最全面等差数列的性质、求和重点知识点及训练2021

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等差数列的性质、求和知识点及训练

重点：掌握等差数列的通项公式、 求和公式以及等差中项的求法

难点 : 对等差数列的综合考察

一知识梳理

1. 定义： an

an 1

d （ d为常数）2）

； n

2．等差数列通项公式：

an a1 (n 1)d dn a1 d (n N )

*

， 首项 : a1 ，公差 :d ，末项 : an

推广： an am

(n m) d ．

从而 d

an am

n m

；

3．等差中项

（ 1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么

A 叫做 a 与 b 的等差中项．即：

A

a b 2

或

2 A a b

（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 an

是 等 差 数 列

2an

an-1

an 1 (n 2)

2 an 1 an an 2

4．等差数列的前 n 项和公式： s n(a1 an )

n(n 1) 1

n

2

na 1

d d 2

2 n

2

(a 1

2

d )n An

2

Bn

（其中 A、 B是常（当 d≠ 0时， Sn是关于 n的二次式且常数项0）

数）

为

5． 等差数列的判定方法

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（ 1）定义法：若 an an 1 d 或 an 1 an

d ( 常数 n N )

an 是等差数列．

（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 an

是 等 差 数 列

2an

an-1

an 1 (n 2)

2 an 1 an an 2 ．

（ 3）数列 an 是等差数列

an

kn b （其中 k, b 是常数）。

（ 4）数列 an 是等差数列

Sn

An

2

Bn , （其中 A、B是常

数）。

6． 等差数列的证明方法

定义法：若 an an 1 d 或 an 1 an d ( 常数 n N ) an 是等差数列．

7. 提醒 ：（ 1）等差数列的通项公式及前

n 和公式中， 涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an

及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其

余 2 个，即知 3 求 2。

（ 2）通常把题中条件转化成只含

a1 和 d 的等式！

8. 等差数列的性质： （1）若公差 d 0 ，则为递增等差数列， 若公差 d 0 ，则为递减等差数列， 若公差 d 0 ，则为常数列。 （ 2 ） 当 m

n

p q时 , 则 am an

a p aq ， 特 别 地 ， 当 m n 2 p时 ， 则

有

am an 2ap .

(3) 若 { an } 是等差数列，则 Sn , S2n

Sn , S3 n S2n ， 也成等差数列 （公差为 md ）

S3 m

图示： a1 a2 a3

am am 1

a2 m

a2m 1

a3 m

Sm

S2 m Sm

S3 m S2 m

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（4）若等差数列 { an } 、 { bn} 的前 n 和分别为 AAn

n 、 Bn ，且

Bf (n) ，

n

则 an

(2 n 1)an A2n 1 bn

(2n 1)bn

Bf (2n 1).

2n 1

（5）若

an 、 bn 为等差数列，则 an bn 为等差数列

(6) 求 Sn 的最值

法一：直接利用二次函数的对称性： 由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函

数，

故 n取离二次函数对称轴最近的整数Sn 取最大值（或最小值） 。若 Sp = Sq 则其对称轴 时， 为 n

p q 2

法二：①“首正”的递减等差数列中，前

n 项和的最大值是所有非负项之和

即当 a1

0， d 0， 由

an0

a 时的 n 值．

n 1

0

可得 Sn 达到 最大值②“首负”的递增等差数列中，前

n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 a1

0， d 0，由

an 0

可得 a 最小值 时的 n 值．

n 1 0

Sn 达到或求 an 中正负分界项

（ 7）设数列 an 是等差数列， S是奇数项的和， S偶 是偶数项的

Sn 是前 n 项的

和，

和，则：

1. 当项数为偶数 2n 时， S

S

nd ，其中 n 为 总项数的一半， d 为公差；

2、在等差数列 an 中，若共有奇数项

2n 1项，

则

S2 n 1

S

S

(2 n 1) an 1 S( n 1)an 1 S

n 1 奇

偶

a

n 1

S偶 nan 奇1

n

SSS

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

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①基本量法：即运用条件转化为关于

a1 和 d (q) 的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

【类型 1】求等差数列通项

【例 1】 .等差数列 an

中，

a5 10,a12 31，求 a1,d, an .

【变式 1】 四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项的积为 40，求这四个数 .

【例 2】 等差数列 an 中， a3

a8 a13 12 ， a3 a8 a13 24，求通项公式 an .

【变式 1】 等差数列

an

中， a5 10, a15

25, 则 a25 的值是

．

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【变式 2】 已知等差数列 { an } 中． a6

a10 18 a3 1 ，则 a13

．

【变式 3】 等差数列

an

中，a1 a3 a5 105 ，a2 a4 a6 99 ，则 a20

．【变式 4】 若等差数列

an 的前 5 项和 S5

25 ，且 a2

3 ，则 a7

．

【例 3】 已知数列 { a(n 1)an n } 中， a1 =1， an 1

，则数列

{ an

2n

} 的通项公式为

【变式 1】 已知数列 { an } 中， a1 =2, a2 =3，其前 n

项和 Sn 满足 Sn

1

Sn 1

2 Sn 1 (n

≥2， n∈ N*

) ，则数列 { a n } 的通项公式为

( )

A ． an =n

B

． an = n

2

C

． an = n-l

D

． an =n+l

【例 4】在数列 an 和数列 bn 中， Sn 为数列 an 的前 n 项和，且满足 S2

n

n

2n ，数欢迎下载 第 5 页，共 12 页

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列 bn

的前 n 项和 Tn 满足 3Tn

nbn 1 ，且 b1 1

（1）求数列 an 的通项公式

（2）求数列 bn 的通项公式

【例 5】数列 a5an

n 中， a1

1,an 1

a，求数列 an 的通项公式；

n 5

【类型 2】求等差数列前 n 项和

【例 1 已知

an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和， n N * ，若 a 3 16, S 20

20, 则 S 10 的值

为

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【变式 1】 如果 Sn an

2

b，c 为常数，则 c bn c 是一个等差数列的前 n 项和，其中 a，

的值为

．

【例 2 】（ 10 年全国文 6） 等差数列

an

中， a3 a4 a5 12 ，那么 an 的前 7 项和

S7

．

【 变式 1】已知数列 { an } 、{ bn } 都是公差为 1 的等差数列， 其首项分别为 a1 、b1 ，且 a1 b1 5， a1 , b1

N *

．设

c n a bn （

n N *

），则数列 { cn } 的前 10 项和等于 （ ）

A．55

B．70

C．85

D．100

【例 3】

a1 n 通项公式为 an

n

2

，则 n

Sn

．

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【变式 1】

a1 n 通项公式为 an

则

n 1

n

Sn

．a1 n 通项公式为 an

，若其前 n 项和为 10，则项数 n 为

．

n

n 1

【例 4】 等差数列

an

中， an

2 n 49 ，前 n 项和记为 Sn ，求 Sn 取最小值时 n 的值 .

【变式 】差数列

an

中， an

21 3n ，则 n 时 Sn 有最大值；

【类型 3】等差数列性质的应用

【例 1】（ 1）等差数列

an 中， Sm

30, S2 m 100, 求 S3 m 的值

. （ 2）等差数列

an

中， S4

1,S8

4 ，求 a17 a18

a19 a20 的值 .

【例 2】（ 2009 年辽宁理科 14） 等差数列 an

中， an 的前 n 项和为 Sn ，如果 S3 9, S6

36 ，

则 a7

a8 a9

．

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【变式 1】（2009 年辽宁文） 等差数列 an

中， an 的前 n 项和为 Sn ， S3 6, S6 24, ，

则 a9

．

【变式 2】已知等差数列

an

中， a1 a2 a3 12, a4 a5

a6 18, 则

a7 a8 a9

．

【变式 3】已知数列

an

和

bn 的前 n 项和分别为 An , Bn ，且

An

7 n+1 B, 求

a11 的值 .

n

4n 27

b11

【例 3】 等差数列 { an } 的前 n 项和记为 Sn ，若 a2

a6 a10 为一个确定的常数，则下列

各数中一定是常数的是（ ）

C． S6 B ． S11

C． S12 D ． S13

【变式 1】 等差数列 an 中， a1

12,a9

24, 则 S9

（ ）

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C． -36 B ． 48 C． D． 72

【变式 2】 等差数列 { an } 中，已知前 15 项的和 S15

90 ，则 a 8 等于（

）

A ．

45 2

B． 12 C．

45 4

D． 6

【变式 3】 在等差数列 { an } 中，若 S9

9, 则 a4 a6

．

【类型 4】证明数列是等差数列

【例 1】 知数列

an

的前 n 项和为 Sn 2 + 1

n

2

n ，求通项公式 an 并判断是否为等差数列

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【例 2】在数列 an 中， a1

1, an 1 2an

2 ,设 b

n

an , 证明 bn 是等差数列．

n2

n 1

【例 3】 已知数列 an

的前 n 项和为 Sn ，且满足 an 2 Sn Sn 1

0( n 2) ，求证：数列 1

是等差数列；求数列

San 的通项公式。

n

【变式 1】 数列 a5an

n 中， a1

1,an 1

是否为等差数列 a

1 .

n 5

，判断an

【例 4】 数列

a n

中， an

4

4

a， b1

n

；n 1

an 2

1） 求证

bn 是等差数列；

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1

2

，

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2） 求

an

的通项公式 .

【变式 1】已知数列

an

满足 a1

5 2

， an

4an 1 1 a2

n 2

（1） 设 b1 n

，求证an 1

（2） 求

an

通项；

n 1

bn 为等差数列；

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