向量试题

1．若O , E , F是不共线的任意三点，则下列各式中成立的是（ ） A、 EF  OF  OE B、 EF  OF  OE C、 EF  OF  OE D、 EF  OF  OE 2．如图所示，向量OA a OB b OC c A、B、C在一条直线上，且AC 3CB ，则（ ） A、 c 12 a 32 b

A B O C B、 c  a 2 b C、 c 32 a 12 b

D、 c  a 2 b

3．若A(1 ,1) B(1 ,3) C(x ,5)共线，且 AB  BC 则等于_______ A、1 B、2 C、3 D、4 4.与向量 a (3 ,4)垂直的单位向量是（ ）

A、( ,) B、( ,)

533435344343C、( , )或( ,) D、( ,)或( ,)

555555555．已知 b 3， a 在 b 方向上的投影是A、3 B、

9232，则 a  b 是（ ）

12 C、2 D、

6．已知 a ( ,2) b (3 ,5)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是______________________。

7、（10分）已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120。

求（1）(2ab)(a3b). （2）|ab|

p2(2 ,6)若p1p2p p2 ，p在直线p1p2上，8．（12分）已知p1(4 ,3) ， 求p的坐标。

9、（12分）如图：梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，M、N是DC、BA的中点，设ADa，

ABb，试以a、b为基底表示BC、MN。

D M C

A

N B

5210、（12分）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)，|b|且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角。

1-5BABDB 6、10365且

12)3

27、解： a  b  a b cos12023(2 ⑴(2 a  b ) ( a 3 b )2 a 5 a  b 3 b 8152734 ┄┄┄┄┄5分 ⑵ a  b  469(ab)2a2abb22

19 ┄┄┄┄┄10分

8、解：由条件得 p1p2pp2 或 p1p2pp2

⑴当p1p2pp2 时 2

42(2)x012 设p(x . y) 则

y326312∴p(0 ,3) ----------5分

⑵当p1p2pp2 时 2

4(2)(2)x81(2) 则 ∴p(8 , 15) -----10分

3(2)6y151(2)p点的坐标为(0 ,3)或（-8，15） -----------12分

9、解：∵AB∥CD 且AB2CD

∴DC12AB12 b -------------2分

又 AD a

∴ACADDC a  又 BCACAB ∴BC a 12 b  b  a 12 b ------------9分

12 b ------------6分

过D作DE∥MN，则E为AN中点 ∴AE14 b

14 b  a ------------12分

∴MNDEAEAD10、解：⑴∵( a 2 b )(2 a  b )

∴( a 2 b ) (2 a b)0 ------------2分 ∴2 a 3 a  b 2 b 0 ------------4分 a  a 22225 b 5222 b  -------6分

∴ a  b  -----------8分

52521 -----------10分

cos a  b a b 5 而 [0 , ] ∴ -----------12分 1．化简

A．

B．0

C．

=（ ） D．

1考点：向量加减混合运算及其几何意义；零向量。 专题：计算题。

分析：根据向量加法的三角形法则，我们对几个向量进行运算后，即可得到答案．

解答：解：∵故选B

2．若向量=（1，1），=（1，﹣1），则= A．（1，2） B．（2，﹣1） 2考点：平面向量的坐标运算。 专题：计算题。

﹣

=．

D．（0.5，﹣1.5）

．

C．（﹣1，2）

分析：由已知中向量=（1，1），=（1，﹣1），根据向量加法的坐标运算法则，及数乘向量的坐标运算法则，代入计算可得答案． 解答：解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1）， ∴=

﹣

=（1，1）﹣（1，﹣1） =（﹣，+） =（﹣1，2）

故选C

点评：本题考查的知识点是向量加法的坐标运算法则，及数乘向量的坐标运算法则，是对向量线性运算公式的直接考查，属基础题 3．已知

，则

等于（ ）

A．23 B．35 C． D．

3考点：平面向量数量积的运算；向量的模。

专题：计算题。

分析：利用向量模的平方等于向量的平方，利用向量的运算法则展开求出向量的模． 解答：解：（∴故选C．

点评：本题考查向量的模的性质：向量的模平方等于向量的平方，并利用此性质求向量的模． 4．（2007•北京）已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是 󰀀 ﹣3 ．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量数乘的运算及其几何意义。 专题：计算题。

=

）2=

2

+2+

2

=4+2×（﹣3）+25=23

分析：由向量=（2，4），=（1，1），我们易求出向量若向量+λ的坐标，再根据⊥（+λ），则•（+λ）=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于λ的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：+λ=（2，4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）． ∵⊥（+λ）， ∴•（+λ）=0，

即（1，1）•（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0， ∴λ=﹣3． 故答案：﹣3

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，及向量数乘的运算，解答的关键是求出各向量的坐标，再根据两个向量垂直，对应相乘和为零，构造方程． 5．若=（1，2），=（﹣3，2），k为何值时： （1）（k+）⊥（﹣3）； （2）（k+）∥（﹣3）？

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示。 专题：计算题。

分析：（1）由=（1，2），=（﹣3，2），且（k+）⊥（﹣3），知（k+）•（﹣3）=（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0，由此能求出k． （2）由=（1，2），=（﹣3，2），且（k+）∥（﹣3），能得到能求出k的值．

解答：解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2）， 且（k+）⊥（﹣3），

∴（k+）•（﹣3）=（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4） =10（k﹣3）﹣4（2k+2） =10k﹣30﹣8k﹣8 =2k﹣38 =0，

解得k=19．

（2）∵=（1，2），=（﹣3，2）， ∴k+=（k﹣3，2k+2），

，由此

（﹣3）=（10，﹣4）． ∵（k+）∥（﹣3）， ∴解得

， ．

点评：本题考查数量积数量积判断两平面向量垂直关系的应用和利用向量的坐标形式判断两平面向量平行的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 6．设向量

．

（Ⅰ）求f（x）最大值和此时相应的x的值； （Ⅱ）求使不等式

考点：平面向量的综合题。 专题：计算题。

分析：由向量的数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式可得

（I）当2x+（II）由性质可求 解答：解：∵

=sin2x+sinxcosx+2cos2x=1+=∴

（I）当2x+（II）由∴sin（2x+∴

）≥0

=

可得

即

时，f（x）取最大值

=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）

=

可得

函数有最大值，可求

即sin（2x+

）≥0，结合正弦函数的

成立的x的取值集合．

，函数

∴

∴不等式的解集是{x|

，k∈Z

，k∈Z}

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力． 7．（1）已知（2）设两个非零向量

和

不共线．如果

=

+

，

=

，求

的值； ，

=

，

求证：A、B、D三点共线． 考点：平面向量的综合题。 专题：综合题。 分析：（1）由

（2）要证A、B、D三点共线，只要证明解答：（1）解：∵∴∴•=﹣6 （2）证明：∵∴

与

有且仅有一个公共点B

=

=﹣3×9+4×16﹣4

=61

=与

共线即可

，把已知代入可求•

∴A，B，D三点共线 点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及性质的应用，向量共线定理的应用及向量共线与点共线的相互转换． 8．已知向量=（cos（Ⅰ）求•及|+|；

（Ⅱ）若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值为﹣，且λ∈[0，+∞]，求λ的值． 考点：平面向量数量积的运算；函数最值的应用；向量的模。 专题：计算题；分类讨论。

分析：（Ⅰ）利用坐标运算求数量积，再用两角差的余弦直求解；先求向量和，再求和的模化简即可．

（Ⅱ）先表示出f（x），然后化简，对λ分类[0，1]和（1，+∞）根据最大值，确定λ的值． 解答：解：（Ⅰ）

=cos2x（2分）

，sin

），=（cos，﹣sin），且x∈[0，

]．

=

=（5分）

因为x∈（Ⅱ）f（x）=

，所以cosx≥0所以|﹣2 λ|

|=2cosx（6分）

|=cos2x﹣4 λcosx=2cos2x﹣4 λcosx﹣1

=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2 λ2（8分）

令t=cosx∈[0，1]，则f（x）=g（t）=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2 ①当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，f（x）取得最小值， g（ λ）=﹣1﹣2 λ即﹣1﹣2 λ=

2

2

⇒λ=（10分）

②当 λ＞1时，当且仅当t=1时，f（x）取得最小值，g（1）=1﹣4λ 即1﹣4λ=

⇒

＜1不合题意，舍去．（12分）

综上，所以 λ=（13分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，向量的模，函数最值，是中档题．