专题勾股定理培优版综合(终审稿)

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专题勾股定理在动态几何中的应用

一.勾股定理与对称变换

(一)动点证明题 「如图，在ZU%中，AB^AC,

(1) 若P为边％上的中点，连结\"，求证： 若P是％边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立请证明，若刁

(3) 若P是％边延长线上一点，线段＞13、AP、BP、CP之间有什么样的B P

证明你的结 论.

(-)最值问题

2•如图，F为正方形的边SB上一点，A^3 , BEf 3.如图，四边形川3〃是正方形，△川空是等边三角形, 点，将％绕点g逆时针旋转60°得到连接AM.

A

C

P为/IC上的动点，贝IJ

B

n

C P

M为对角维创人(不含B点 )上任意一

CM.

A /

(1)求证：

(2)①当〃点在何处时，/M/+CM的值最小；

②当〃点在何处时，AM+BM+m的值最小，并说明理由;

(3)当AM+BM+m的最小值为75 + 1时，求正方形的边长.

4问题：如图①，在△川％中，Q是EC边上的一点，若Z

BAX乙C2ZZMe45。，QC2.求勿的长・小明同学的解

题思路是：利用轴对称，把△SOC进行翻折，再经过推 理、

计算使问题得到解决.

(1)请你回答：图中勿的长为

(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△/!%中,

ZC=2ZDAC=30° ,DC=2,求BD和AB的长.

图①

N

N

B cC

0是％边上的一点，若ZBAD=

图②

二.勾股定理与旋转

5•阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题：如图1,在△ABC （其中ZBAC是一个可以变化的角）中，AB=2, AC=4, 以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。

.他的方法是以点B为旋转 到8' 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形給絶位策曹组合

BC.连接 扁，査令A窜在注 时,此题可解（如图 中心将△ABP逆时

2）.

■请你回答0

B-

题的方法，解决下列问题:

则A +CB/的最小值如图3,等腰RtAABC\\^AB=4：P为△ABC内部一点, ・

是 （结 果可以不化

A P是等边三角形Aft内一点，AP=3, BP=4, CP=5,求Z

简）

阳J B的度 如图, 6.

ABC 中，ZACB=90o, AC=BC,点 P 是?ABC 内一点，且

C J C

B二变式仁 2,

变式

问题：如图1, P为正方形A8CD内一点、且刃：储：Pa\\：以：3,

2：

PA、P

小娜同学的想法是：不妨设PA^ , PB丸、PC3,设； 将绕点g顺

欧

时针旋转90°得到△ BAE （如图2）\然后邂结

请你回答：图2中ZS%的度数为

A

请你參考小娜同学的思路，解决下列问题S

数.

PC=4,4求ZBPC的度数

C

是他

C

如图3, P是等边三角形力仇?内一点，已知少115° ,乙BPCn25。.

（1）在图3中画出并指明以刃、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图

痕 迹）

； （2）求岀以刃、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别

等

图1 图2 图3 7. 已知Rt△磁中，ZACb90° , C4CB、有一个圆心角为45。，半径的长等于以的扇形歼绕

点C旋转，且直线CE防分别与直线力0交于点饥N.

（1）当扇形CFF绕点C在ZMCF的内部旋转时，如图 ①,

（2）当扇形CFF绕点C旋转至图②的位置时，关系

式 MM +BN2是否仍然成立若成立，请证明；若不成

立，请说明理由•

求证：MN?=心2 +BN2;

变式 1:如图，在 RfMBC 中，ZE4C = W, AC = AB.ZDAE = 45^ 且BD = 3, CE = 4・贝IJDE = 变式2:如图，在RtZM%中，AB = AC, D、f是斜边％上两点，且ZZM&45° ,将△ADC绕 点A顺时针旋转90。后，得到△AFB,连接£几 下列结论:

AED竺厶AEF ; ABE 竺△ACD; ③BE+DC=DE;

®BE-+DC-=DE'其中正确的是（

A.②④；B.①④； C.②③；D.①③ （三）其它应用

7.在ZvlBC中，AB、BC、4€'三边的长分别为5/5\\ 廊、皿，求这个三角形的面积.

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的•边长为1）,再在 网格中画岀格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示-这样不 需求AABC的高，而借用网格就能计算出它的面积. （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 思维拓展：

（2）我们把上述求ZVIBC面积的方法叫做构图法・若△ABC三边的长分别为血八 皿、

）

皿 （rt>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为《）画出相应的

△ABC,并求出它的面积填写在横线上 探索创新：

（3）若△ABC中有两边的长分别为五八 皿\"（fl>0）,且△ABC的面积为2/,试运用构

图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为\"）中画出所有符合题意的△ABC （全 等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上

8•已知ZABg9Q°，点P为射线％上任意一点（点P与点g不重合）,分别以>42 MP为边在 Z/^%的内部作等边△>^空和△胪Q连结0£并延长交 胪于点F.

（1）如图1,若AB=2羽，点4 E、P恰好在一条直线上时，求此时矿的长（直接写出结

果）；

（2）如图2,当点，为射线力上任意一点时，猜想FF与图中的哪条线段相等（不能添加辅

助线产生新的线段），并加以证明;

(3) 若设胪=小 以\"为边的等边三角形的面积几 求y关于X的关系式.