的单位向量，求出的模，利用解答：解：设与向量=（12，5）平行的单位向量

所以

=

，或

，

故选C．

点评：本题考查向量共线，考查学生计算能力，是基础题． 7、若|

|=

，||=4，||=5，则与的数量积为（ ）

A、10 B、﹣10 C、10 D、10 分析：利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；将已知条件中的三个等式平方求出两个向量的数量积． 解答：解：∵∵

∴

∴

∴

故选A

点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用此性质常解决与向量模有关的问题．

8、若将向量

A、

围绕原点按逆时针旋转

B、

得到向量，则的坐标为（ ）

C、

D、

分析：由已知条件知与模相等，夹角为解答：解：设

；利用向量的模的坐标公式及向量的数量积公式列出方程组，求出．

2

2

， 据题意知x+y=5①，

，

解①②组成的方程组得， 故选B．

点评：本题考查向量的模的坐标公式、考查利用向量的数量积公式求向量的夹角．

9，设k∈R,下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ） A．b=(k,k) B．c=(-k,-k) C．d=(k2+2,k2+1) D．e=(k2-1,k2-1)

C 解析：A、B、D都有可能为0，而0∥a,而C中d=(k2+2,k2+1),

≠,故d不平行

10；已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2 e1 D.e2和e1+e2 解析:∵4e1-6e1=-2(3e1-2e2), ∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能为基底. 答案:B

11、设k∈R，下列向量中，与向量=（1，﹣1）一定不平行的向量是（ ） A、

B、

C、

D、

2

分析：根据条件中所给的向量的坐标，代入两个向量平行的充要条件进行验证，整理出充要条件是﹣2k﹣2，一定不等于零，一次得到这两个向量一定不平行． 解答：解：∵

=﹣（k+1）﹣（k+1）=﹣2k﹣2≤﹣2 ∴这两个向量一定不平行， 故选C．

2

2

2

点评：本题考查两个向量平行的充要条件，这个充要条件有两种表示形式，坐标形式是最直接的一种形式，解题时只要进行数字的运算，是一个基础题．

12、已知向量||=10，||=12，且

=﹣60，则向量与的夹角为（ ）

A、60° B、120° C、135° D、150°

分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角． 解答：解：设向量的夹角为θ则有：

， 所以10×12cosθ=﹣60，

解得． ∵θ∈[0，180°] 所以θ=120°． 故选B

点评：本题考查利用向量的数量积公式解决两个向量的夹角问题．注意两个向量夹角的范围是[0，π]

13、已知||=||=1，•=，则平面向量与夹角的大小为（ ）

A、

B、

C、

D、

=，从而求得

，

=

， 故选：C． 的值．

分析：利用两个向量的数量积的定义求出cos

解答：解：由两个向量的数量积的定义可得•==1×1×cos∴cos

=， 由于

的范围为[0，π]， ∴

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．

14、已知向量||=||=

A、

B、

，|+|= C、

，则向量、

D、

=2+2×

×

cosθ+2=6，解得 cosθ=，可得θ 的，

夹角为（ ）

分析：设向量、夹角为 θ，根据条件可得值． 解答：解：设向量、∴

=2+2×

×

夹角为 θ，∵向量||=||=

，|+|=

cosθ+2=6，解得 cosθ=，∴θ=， 故选 D．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，求得cosθ=，是解题的关键．

15、已知

A、30°

，

且

，则向量与向量的夹角是（ ） D、135°

有：

以

B、45° C、90°

分析：欲求向量与向量的夹角，根据题目所给条件及

解答：解：

解得cos＜

＞=

，即＜

求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角．

， 所以1﹣1×＞=45°， 故选B．

×cos＜

＞=0，

点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算．

16、在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则

A、

B、

C、

D、

，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．

．

等于（ ）

分析：先用向量加法的平行四边形法则化简

解答：解：设AB的中点为F ∵点M是△ABC的重心 ∴

故选C 点评：考查向量在几何中的应用、向量加法法则及三角形重心的性质：重心分中线为，属于基础题．

17、（2010•重庆）已知向量a，b满足a•b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（ ） A、0 B、 C、4 D、8 分析：利用题中条件，把所求|2解答：解：∵

|平方再开方即可

|=

=

=

=2

=0，||=1，||=2， ∴|2

故选B． 点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．

18、已知向量、满足

A、10

B、20

C、21

，且

D、30

；再结合响亮的模长计算公式，把其放到根号内先平

，则

=（ ）

分析：先根据

方，再开方即可得到结论． 解答：解：因为

∴|

|=

=

，两边平方得到

， 所以：

=

⇒．

=10． 故选：A．

，两边平方得到

．

点评：本题主要考查向量的模长计算．解决问题的关键在于根据

19、（2007•浙江）若非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则（ ） A、|2a|＞|2a+b| B、|2a|＜|2a+b| C、|2b|＞|a+2b| D、|2b|＜|a+2b|

分析：本题是对向量意义的考查，根据||a|﹣|b||≤|a+b|≤|a|+|b|进行选择，题目中注意|a+2b|=|a+b+b|的变

化，和题目所给的条件的应用．

解答：解：∵|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|， ∵a，b是非零向量， ∴必有a+b≠b， ∴上式中等号不成立． ∴|2b|＞|a+2b|， 故选C

点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．

20、已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量在向量方向

上的投影的取值范围是（ ） A、

D、

B、[﹣3，3] C、

分析：由题意由于O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足，画出可行域，在利用

．解答：解：画出可行域为：

有图可知

． 故选A 点评：此题考查了有不等

式組准确画出可行域，还考查了一个向量在另外一个向量上的投影的概念及向量夹角的概念．

平面向量试题6 21、已知向量，满足=（2，0），则

=（ ） A、2 分析：表示出

B、4

．△ABC，C、6

=2+2，D、8

﹣6，D为BC边的中点，

，代入向量，，然后求出

=（

，即可．

）=2﹣2=（1，﹣

）

=

解答：解：因为D为BC边的中点，所以

故选A． 点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题．

22、与向量

=（12，5）平行的单位向量为

或

．

分析：设出单位向量的坐标，利用向量的坐标公式及向量共线的坐标形式的充要条件列出方程组，求出单位向量． 解答：解：设的单位向量为（x，y），

则据题意得 解得或 故答案为或

点评：本题考查向量共线的充要条件、向量的模的坐标公式、单位向量的定义． 23、已知

，则向量与向量的夹角是

．

分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．

解答：解：设∵

，

的夹角为θ则 ∵

∴

即

=

∴ ∵θ∈[0，π] ∴ 故答案为：

点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．

24、已知向量m与n满足|m|=1，|n|=2，且m⊥（m+n），则向量m与n的夹角为 120° ．

分析：设θ的值． 解答：解：设

的夹角为θ，∵⊥（

），∴•（

）=

+

=1+1×2cosθ=0，

的夹角为θ，由⊥（

），可得•（

）=0，解出cosθ 的值，根据θ的范围，求出

∴cosθ=﹣． 又 0≤θ＜π， ∴θ=120°， 故答案为：120°． 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出cosθ=﹣，是解题的关键． 25、已知向量、的夹角为60°，

分析：由已知中向量、的夹角为60°，

2

，则= ．

2

，我们易计算出，

2

及•的值，进而计算出

，开方后即可得到．

， ∴=

2

解答：解：∵向量、的夹角为60°，∵

2

=4，

2

=9，•=3

=4

2

+

2

﹣4•=13 ∴ 故答案为：

2

点评：本题考查的知识点是向量的模，其中根据已知计算出

26、已知||=10，||=12，且（3）•（

的值，是解答本题的关键．

）=﹣36，则、的夹角为 120° ．

分析：由已知中（3）•（）=﹣36，我们易得到•的值，再结合||=10，||=12，代入

即可得到向量、的夹角 解答：解：∵（3）•（

）=

•=﹣36， ∴•=﹣60

又∵||=10，||=12 ∴==﹣ 又∵0°≤θ≤180° ∴θ=120° 故答案为：120°

点评：求出两个向量的夹角θ时，是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握．

27、已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为 1 ． 的最大值，从而得到|

|的最大值．

分析：把已知的等式平方后解出•的解析式，再求出解答：解：∵单位向量，满足：∴k

2

（k＞0），

2

+2k+，

=3（﹣2k=

+k

）， ∴k﹣4k•+1=0，

=2﹣

≤2﹣

=1，

2

∴•=﹣2•+有最大值1，|

当且仅当 k=1 时，|的最大值为 1， 故答案为：1．

点评：本题考查向量的模的求法，向量的乘方运算以及基本不等式的应用．

28、已知向量

则实数m= ±分析：由

． ，可得

2

满足且∥，

=cosθsinθ+=0，求得sin2θ 的值； 据∥，得到 2×=

m（sinθ+cosθ ），求出m的值，即可得到 m的值． 解答：解：∵∵∴

2

，∴=cosθsinθ+=0，∴sin2θ=﹣．

=（sinθ+cosθ，），∴2×=m（sinθ+cosθ ），

2

∥，

=m（1+sin2θ），∴m=

，m=±， 故答案为：±．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直、平行的性质，求出 sin2θ=﹣，是解题的关键．

29、已知平面上的向量

、满足

，

=2，设向量

，则

的最小值是 2 ．

分析：利用勾股定理判断出PA，与PB垂直，得到它们的数量积为0；求解答：解：∴

， =3

∴≥4 ∴

的平方，求出范围． ∴

=0

故答案为2．

点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量模的性质：模的平方等于向量的平方．

30（2011•安徽）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，则与的夹角为 60° ． 分析：由已知向量，满足（+2）（﹣）•=﹣6，||=1，||=2，我们易求出•的值，代入cosθ=

，

即可求出与的夹角．

解答：解：∵（+2）•（﹣） =∴•=1 ∴cosθ=

2

﹣2

2

+• =1﹣8+• =﹣6

．

= 又∵0°≤θ≤90° ∴θ=60° 故答案为60°或者

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式cosθ=

31、已知||=1，||=2，与的夹角为

． （Ⅰ）求•；

要熟练掌握．

（Ⅱ）向量+λ与向量λ﹣的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．

分析：求出两个向量的数量积；由向量的数量积公式将两个向量所成的角为钝角转化为数量积小于0且不为反向． 解答：解：（Ⅰ）（Ⅱ）（+

=

2

=2x1x=1．

+（λ﹣1）•

）不反向．

2

）•（λ﹣）=λ﹣λ

2

=λ+λ﹣1﹣4λ=λ﹣3λ﹣1．因为+λ与向量λ﹣的

2

22

夹角为钝角的夹角为钝角，所以（验证此时

与

＜0，令λ﹣3λ﹣1＜0，得．经

点评：本题考查向量的数量积公式、考查利用向量的数量积公式解决向量的夹角问题．，以及钝角的余弦值的范围，解不等式求出参数的范围

32、已知|p|=2线之长．

分析：以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线分别为+，﹣，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论．

解答：解：以a、b为邻边平行四边行的两对角线之长可分别记为|a+b|，|a﹣b| ∵a+b=（5p+2q）+（p﹣3q）=6p﹣q．a﹣b=（5p+2q）﹣（p﹣3q）=4p+5q．… ∴|a+b|=|6p﹣q|==

|a﹣b|=|4p+5q|==

=

…

=

=15．…

，|q|=3，向量p与q的夹角为

，求以向量a=5p+2q，b=p﹣3q为邻边的平行四边形两条对角

点评：此题是个中档题．本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算公式．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力．

33，已知向量a≠e，| e |＝1，对任意t∈R，恒有|a－t e |≥|a－e |，则 （ ） (A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e) 答案：C

解法一：对于选项A，取a⊥e，如下图所示，易见t在（0，1）取值时，|a－te|<|a－e|，故A不成立.

对于选项B，取a⊥（a－e），如下图所示，易见在（0，1）内存在t使|a－te|<|a－e|，故B不成立.

对于选项D，取定a，e使（a+e）⊥（a－e），如下图所示，易见在（0，1）内，无论t取何值，|a－te|<|a－e|，

故D不成立. 综合知，C成立.

解法二：∵t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，等价于|a－te|2≥|a－e|2恒成立，即（a－te）2≥（a－e）2恒成立. 展开整理得t2－2a·et+（2a·e－1）≥0对任意t∈R均成立， 则需方程的判别式 Δ=（－2a·e）2－4（2a·e－1）≤0. 整理得（a·e）2－2（a·e）+1≤0， 即（a·e－1）2≤0.∴a·e=1. ∴e·（a－e）=e·a－e2=1－1=0. ∴e⊥（a－e）.故选C.

答案：C |a-te|≥|a-e||a-te|2≥|a-e|2a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2(a·e)2-2a·e+1≤0(a·e-1)2≤0a·e-1=0a·e-e2=0,∴e⊥(a-e)

t2-(2a·e)t+(2a·e-1)≥0,Δ= (2a·e)2-4(2a·e-1)≤0

34、非零向量分析：要求

满足||=||=|，

|，则，的夹角为 120° ．

|=|

|=|

|平方得：

，即

的夹角，只需将|

，cos＜，＞==，在根据解三角方程知识即可．

解答：解：∵||=||=|| ∴将||=||=||平方得：，

即， ∵cos＜，＞= ∴cos＜，＞=

∵＜，＞∈[0，π] ∴，的夹角为120° 故答案为120°．

点评：本题主要考查了数量积表示两个向量的夹角，解三角方程的知识，属于基础题．

35、在四边形ABCD中，若

，

，且|

|=|

|，则四边形ABCD的形状是 矩形 ．

，

，我们易根据

分析：利用平面向量加法的平行四边形法则，根据四边形ABCD中，若|

|=|

|，结合矩形判定定理，判断出四边形ABCD的形状．

，

，

|=|

解答：解：∵在四边形ABCD中，若∴向量

和

分别表示平行四边形ABCD的两条对角线， 若||，

则表示两条对角线长度相等， 根据矩形的判定定理，我们可得四边形ABCD是矩形 故答案为：矩形

点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，其中利用平行四边形法则，及矩形判定定理分析四边形ABCD的形状是解答的关键．

36，已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb与向量-b互相垂直，则实数λ的值为( )

A. B. C.2 D.-

解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，则-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-.故选D.

37、已知向量=（1，3），=（2，1），若+2与3+λ平行，则λ的值等于（ ）

A、﹣6

B、6

C、2

D、﹣2

分析：根据=（1，3），=（2，1）求出+2与3+λ然后根据平面向量共线的坐标表示代入计算即可得解． 解答：解：∵=（1，3），=（2，1） ∴+2=（5，5），3+λ=（3+2λ，9+λ） 又∵+2∥3+λ ∴5（9+λ）﹣5（3+2λ）=0 ∴λ=6 故选B

点评：本题主要考查了平面向量线性的坐标计算和平面向量共线的坐标表示．解题的关键是要牢记平面向量共线的坐标表示：x1y2﹣x2y1=0，

38，给定两个向量

A、1

B、 C、2

D、

平行，则x的值等于（ ）

分析：利用向量的先求出两个向量的坐标，再利用向量共线时坐标交叉相乘相等，列出方程，求出x的值． 解答：解：因为所以因为

，

所以（1+2x）×0=4×（1﹣2x） 解得

故选B．

点评：解决两向量共线关系时，常利用向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等． 39、已知平面向量

，

，则向量

（ ）

A、平行于x轴 B、平行于第一、三象限的角平分线 C、平行于y轴 D、平行于第二、四象限的角平分线 分析：直接利用平面向量的坐标运算法则计算，然后判断即可． 解答：解：∵

，其横坐标恒大于零，纵坐标为零，

∴向量平行于x轴， 故选A．

点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．

40、已知向量=（1，0），=（2，1）．若向量λ﹣与+3平行，则实数λ=

．

分析：利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标，然后利用向量共线的充要条件乐驰方程，求出λ的值． 解答：解：∵

，

∴﹣3×（λ﹣2）=5

故答案为

点评：解决向量共线的问题常用的方法是向量的共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等．

41、已知为单位向量，||=4，与的夹角为

，则在方向上的投影为 ﹣2 ．

，而又知||=4，

分析：由题意要求在方向上的投影，利用投影的定义可知应该为：

与的夹角为

，代入即可．

解答：解：因为利用投影的定义可知在方向上的投影为：与的夹角为

， 所以

=4

=

，又知||=4， =﹣2． 故答案为：﹣2

点评：此题考查了在方向上的投影的定义，还考查了学生的计算能力．