2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试

数学（文科）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若

17iabi(a,bR),i是虚数单位，则乘积ab的值是 2iB.3 C.3

D.5

A.15

2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是 函数f(x)的极值点，因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以，x0是函 数f(x)x3的极值点.以上推理中

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 3．给出下列命题

(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足zizi2的复数z的轨迹是椭圆; (3)若mZ,i1,则ii2mm1im2im30; 其中正确命题的序号是( )

A.(1) B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)

4．不等式352x9的解集为（ ）

A．[2,1)[4,7) B．(2,1](4,7] C．(2,1][4,7) D．(2,1][4,7) 5．已知函数f(x)asinx，且limh0f(1h)f(1)2，则a的值为

hA.2 B.2 C.2 D.2 6．设a,b,c(,0),则a111,b,c（ ） bca A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 7．在一次实验中，测得(x,y)的四组值分别为1,2，2,3，3,4，4,5，则y与x的

线性回归方程可能是（ ）

yx1 A．yx2 C．y2x1 B．yx1 D．1

8. 设a＞b＞0，则a211的最小值是（） abaabA．1 B．2 C．3 D．4 9．若13i,则等于421( ) 22A．1 B．13i C．33i D．0 10.若x1，则函数yx116x的最小值为（ ） 2xx11a1b1cA．16 B．8 C．4 D．非上述情况

11.设a,b,cR，且abc1，若M(1)(1)(1)，则必有（ ）

11C．1M8 D．0M M188

12.已知定义在R上的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且

A．M8 B．

yf(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为

A.(,0) B.(0,) C.(,e) D.(e,)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若复数(m5m6)(m3m)i是纯虚数，则实数m的值是．

14.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，AC和AD是⊙O的两条弦，

2244AC=2,AD=3,则∠CAD的弧度数为.

ttxee15.参数方程(t为参数)的普通方程为_____. tty2(ee)a2b216.在RtABC中，若C90,ACb,BCa，则ABC外接圆半径r．运

20用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c，则其外接球的半径

R=．

2

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A,B,C,D四点在同一圆上，

BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

（Ⅰ）若

EC1ED1DC的值； ,，求

EB3EA2AB2（Ⅱ）若EFFAFB，证明：EF//CD．

18.(本小题满分l2分)

某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在的学生可取得A等（优秀），在七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．

（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数； （Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？ 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 b= d=34 n=100 ．

0.10 0.05 0.01 男生 a=12 女生 c= 合计 附：

P（k≥k0） 0.15 k0

2.072 22.706 3.841 6.635 3

19．(本小题满分l2分)设函数f(x)|2x1||x4|． （1）解不等式f(x)0；

（2）若f(x)3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

20．(本小题满分l2分)设函数f(x)axbxc且f(1)（1）试用反证法证明：a0 （2）证明：3

21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M,N，切点为T，求|TM||TN|的取值范围．

22．(本小题满分l2分)已知函数f(x)2a，3a2c2b. 2b3. a41alnx(a0,aR) x（Ⅰ）若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围．

4

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试

数学（文科）试卷

答题时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若

17iabi(a,bR),i是虚数单位，则乘积ab的值是 2iB.3 C.3

D.5

C

A.15

2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是 函数f(x)的极值点，因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以，x0是函 数f(x)x3的极值点.以上推理中 A

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 3．给出下列命题

(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足zizi2的复数z的轨迹是椭圆; (3)若mZ,i1,则ii2mm1im2im30; 其中正确命题的序号是( )C

A.(1) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(4) 4．不等式352x9的解集为（ ）D

A．[2,1)[4,7) B．(2,1](4,7] C．(2,1][4,7) D．(2,1][4,7) 5．已知函数f(x)asinx，且limh0f(1h)f(1)2，则a的值为 B

hA.2 B.2 C.2 D.2 6．设a,b,c(,0),则a111,b,c（ ）c bca A．都不大于2 B．都不小于2

C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

7．在一次实验中，测得(x,y)的四组值分别为1,2，2,3，3,4，4,5，则y与x的

线性回归方程可能是

（ ）

yx1 A．yx2 C．y2x1 B．yx1 D．5

解析：A 线性回归直线一定过样本中心点2.5,3.5，故选A． 8. 设a＞b＞0，则a211的最小值是 abaab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 9．若13i,则等于421( )D 22A．1 B．13i C．33i D．0 10.若x1，则函数yx116x的最小值为（ ）B xx211a1b1cA．16 B．8 C．4 D．非上述情况

11.设a,b,cR，且abc1，若M(1)(1)(1)，则必有（ ）A A．M8 B．

12.已知定义在R上的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且

11M1C．1M8D．0M 88yf(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为 B

A.(,0) B.(0,) C.(,e) D.(e,)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若复数(m5m6)(m3m)i是纯虚数，则实数m的值是．2 14.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，AC和AD是⊙O的两条弦，

2244AC=2,AD=3,则∠CAD的弧度数为.15.

5 12ttx2y2xee1(x2) 15.参数方程(t为参数)的普通方程为_____.tt416y2(ee)a2b216.在RtABC中，若C90,ACb,BCa，则ABC外接圆半径r．运

20用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c，则其外接球的半径

6

a2b2c2 R=．2

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （Ⅰ）若

2

，求的值；

（Ⅱ）若EF=FA•FB，证明：EF∥CD．

【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B ∴△EDC∽△EBA，可得∴∴

2

，

，即

（Ⅱ）∵EF=FA•FB， ∴

，

又∵∠EFA=∠BFE，

∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF， 又∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠EDC=∠EBF， ∴∠FEA=∠EDC， ∴EF∥CD．

7

18(本小题满分l2分)

某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在的学生可取得A等（优秀），在七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．

（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数； （Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？ 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 b= d=34 n=100 ．

0.10 0.05 0.01 男生 a=12 女生 c= 合计 附：

P（k≥k0） 0.15 k0 2.072 22.706 3.841 6.635

解：（Ⅰ） 抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×=2．„（2分）

据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为

（人）．„（4分）

8

（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下： 男生 女生 合计 „（10分） ∵

，所以，没有90%的把握认为“该校

数学成绩优秀 a=12 c=6 18 数学成绩不优秀 b=48 d=34 82 合计 60 40 n=100 高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．„（12分） 19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|． （1）解不等式f（x）＞0；

（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立． 当立． 当

时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立

时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成

综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．

（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，

所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．

20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b． （1）试用反证法证明：a＞0 （2）证明：﹣3＜

．

2

【解答】证明：（1）假设a≤0， ∵3a＞2c＞2b，

9

∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0， 将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0， ∵f（1）=﹣， ∴3a+2c+2b=0， 这与3a+2c+2b＜0矛盾， ∴假设不成立， ∴a＞0；

（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b ∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b， ∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b； ∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．

21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2． （Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围． 【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ=1，化为x+y=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x+（y﹣1）=1，展开为x+y﹣2y=0．

则曲线C2的极坐标方程为ρ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ． （II）设T（cosθ，sinθ），θ∈． 切线的参数方程为：θ=0，

∴t1t2=1﹣2sinθ，

∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈， ∴|TM|•|TN|的取值范围是．

22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R） （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

（t为参数），代入C2的方程化为：t+2t+1﹣2sin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

10

【解答】解：（I）因为，（2分）

当a=1，，

令f'（x）=0，得x=1，（3分）

又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x f'（x） f（x） （0，1） ﹣ ↘ 1 0 极小值 （1，+∞） + ↗ 所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）

f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分） （II）因为

，且a≠0，

令f'（x）=0，得到，

若在区间上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，

其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可．（7分） （1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立， 所以，f（x）在区间上单调递减， 故f（x）在区间上的最小值为由

，得

，即

， （9分）

（2）当a＞0时， ①若

，则f'（x）≤0对x∈成立，

所以f（x）在区间上单调递减， 所以，f（x）在区间上的最小值为

显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立（11分） ②若x ，即1＞

时，则有

，

11

f'（x） f（x） ﹣ ↘ 0 极小值 + ↗ ，

，

所以f（x）在区间上的最小值为由

得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去； 当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在递增，

可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立． 综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分） „

12