2020年-2021年人教版九年级数学上期末试卷(答案)

一．选择题（共 10 小题）

1．如果关于 x 的方程（ m﹣3） A．± 3 B．3 ﹣ x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ）

8. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2

米，则此输水管道的直径是（ A．0.5 B．1 C．2 D． 4

）

9. 下列事件中，必然发生的事件是（ ）

B．小明数学考试得 99 分D．明年有 370 天

C．﹣ 3 D． 都 不 对A．明天会下雨 C．今天是星期一，明天就是星期二 2．下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）

2 （ 2 +bx+c=0 D．x 2 +2x=x ﹣1 A．（x +1） x+1） B． C． 2 =2 ax

3. 有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的

10. 如图，过反比例函数 y= （ x＞ 0）的图象上一点 A 作 AB ⊥x 轴于点 B，连接 AO，若 S△AOB =2，

则 k 的值为（ A．2 B．3 ） C．4 D． 5

是（ ）

A． x（ x﹣ 1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45

24. 抛物线 y=2（x﹣3）+1 的顶点坐标是（

二．填空题（共 10 小题）

11. 已知关于 x 的方程 x﹣4x+a=0 有两个相同的实数根，则 a 的值是 12. 13.

2）

A．（3，1） B．（3，﹣ 1） C．（﹣ 3，1） D．（﹣ 3，﹣ 1）

5．一次函数 y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax +bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能 是（

2

．

抛物线 y=2x ﹣6x+10 的顶点坐标是 2

．

．当 x 时， y＞0．

）

抛物线的图象如图，则它的函数表达式是

A． B． C．）

第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图

D． 6．下列图形中，是中心对称图形的是（

A．

B． C． D．

）

.41

7．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ ADC 的大小为（ A． 45°B．50°C． 60°D．75°

如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90°，得到△ AB ′C′，连结 BB′，若∠ 1=25°，则∠ ．

（填度数）．

． ．

C 的度数是 .51 .61 .71 .81

第７题图

如图，点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心，若∠ BAC=80 °，则∠ BOC=

如图，半圆 O 的直径 AB=2 ，弦 CD∥ AB ，∠ COD=90°，则图中阴影部分的面积为 小燕抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当她抛第 11 次时，正面向上的概率为 一个不透明的盒子中装有 3 个红球， 2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从．

．

中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 第 8 题图 第 9 题图

20．反比例函数 y= 的图象过点 P（2，6），那么 k 的值是

第 1 页（共 13 页）

三．解答题（共 8 小题） .42 △ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．

21．解方程： x2

+4x﹣

1=0． （1） 按要求作图：

① 画出△ ABC 关于原点 O 的中心对称图形△ A 1B1C1； ② 画出将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△ A 2B2C2．

（2） 回答下列问题：

① △A 1B1C1 中顶点 A 1 坐标为 ；

② 若 P（a，b）为△ ABC 边上一点，则按照（ 1）中① 作图，点 P 对应的点 P1 的坐标为

22．解方程： 2（x﹣3）2=x2﹣

9．

.32

我市“利民快餐店 ”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元（不含套餐成本）．若每份售价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每天的销售量就减少 40 份．为了便于结算，每份套餐的售价 x（元）取整数，25．如图，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点， NP 平分∠ MNQ ． 用 y（元）表示该店日纯收入． （日纯收入 =每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）

（1）求证： NQ⊥PQ； （1）

）若每份套餐售价不超过 10 元．

（2）若⊙ O 的半径 R=2， NP=

，求 NQ 的长．

① 试写出 y 与 x 的函数关系式；

② 若要使该店每天的纯收入不少于 800 元，则每份套餐的售价应不低于多少元？

（2）

）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的

售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？

第 2 页（共 13 页）

．

26．杭州某网站调查， 2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它

28．如图，已知抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C

共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列问题：

（1） ）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2） ）若杭州市约有 900 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？

（3）

）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机

取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为

．

27．如图，一次函数 y=kx +b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A﹙﹣ 2，﹣ 5﹚C﹙ 5，交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 D．

（ 1）求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx +b 的表达式； （ 2）连接 OA， OC．求△ AOC 的面积．

（1） 求点 A，B，C 的坐标； （2） 点 E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的

面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△ ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐

标；若不存在，请说明理由．

﹚， 第 3 页（共 13 页）

n

参与试题解析

【分析】 先列出 x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛 出方程为 x（x﹣1）=45．

【解答】 解：∵有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

x（ x﹣ 1）场，再根据题意列

一．选择题（共 10 小题）

1．（2016?德州校级自主招生）如果关于 x 的方程（ m﹣3）

∴共比赛场数为 x（x﹣ 1），

﹣x+3=0 是关于 x 的一元二次方

程，那么 m 的值为（ ）

A．± 3 B．3 C．﹣ 3 D．都不对

【考点】 一元二次方程的定义． 菁优网版权所有

【分析】 本题根据一元二次方程的定答，一元二次方程必须满足四个条件：

（1） ）未知数的最高次数是 2； （2） ）二次项系数不为 0； （3） ）是整式方程；

（4）

）含有一个未知数．据此即可得到 m 2﹣

7=2，m﹣ 3≠ 0，即可求得 m 的范围．

【解答】 解：由一元二次方程的定义可知 ， 解得 m=﹣3． 故选 C．

2．（2016?新都区模拟）下列方程中，关于

x 的一元二次方程是（

）

A．（x +1） 2=2（ x+1） B．

C． ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1

【考点】 一元二次方程的定义． 菁优网版权所有

【分析】 利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】 解：下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ x+1） 2=2（x+1）， 故选 A．

3．（2016?台州）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）

A． x（ x﹣ 1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45

【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程． 菁优网版权所有

∴共比赛了 45 场，

∴ x（x﹣1）=45， 故选 A．

4．（2016?湘潭）抛物线 y=2（x﹣3）2+1 的顶点坐标是（ ）

A ．（ 3，1） B．（3，﹣ 1） C．（﹣ 3， 1） D．（﹣ 3，﹣ 1） 【考点】 二次函数的性质． 菁优网版权所有

【分析】 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

【解答】 解：由 y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ 3，1）．故选： A．

5．（2016?毕节市）一次函数 y=ax+c（ a≠0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠ 0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象． 菁优网版权所有

【分析】 本题可先由一次函数 y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象相比较看是否一致．

第 4 页（共 13 页）

【解答】 解：A、一次函数 y=ax+c 与 y 轴交点应为（ 0，c），二次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点也应∴∠ABC= ∠AOC ；

为（ 0，c），图象不符合，故本选项错误；

∵∠ADC= β，∠ AOC= α；而 α+β=180°，

B、由抛物线可知， a＞ 0，由直线可知， a＜0，a 的取值矛盾，故本选项错误；

C、由抛物线可知， a＜ 0，由直线可知， a＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误；

∴ ，

D、由抛物线可知， a＜0，由直线可知， a＜0，且抛物线与直线与 y 轴的交点相同，故本选项正确．

解得： β=120°， α=60°，∠ ADC=60°，故选 D．

故选 C．

6．（2016?临夏州）下列图形中，是中心对称图形的是（

）

8．（2016?桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽

米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）

A． B． C． D．

【考点】 中心对称图形． 菁优网版权所有

【分析】 根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

A．0.5 B．1 C．2 D． 4

【解答】 解： A、是中心对称图形，故本选项正确； 【考点】 垂径定理的应用． 菁优网版权所有

B、不是中心对称图形，故本选项错误； 【分析】 根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径） ．根据垂径定理和勾股定理求解．C、不是中心对称图形，故本选项错误； 【解答】 解：设半径为 r，过 O 作 OE⊥AB 交 AB 于点 D，连接 OA、OB， D、不是中心对称图形，故本选项错误； 则 AD= AB= ×0.8=0.4 米， 故选： A．

设 OA=r ，则 OD=r﹣ DE=r﹣0.2， 7．（2016?兰州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ ADC 的大在 Rt△OAD 中，

小为（ ）

OA2=AD 2+OD2，即 r2

=0.42+（

r﹣0.2）2，解得 r=0.5 米，

故此输水管道的直径 =2r=2 ×0.5=1 米． 故选 B．

A． 45°B．50°C． 60°D．75°

【考点】 圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．

菁优网版权所有

【分析】设∠ ADC 的度数=α，∠ ABC 的度数=β，由题意可得

，求出 β即可解决问题．

9．（2016?朝阳区校级模拟）下列事件中，必然发生的事件是（ ）

A．明天会下雨 【解答】 解：设∠ ADC 的度数=α，∠ ABC 的度数=β； B．小明数学考试得 99 分∵四边形 ABCO 是平行四边形，

C．今天是星期一，明天就是星期二

第 5 页（共 13 页）

0.8

D．明年有 370 天

【考点】 随机事件． 菁优网版权所有

【分析】 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件． 【解答】 解： A、B、D 选项为不确定事件，即随机事件，故错误； 一定发生的事件只有第三个答案 C、今天是星期一，明天就是星期二． 故选 C．

【解答】 解：由题意得：△ =0， 则：（﹣ 4）2﹣4×1×a=0， 解得： a=4， 故答案为： 4．

12．（2017 秋?海宁市校级月考）抛物线 y=2x﹣6x+10 的顶点坐标是

2（ ， ） ．

10．（2016?河南）如图，过反比例函数 y= （x＞ 0）的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 AO，

【考点】 二次函数的性质． 菁优网版权所有

【分析】 用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标．

2

【解答】 解：∵ y=2x2﹣6x+10=2（x﹣ ） +

若 S△AOB =2，则 k 的值为（ ）

，

∴顶点坐标为（ ，

答案为：（

B．3 C． 4 D．5

）．故本题 ， ）．

A． 2 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数的性质． 菁优网版权所有

【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数 k 的几何意义， 即可得出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程， 解方程求出 k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定 【解答】 解：∵点 A 是反比例函数 y= 图象上一点，且 AB⊥x 轴于点 B， ∴ S△ AOB = | k| =2， 解得： k=±4．

∵反比例函数在第一象限有图象， ∴k=4． 故选 C．

k 值．

13．（ 2016?丹阳市校级模拟） 抛物线的图象如图， 则它的函数表达式是 或 x＞3 时， y＞ 0．

y=x2﹣4x+3 ．当 x ＜1，

【考点】 待定系数法求二次函数解析式． 菁优网版权所有

【分析】 观察可知抛物线的图象经过（ 1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．

y＞ 0 时，求 x 的取值范围，即求抛物线落在 x 轴上方时所对应的 x 的值． 【解答】 解：观察可知抛物线的图象经过（ 1，0），（ 3， 0），（0，3），由“交点式 ”，得抛物线解析式为 y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将（ 0，3）代入， 3=a（0﹣1）（0﹣3），解得 a=1．

二．填空题（共 10 小题）

11．（ 2016?温州校级自主招生）已知关于 x 的方程 x2﹣4x+a=0 有两个相同的实数根，则 a 的值是 4 ．

【考点】 根的判别式． 菁优网版权所有

【分析】 若一元二次方程有两个相等实数根，则根的判别式△ =b2﹣ 4ac=0，建立关于 a 的方程，求出 a 的值．

第 6 页（共 13 页）

故函数表达式为 y=x2﹣4x+3．

第 7 页（共 13 页）

由图可知当 x＜1，或 x＞ 3 时， y＞0． ∴∠ABC +∠ACB=180°﹣80°=100°， ∵点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，

∴BO，CO 分别为∠ ABC ，∠ BCA 的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=50°， ∴∠BOC=130°． 故答案为： 130°．

14．（2016?海曙区一模） 如图，将 Rt△ ABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90°，得到△ AB ′C′，连结 BB′，若∠ 1=25°，则∠ C 的度数是

70° ．

【考点】 旋转的性质． 菁优网版权所有

16．（2016?宁波）如图，半圆 O 的直径 AB=2 ，弦 CD∥ AB，∠ COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．

【分析】根据旋转的性质可得 AB=AB ′，然后判断出△ ABB ′是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角 形的性质可得∠ ABB ′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ B′C′A ，

然后根据旋转的性质可得∠ C=∠B′C′A．

【解答】 解：∵ Rt△ABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90°得到△ AB ′C′， ∴AB=AB ′，

∴△ ABB ′是等腰直角三角形， ∴∠ ABB ′=45°，

∴∠ AC ′B′=∠1+∠ABB ′=25°+45°=70°， 由旋转的性质得∠ C=∠ AC ′B′=70°．故答案为： 70°．

【考点】 扇形面积的计算． 菁优网版权所有

【分析】 由 CD∥ AB 可知，点 A、O 到直线 CD 的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出 S△ ACD =S△ OCD，进而得出 S 阴影=S 扇形 COD，根据扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】 解：∵弦 CD∥ AB， ∴S△ACD =S△OCD， ∴S 阴影=S 扇形 COD=

130°

?π?

= ．

× π×

=．故答案为：

15．（2016 秋?宜兴市期中） 如图，点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心， 若∠BAC=80 °，则∠ BOC= （填度数）．

17．（2016?福建模拟）小燕抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当她抛第 11 次时，正面向上的概率为 ．

【考点】 概率的意义． 菁优网版权所有

【分析】 求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．

【解答】 解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的， ∴正面向上的概率为 为： 第 8 页（共 13 页）

【考点】 三角形的内切圆与内心． 菁优网版权所有

【分析】 运用三角形内角和定理得出∠ ABC+∠ACB 的度数，再根据点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心，得出∠ OBC+∠ OCB=50°，从而得出答案． 【解答】 解：∵∠ BAC=80 °，

． 故答案．

18．（ 2016?娄星区一模）一个不透明的盒子中装有 3 个红球， 2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜．

【考点】 解一元二次方程 -配方法． 菁优网版权所有

【分析】 首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式， 右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【解答】 解：∵ x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（ x+2）2=5

色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 【考点】 概率公式． 菁优网版权所有

【分析】 由一个不透明的盒子中装有 3 个红球， 2 个黄球和 1 个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】 解：∵一个不透明的盒子中装有 3 个红球， 2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，

∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为： ． 故答案为： =．

∴x=﹣ 2± ∴x1=﹣2+

，x2=﹣2﹣

．

22．（2016?山西）解方程： 2（x﹣3 ） =x﹣9．

2

2

19．（2016?厦门校级一模） 反比例函数

的图象在第二、四象限，则 n 的取值范围为

n＜ 1 ． 【考点】 解一元二次方程 -因式分解法． 菁优网版权所有

【分析】 方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 为 0 转化为两个一元一次方程来求解．

【解答】 解：方程变形得： 2（x﹣3）2﹣（x +3）（x ﹣3）=0，0，两因式中至少有一个

【考点】 反比例函数的性质． 菁优网版权所有 【分析】 由于反比例函数 的图象在二、四象限内，则 n﹣1＜0，解得 n 的取值范围即可．

的图象在二、四象限内，

【解答】 解：由题意得，反比例函数 则 n﹣1＜0， 解得 n＜1． 故答案为 n＜1．

分解因式得：（x ﹣3）（2x﹣6﹣x ﹣3）=0， 解得： x1 =3，x2=9．

23．（ 2015 秋?万州区校级月考）我市 “利民快餐店 ”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐 的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 12 ．

600 元（不含套餐成本）．若每份售价不超过 10 元，每天

20．（ 2016?溧水区二模）反比例函数 y= 的图象过点 P（2，6），那么 k 的值是

可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每天的销售量就减少 40 份．为了便于结算， 每份套餐的售价 x（元）取整数，用 y（元）表示该店日纯收入． （日纯收入 =每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）

（1） 若每份套餐售价不超过 10 元．

【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征． 菁优网版权所有

【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即xy=k 即可算出 k 的值．

【解答】 解：∵反比例函数 y= 的图象过点 P（ 2， 6），

① 试写出 y 与 x 的函数关系式；

② 若要使该店每天的纯收入不少于 800 元，则每份套餐的售价应不低于多少元？

（2） 该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售

∴k=2×6=12， 故答案为： 12．

价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？ 【考点】 二次函数的应用． 菁优网版权所有

【分析】（1）① 利用每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元（不含套餐成本）， 以及每份套餐售价不超过 10 元，每天可销售 400 份得出等式求出即可；

第 9 页（共 13 页）

三．解答题（共 8 小题）

21．（ 2016?淄博）解方程： x2+4x﹣1=0．

② 由题意得 400（x﹣5）﹣ 600≥800，解出 x 的取值范围即可．

（ 2）由题意可得 y 与 x 的函数关系式， 由二次函数的性质即可得到每份套餐的售价应定为多少元， 并且此时日纯收入的钱数可计算得出． 【解答】 解：（1）① y=400（x﹣5）﹣ 600．

② 依题意得： 400（x﹣5）﹣ 600≥800，解得： x≥ 8.5， ∵ 5＜x≤ 10，且每份套餐的售价 x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于 9 元．

【考点】 作图-旋转变换． 菁优网版权所有

【分析】（1）首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；

（2）① 根据图形可直接写出坐标； ② 根据关于原点对称点的坐标特点可得答案． 【解答】 解：（1）如图所示：

（2）① 根据图形可得 A 1 坐标为（ 2，﹣ 4）； b）． ② 点 P1 的坐标为（﹣ a，﹣

故答案为：（﹣ 2，﹣ 4）；（﹣ a，﹣ b）．

（ 2）当 5＜x≤10 时，销量为 400（份），x=10， 日净收入最大为 y=400×10﹣2600=1400 （元）

当 x＞10 时， y=（x﹣5）?[ 400﹣（ x﹣ 10）× 40] ﹣600=﹣40（ x﹣ 12.5）2+1650， 又∵ x 只能为整数，∴当 x=12 或 13 时，日销售利润最大， 但为了吸引顾客，提高销量，取 x=12，

此时的日利润为：﹣ 40（ 12﹣12.5）2+1650=10 元； 答：每份套餐的售价为 12 元时，日纯收入为 10 元．

25．（2014?东台市二模）如图，已知 MN 是⊙ O 的直径，直线 PQ 与⊙ O 相切于 P 点， NP 平分∠ MNQ ．

（1） 求证： NQ⊥PQ； （2） 若⊙ O 的半径 R=2， NP=

24．（ 2016 春?高邮市校级期中）△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．

（1）

，求 NQ 的长．

）按要求作图：

① 画出△ ABC 关于原点 O 的中心对称图形△ A 1B1C1； ② 画出将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△ A 2B2C2．

（2）

）回答下列问题：

4） ； ① △A 1 B1C1 中顶点 A 1 坐标为 （2，﹣

a， ② 若 P（ a， b）为△ ABC 边上一点，则按照（ 1）中① 作图，点 P 对应的点 P1 的坐标为 （﹣ ﹣ b） ．

【考点】 切线的性质． 菁优网版权所有

【分析】（1）连结 OP，根据切线的性质由直线 PQ 与⊙ O 相切得 OP⊥PQ，再由 OP=ON 得到∠ ONP= ∠OPN，由 NP 平分∠ MNQ 得到∠ ONP=∠QNP，利用等量代换得∠ OPN=∠QNP，根据平行线的判定得 OP∥NQ，所以 NQ⊥PQ；

（2）连结 PM ，根据圆周角定理由 MN 是⊙ O 的直径得到∠ MPN=90 °，易证得 Rt△ NMP ∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出 NQ 的长． 【解答】（1）证明：连结 OP，如图，

第 10 页（共 13 页）

∴直线 PQ 与⊙O 相切， ∴OP⊥ PQ， ∵OP=ON， ∴∠ ONP=∠OPN， ∵ NP 平分∠ MNQ ， ∴∠ ONP=∠QNP， ∴∠ OPN=∠QNP， ∴OP∥ NQ， ∴ NQ⊥ PQ；

（ 2）解：连结 PM，如图， ∵ MN 是⊙ O 的直径， ∴∠ MPN=90°， ∵ NQ⊥ PQ， ∴∠ PQN=90°， 而∠ MNP= ∠QNP，

∴ Rt△NMP ∽Rt△NPQ，

∴ = ，即 = ，

∴ NQ=3．

26．（ 2016?吴兴区模拟）杭州某网站调查， 2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列问题：

（1） 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2） 若杭州市约有 900 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？

（3） 在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽

取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．

【考点】 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

菁优网版权所有

【分析】（1）根据关注消费的人数是 420 人，所占的比例式是 30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；

（2） 利用总人数乘以对应的百分比即可； （3） 利用列举法即可求解即可．

【解答】 解：（1）调查的总人数是： 420÷30%=1400（人），关注教育的人数是： 1400×25%=350（人）．

；

（2）900×10%=90 万人； （3）画树形图得：

第 11 页（共 13 页）

（2）在 y=x﹣3 中，令 x=0，解得： y=﹣3． 则 B 的坐标是（ 0，﹣ 3）．

=∴OB=3，

∵点 A 的横坐标是﹣ 2， C 的横坐标是 5．

∴S△AOC=S△AOB +S△BOC= OB×2×5+ × OB× 5= ×3×7=

．

则 P（抽取的两人恰好是甲和乙） = ． 故答案为： ．

27．（2016 春?洛江区期末）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A﹙﹣

2，﹣ 5﹚ C﹙ 5， n﹚，交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 D．

（1）

）求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx +b 的表达式；

（2）

）连接 OA， OC．求△ AOC 的面积．

【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题． 菁优网版权所有

【分析】（1）把 A（﹣ 2，﹣ 5）代入 y= 求得 m 的值，然后求得

直线的解析式；

（ 2）首先求得 C 的坐标，根据 S△ AOC=S△AOB +S△ BOC 即可求解． 【解答】 解：（1）把 A（﹣ 2，﹣ 5）代入 y= 得：﹣ 5=

，

解得： m=10，

则反比例函数的解析式是： y= ， 把 x=5 代入，得： y= =2，

则 C 的坐标是（ 5， 2）．

根据题意得： ， 解得： ，

则一次函数的解析式是： y=x﹣3．

28．（2016?滨州）如图，已知抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C

（1） 求点 A，B，C 的坐标；

（2） 点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的

面积；

（3） 此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△ ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

C 的坐标，利用待定系数法求得

【考点】 二次函数综合题． 菁优网版权所有 【分析】（1）分别令 y=0，x=0，即可解决问题．

（2） 由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，分 E 点为抛物线上的普通点和顶点 2 种情况讨论， 即可求出平行四边形的面积．

（3） 分 A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．

【解答】 解：（1）令 y=0 得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0， x=﹣4 或 2，

∴点 A 坐标（ 2， 0），点 B 坐标（﹣ 4，0），令 x=0，得 y=2，∴点 C 坐标（ 0， 2）．

（2） 由图象 ① AB 为平行四边形的边时，

∵AB=EF=6 ，对称轴 x=﹣ 1，

第 12 页（共 13 页）

∴点 E 的横坐标为﹣ 7 或 5， ∴点 E 坐标（﹣ 7，﹣

）或（ 5，﹣

），此时点 F（﹣ 1，﹣

．

），

∴以 A， B， E，F 为顶点的平行四边形的面积 =6× =

② 当点 E 在抛物线顶点时，点 E（﹣ 1， ），设对称轴与 x 轴交点为 M，令 EM 与 FM 相等，则四边形 AEBF 是菱形，此时以 A， B，E，F 为顶点的平行四边形的面积 = ×6× = ．

（3） ）如图所示， ① 当 C 为等腰三角形的顶角的顶点时， CM 1=CA ，CM 2=CA，作在 RT△CM 1N 中， CN=

=

，

∴点 M 1 坐标（﹣ 1，2+

），点 M 2 坐标（﹣ 1，2﹣

）．

② 当 M 3 为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线 AC 解析式为 y=﹣ x+2， 线段 AC 的垂直平分线为 y=x， ∴点 M 3 坐标为（﹣ 1，﹣ 1）．

③ 当点 A 为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在． 综上所述点 M 坐标为（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1，2+

）或（﹣ 1， 2﹣

）．

M 1N⊥OC 于 N， 第 13 页（共 13 页）

第 14 页（共 13 页）