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证券市场复杂行为分形标度分析与机会决策研究

来源：尚车旅游网

2005年第1期(总295期)

金融研究

No11,2005GeneralNo1295

证券市场复杂行为分形标度

分析与机会决策研究

曹宏铎

(北京大学光华管理学院,北京,100871)

摘　要:以中国深市为研究对象,探讨BM在证券市场的适用性。研究表明中国证券市场存在相关性,表现为分形时间序列,其行为不符合BM运动性质,而服从分数布朗运动

(FBM)。标度分析表明市场存在短周期和长周期,并给出了周期值。在行为心理学框架下对

时变Hurst指数演变形式进行了分析,分析了在市场不同阶段,时变Hurst指数揭示的市场易变行为、均值回复、长程相关性。证明了分数布朗运动的Ito微分方程-F-Ito微分方程,在此基础上给出了分数布朗运动下的Black-Scholes公式(F-Black-Scholes公式),使Black-Scholes公式成为其特例。讨论了H指数对投资决策的影响,给出此时根据H指数的投资决

策的步骤和策略。

关键词:投资行为;分数布朗运动;分形时间序列;标度指数;F-Ito微分方程;投资机会决策

中图分类号:F830　　文献标识码:A　　文章编号:1002-7246(2005)01-0138-08

一、引　　言

现代金融理论是建立在资本资产定价模型(CAPM)和有效市场假说(EMH)两大基石

上的。这些经典理论承袭经济学的分析方法与技术,其模型与范式局限在“理性”的分析框架中,忽视了对投资者实际决策行为的分析。随着金融市场上各种异常现象的累积,模型和实际的背离使得现代金融理论的理性分析范式陷入了尴尬境地。在此基础上,20世纪80年代,行为金融理论悄然兴起,并开始动摇了CAPM和EMH的权威地位。行为金融理论在博弈论和实验经济学被主流经济学接纳之际,对人类个体和群体行为研究的日益重视,促成了传统的线性研究范式向以生命为中心的非线性复杂范式的转换,使得我们看到了金融理论与实际的沟壑有了弥合的可能。

收稿日期:2004-04-12

作者简介:曹宏铎(197218-),男,河北人,北京大学光华管理学院博士后,讲师。研究方向为:复杂经济

系统决策、金融行为控制与决策、企业发展战略。

3此文受中国博士后科学基金(2003034180)支持。

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行为金融理论的发展历史可以简单概括为以下几个阶段。(1)19世纪GustaveLebon的“TheCrowd”和Mackey的“ExtraordinaryPoplularDelusionandtheMadnessOfCrowds”是两

本研究投资市场群体行为的经典之作;凯恩斯是最早强调心理预期在投资决策中作用的经济学家,他基于心理预期最早提出股市“选美竞赛”理论和基于投资者“动物精神”而产生的股市“乐车队效应”;Purrell是现代意义上金融理论的最早研究者,在其《以实验方法

(1951)论文中,开拓了应用实验将投资模型与人的心理行为特征进行投资研究的可能性》

相结合的金融新领域。后来的Paul、Slovic等人继续进行了一些人类决策过程的心理学研

究。(2)心理学行为金融阶段(从1960年至80年代中期)。这一阶段的行为金融研究以Tversky和Kahglelman为代表。Tversky研究了人类行为与投资决策模型基本假设相冲突的三个方面:风险态度、心理会计和过度自信,并将观察到的现象称为“认知偏差”。Kah2neman和Tverskv(1979)共同提出了“展望理论”,使之成为行为金融研究中的代表学说。但是当时的行为金融的研究还没有引起足够重视,一方面是因为此时EMH风行一时,另一方面是因为人们普遍认为研究人的心理、情绪对金融研究是不科学的。(3)金融学行为金融阶段(从20世纪80年代中期至今)。市场不断发现的异常现象引起金融学界的注意,大量的证据表明许多金融理论还不完善;再加上期望理论得到广泛认可和经验求证,所以这个时期的行为金融取得了突破性的进展。这个时期行为金融理论以芝加哥大学的Thaler和耶鲁大学的Shiller为代表。Thaler(1985,1999)研究了股票回报率的时间序列、投资者心理会计等问题。Shiller(1981,1984)主要研究了股票价格的异常波动、股市中的

(HerdBehavior)、“羊群效应”投机价格和流行心态的关系等。此外,Orden(1998)对于趋向

性效应(dispositioneffect)的研究,Kahneman等(1998)对反应过度和反应不足切换机制的研究都受到了广泛的关注。与上一阶段相比,这个阶段的行为金融理论研究是从投资策略上加以完善,注重把心理学研究和投资决策结合起来。

股票市场是一个自由度极大的信息系统,市场中投资者对长期信息的反应在一定程度上以因果关系出现,同时人们也不一定在任何时候都回避风险。他们可能经常追求风险,特别是当他们认为如果不赌一回就必然受损的时候;另一方面人们在设定主观概率时并不是无偏的,这样人们可能在接受信息时并不对其作出反应,而是当信息达到一定临界值时才会作出反应,这是一种非线性关系。Mandelbrot在上世纪60年代提出了分数布朗运动(FBM),其中Hurst指数对基于时间序列的市场行为分析有着重要作用。而进一步研究市场行为的标度分布对数量性地刻画市场运行内部机制是一项重要的基础工作。

二、R/S分析及股票市场标度指数实证研究及分析

赫斯特(Hurst)指数在对分数布朗运动的分形研究中具有重要作用,可以证明FBM的1G

轨道分维数DB=2-H,其轨迹分维数为DB=H-1[3]。

对于分数布朗运动,MandelbrotB1B等得到如下结果[3]:

R(h)/S(h)=(ah)H

其中a为常数,h为时间间隔。

H指数的计算可以用赫斯特(H1E1Hust)提出R/S分析法进行。

(211)

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ζ(t)},t=1,2…,对于任意一整数h≥考虑一时间序列{1定义均值序列:

ζζ(t),　　〈〉=∑h=1,2…h

ht=1

总295期

ζ(u)-〈ζx(t)表示累积离差:x(t,h)=∑(〉1≤t≤hh),　　

u=1

R(h)表示极差:R(h)=maxx(t,h)-minx(t,h),　　h=1,2…

1ΦtΦh

1h22

ζ(t)-〈ζ标准差S(h)定义为:S(h)=∑(〉,　　h=1,2…h)hi=1

则由原始数据计算R(h)/S(h),h=2,3…,然后在lnR/S-lnh坐标系中用直线拟合观

1测点,该直线斜率即为H指数的值。

下面我们借助R/S分析对深圳股票市场对数收益率时序(199211013～200116115)进行研究。研究序列为GZ周对数收Δt=1,GZΔt=5,GZΔt=10,GZΔt=20,分别对应日对数收益率、益率、双周对数收益率、月对数收益率。结果见表1与图1。

表1

GZΔt=1GZΔt=5GZΔt=10GZΔt=20

2000400200100

Ts16032168

GZ序列循环长度与H值

Tl108021610854

HTs019308019109018622018733

rTs019503019502019921019981

θT

010286011593010674010456

续表1:

HT1017078017823018711018887

rT1018754018985019246019466

θT

H016507017000016906017576

rH019362019474019434019615

θH

010205010845011024011042

010173010705010821010895

结果分析:

11图1表明四个时间序列均有H>

1,表明深圳股票市场具有分形特征。同时也表2

明深圳股票市场具有长程正相关。

21从图1可以发现在R/S分析图上有两个明显的拐点。第一个拐点发生于相当T=160天时,第二个拐点发生于相当T=1080天时,我们认为这体现了产生分形时间序列

1。另一2

的非线性动力系统对不同信息的记忆长度的不同。当T>1080天后,H基本为

方面也表明中国股票市场有一个较强短期行为模式。这一点在以往的分析中并没有说明。对GZΔt=1的分析表明HΔt=1=0165,Ts=160天(TS代表短期周期)。

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图11R/S分析结果图

31从图1与表1可以知道深圳股票市场具有一个1080天或54个月或415年的稳定

长期循环周期。并且可以发现这个周期并不随着分辨率的提高而有所变动。这一点在1,确实隐含着今天事2

1件影响到明天。这不是简单序列相关,在序列相关中信息是迅速衰减的。H>表明它

是一个更长的记忆函数:信息在很长的时间内影响未来。影响随时间衰减,但其速率比

其他文献中还没有发现类似的分析。另一方面,也表明对于H>

短期依赖要慢。因此,循环长度的度量从统计学上来讲它是序列相关的消除时间。用非线性动力学的术语说,初始条件的记忆在大约54个月之后消失,需要注意的是415年的循环是一个平均循环,即只是统计循环。因为非周期循环是非线性动力系统的特征。

Δt=5,Δt=20)的不同H值的分析发现,短期HS与H依次递增表明深从GZ(Δt=1,圳股票市场存在明显的短期投资行为。而这种短期投资行为所产生的短期依赖性经过

短周期后将消散掉。GZ序列随Δt的不同而产生不同H值,可以认为是分形随时间标度的不同产生的多重分形测度。其内部机制可以由分数布朗运动方程分析得出[6]:在相同的涨落力机制下,H指数随时间标度的增大而增大。同时,由于时间标度的增大,噪声在相应的时间尺度内消散的也多。

41运用R/S分析计算的是Hurst指数的均值,而引入时变函数(即认为Hurst指数随时间而变化,事实也是如此)利用小波分析对其时-频分析发现H指数在股指运行的不同阶段表现不同,在股指运行下降期末期H指数表现为由015附近向下运行,运行至底

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金融研究

总295期

部出现最小指,在恢复期依然小于015。表明在下降期投资群体行为特征分化,而在底部区域投资行为表现出长程负相关,即均值回复行为,表明在策略上,投资者采取的是“高抛低吸”,而在群体行为上体现的是疑虑谨慎的心理。在上涨期,H指数逐渐增大并超过015,体现出长程正相关,表明投资者信心逐渐恢复,并逐渐呈现出“群体过度自信”特征。

三、市场行为分形标度在投资机会决策中的应用

布朗运动(Brownianmotion)或称维纳过程(WienerProcesses)在现代金融数学中占有重

(投机理论),要地位。1900年法国的LouisBachelier发表了论文“théoriedélaspéculation”第一次给予Brown运动以严格的数学描述。1973年,FischerBlack和MyronS1Scholes提出

了著名的Black-Scholes公式,给出了欧式期权定价。RobertC1Merton从不同角度研究了期权定价问题[1]。以上研究均是从Brown运动的性质出发的。现代期权定价理论的发展对投资决策理论产生了巨大的影响。传统的投资决策方法多是现金流折现法,以净现值法最具代表性,其不足是没有很好地处理项目投资的时间选择问题。投资时间的选择对项目投资者是一种权力,对投资时间的选择可以使投资者避免收入减少的风险,同时进一步看清增长的潜力。Dixit和Pindyck指出[4]:投资过程基本上是不可逆过程,投资资本应被视为一种沉没资本;投资者有权延迟投资机会,投资机会类似于一种金融期权。同时Pindyck在连续时间模型下研究了投资时间选择性对投资机会价值和投资决策的影响。其研究也是基于维纳过程中变量的Markowitz性基础上的。

在现代期权定价理论中占有显著地位的Black-Scholes模型是以基于布朗运动的Ito随机微分方程为基础的。首先我们研究对于分数布朗运动接受Ito随机微分方程的形式。

〔定理1〕对于分数布朗运动,单变量Ito随机微分方程随H指数变化。(i)当H>1/2时,Ito随机微分方程不含有变量的二阶偏微分项。(ii)当H<1/2时,Ito随机微分方程含有时间参量H指数的分数阶项。

证明:令x(t)服从随机微分方程:

d(x(t))=a[x(t),t]dt+b[x(t),t]dz

其中:z为H指数的分数布朗运动;

W为x,t的连续可微函数,则ΔW的泰勒展开式为:

9W9W192W292WΔW=Δx+Δt+Δx+ΔxΔt+…

9x9t292x9x9t

将311离散化得:

Δx=a(x,t)Δt+b(x,t)υ(Δt)H

υ为从标准正态分布中任取的一随机变量,则:

Δx2=b2υ(Δx)2H+o(Δt)

22υυ)-[E(υ)]2=1知E()=1,则由E(

Δx2=b2(Δt)2H

Δt→当Δx→0,0时,有

(311)

(312)

(313)(314)(314’)

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9W9W192W2

(315)dw=dx+dt+b(dt)2H

9x9t292x

将(311)式代入(315)有:

9W9W192W29W2H

(316)dw=a+dt++bdz2b(dt)9x9t29x9x

1(1)当1,(dt)2H=o

9W9W9W则dw=a+dt+bdz。(i)得证。

9x9t9x

1(2)当02

定理1可以推广到W为n个变量,与时间t的连续可微函数情形。

在投资机会决策的期权定价中可以认为投资机会价值为W(v,c,t)。c与v分别是项目投资支出与项目经营带来的现金流现值之和。c与v的变化服从布朗运动或分数布朗运动。

dc(317)=(r-λc)dt+σcdzc

cdv(318)=(r-λv)dt+σvdzv

λλr为折现的无风险利率,假定为常数。v、c分别是在风险中性世界中v和c的期望

λ增长率低于均衡期望增长率r的部分,它们也分别被称为v和c风险的市场价值。v代

λ表竞争者进入同一生产领域或生产扩张造成投资迟后项目价值降低率。v也可以看作

投资推迟后损失的可提前获得的现金流,当项目有效寿命很长λ,v可以近似看成单位时间现金流与当时项目价值的比率。项目投资一方面投资者从项目中获得便利受益,另一方面将损失资本沉没费用,y与k分别代表便利率与沉没费率,则λc=y-k。dv与dz的瞬时相关系数为ρ,假定为常数[2]。

当dzv与dzc为维纳过程时,根据Black-Scholes模型W满足方程:

192W2292W192W229W(λ)9W9Wρσσvc+r-cc+=rW(319)vv+vc+cc+(r-λv)v2σ2σ29v9v9c29c9v9c9t

当投资机会可以推迟很长时间,而W的取值与时间t无关时,(319)变为:

192W2292W192W229W(λ)9Wρσσvc+r-cc=rWvv+vc+cc+(r-λv)v2σ2σ29v9v9c29c9v9c

边界条件为:W(v3,c3)=v3-c3

W→0,当v→0W→0,当c→+∞

(3110)

文献〔4〕,〔5〕给出了上式的一种解析解。

然而当dzv与dzc为分数布朗运动(H≠1/2)时,情况将变得复杂化。当HV>1/2且HC>1/2时,根据[定理1]及其推广知式(3110)变为

9W(9Wγ(γ-λ(3111)+γ-λ=Wv)Vc)C9v9c

当Hv<1/2或Hc<1/2时,则根据[定理1](3110)式将出现dt的分数阶项。在此仅

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金融研究

192W2292Wρ192W222Hv-1Hv+Hc-1

σ(Δ)σσ(Δ)Δt)2Hv-1+vcvct+tvvcc(22σ29v9v9c29c

总295期

讨论Hv<1/2且Hc<1/2的情况。根据Black-Scholes模型及[定理1](3110)变为

9W(λ)9W+r-cc=rW9v9c

则式(3112)不存在解析解,Black-Scholes模型失效。下面给出H指数分数布朗运动投资机会决策分析步骤:(1)运用R/S分析法分别求出V,C的H指数Hv,Hc。

+(r-λv)v

(2)当Hv=Hc=

(3112)

1,则运用Black-Scholes模型求解。211(3)当Hv>,且Hc>则运用式(3111)求解。

2211(4)若Hv<或Hc<,设当前时刻t=0,v(0)=v0,c(0)=c0,W(0)=v0-c0,则根据

实际情况有以下六种选择:

a)投资或为避免过大风险而放弃投资。

b)投资或为获得更大投资受益而等待。c)投资或为减少风险而等待。d)放弃。

e)放弃或等待受益回升。

f)放弃或为避免机会丧失而等待。如表2。

表2

H,ΔV

分数布朗运动投资机会决策方案

Hv>1/2Hc<1/2

V(0)-v(-V(0)-v(-h)<0

c)a)f)d)

Hc>1/2

V(0)-v(-h)>0

a)c)d)f)

V(0)-v(-h)<0

c)b)f)e)

Hv<1/2

Hc<1/2

V(0)-v(-h)>0

c)a)f)d)

V(0)-v(-h)<0

b)b)e)e)

W(0),ΔC

C(0)-c(-h)>0

W(0)>0

C(0)-c(-h)<0C(0)-c(-h)>0

W(0)<0

C(0)-c(-h)<0

h)>0

b)b)e)e)

11且Hc<时,则考察v(0)-v(-h)>0,c(0)-c(-h)>0且W(0)>022

时,可以投资,也可以等待以便获得更大机会价值。因为投资项目价值仍将上涨(Hv>1/2,v(0)-v(-h)>0),而投资项目支出还会下滑(Hc<1/2,c(0)-c(-h)>0)。以上所得

例如当Hv>

出的投资策略表明在分形市场的情况下Black-Scholes模型所给出的投资者风险中性的假设是不合理的。从投资策略中可以看出,一个最终的决策必须包含投资者的风险偏好。

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Abstract:Asasample,ShenzhenStockMarketisresearcheddependingonR/Sanalysis.Itindicatescorrelationex2istsinShanghaistockmarket,andthebehaviorrepresentsfractaltimeseriesandsubjectstofractaltimeseries(FBM).Thescaleanalysismakesclearthatitindicatestherearealongperiodandashortperiodinthemarket.Intheframeofbehaviorpsychology,analyzevariabilitymeanreverting,longruncorrelationbasingonvary-timeHin2dexondifferentstage.TheIto-DifferentialEquationofFBMisgiven,andfurthermoreBlack-ScholesformulaofFBM(F-Black-Scholesformula)isgiven.TheinfluenceofHindexoninvestmentdecisionmakingisdiscussed.Finally,stepsandtacticstomakeinvestmentdecisionaregivenoutonthebasisofHindex.

Keywords:investmentbehavior;fractaltimeseries;scaleindex;F-ItoDifferentialEquation;decisionmakingofinvestmentopportunity

(特约编辑:王素珍)(校对:GH)

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