初中数学：实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)之欧阳文创编

初中数学专项训练：

实际问题与二次函数

时间：2021.03.12 创作：欧阳文 一、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、

如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）

设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）

当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。

解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

2yx(18x)x18x； 根据题意，得：

x＞0,0＜x＜18又∵18x＞0

（2）∵

最大值，

即

yx(18x)x218x中，a= -1＜0，∴y

有

当

xb1892a2(1)时，

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ymax4acb20182814a4(1)

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81

平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、

如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡

场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式

解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽

50x为（2）（米），

yx(50x1)x225x22；

根据题意，得：

x＞0,0＜x＜5050x＞0又∵2

∵

值，

yx(50x11)x225x22中，a=2＜0，∴y

有最大

xb2a2512()225即当时，

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ymax4acb2025262514a24()2

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大

625面积为2平方米。

点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如

何变化？请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

x20x2()2()1744由题意得：

2

2

解得：x116,x24

4时，20-x=16

当x116时，20-x=4；当x2答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 （2）不能

理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的

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204x(5x)边长为4cm，围成两个正方形的面积为

ycm，

2

222yx(5x)2x10x25， 根据题意，得：

222yx(5x)2x10x25中，a= 2＞0，∴y∵

有最

小值，

即

ymin当

xb1052a222时，

4acb24225102254a4222

=12.5＞12,故两个正方形面积

的和不可能是12cm.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y. (1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是.

图（1） 图（2）

y12x2.

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【解析】

试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax，利用待定系数法求解.

试题解析：设此函数解析式为：yax2，a2

0；

那么（2，-2）应在此函数解析式上． 则24a 即得那么

a12， 12x2．

y考点：根据实际问题列二次函数关系式. 练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是

yx22x.请回答下列问题：

(1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

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2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分. ①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? 三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市大力扶持大学生创业．李明在的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）

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答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可． 试题解析：

（

1）由题意得出：

，

Wx20yx2010x50010x2700x10000a10<0， b352a，

∵

∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：10x2700x100002000，

解这个方程得：x1=30，x2=40．

∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3）∵a10<0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000.

∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000. 设成本为

P（元），由题意，得：

，

P2010x500200x10000∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小． ∴当x=32时，P最小=3600．

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答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

考点：二次函数的应用．

练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．

（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为；

（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元 一系列“三农”优惠，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80. 设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

2．为了落实的指示精神，地方出台了

3．某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信

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息：

信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系

yax2bx.当x1时，y1.4；当x3时，y3.6．

信息2：销售B种产品所获利润y (万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y0.3x．

根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式； (2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关：由协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由承担．李明按照相关投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y10x500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25

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元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么为他承担的总差价最少为多少元？

5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；

（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：

x y 3000 100 3200 96 3500 90 4000 80 （1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式

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填表:

租出的车辆数

租出每辆车的月收益

未租出的车辆数

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．

初中数学专项训练：实际问题与二次函数

参

一、1

（1）y=2x-2ax+a (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.

【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF，即可得到S与x之间的函数关系式；

（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD= a米． ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF与△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

2

2

2

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∴△AEF≌△DHE（AAS），

∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

∴y=EF=AE+AF=x+（a-x）=2x-2ax+ a， 即y=2x-2ax+ a；

a2a222

（2）∵y=2x-2ax+ a=2（x-2）+4ax=2时，S

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，

∴当有最大值．

故当点E是AB的中点时，面积最大．

二、练习

1

955（1）4 （2）4 （3）2

【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案． （2）通过抛物线的顶点坐标求得

（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式

5得：y=4，即柱子

OA

5的高度是4 29=12（1）时，y=4,即水流距水平面的

（2）由题意得：当x=最大高度

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（3）把y=0代入抛物线 得：

x22x5154=0，解得，x1=2(舍去，不合题意)，x2=2

5故水池的半径至少要2米才能使喷出的水流不至于落在池外

2．（1）①【解析】

y12x425；②10；（2）①14.5；②47．

试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；

（2）①构造直角三角形利用BW=BC+CW，求出即可； ②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF=WF﹣WG，求出即可．

2yaxc，∵桥下水试题解析：（1）①设抛物线解析式为：

222

222

面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B

1a100ac025c4（10，0），D（0，4），∴，解得：c4，∴

抛物线解析式为：

y12x425；

312x425，解

②∵要使高为3米的船通过，∴y3，则得：x5，∴EF=10米；

（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW=BC+CW，∴

r2(r4)2102，解得：r14.5；

222

②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，

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根据勾股定理知：GF=WF﹣WG，即GF=14.5﹣13.5=28，所以GF=27，此时宽度222222

EF=47米．

考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．

三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 【解析】

试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；

(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600；

(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值.

试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；

（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600； (3)当x≤60，y随x的增大而减小， 当x=55时，w最大=1125

所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 考点：（1）一次函数；（2）二次函数． 2．（1）w2x22

2

2

2

120x1600；（2）该产品销售价定为每千克

30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 【解析】

试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函

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数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值. 试

题

解

析

：

（

1

）

由，

题

意

得

：

wx20yx202x802x2120x1600∴w与x的函数关系式为：w2x（2）

22120x1600.

w2x2120x16002x30200，

∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200. 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值. 3．见解析 【解析】

试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入

ab1.4a0.1yax2bx得9a3b3.6 解得b1.5 ，所以，

2

二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6，

试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

2

2

2

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ab1.4∴9a3b3.6 a0.1解得b1.5 ，

所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；3分（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，∵-0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6， ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.

4．（1）这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，每个月为他承担的总差价最少为500元. 【解析】

试题分析：（1）根据每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）w3000同时满足x据函数图象的性质知道，k0随x的增大而减小，当x2

2

2

2

25，根

25时，

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该函数有最大值时，p有最小值500. 试题解析：（1）当x300(1210)300220时，y10x5001020500300，

600，

∴这个月为他承担的总差价为600元。 （

2

）

依

题

意

2得，

，

w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10x-30+4000a100，

30时，w有最大值

∴当x4000.

∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000． （3）由题意得：10x解得：x1a10202+600x-50003000，

，x240.

0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20又

x25，∴当20xx40时，w3000.

25时，w≥3000.

设每个月为他承担的总差价为

p121010x50020x1000k200，

p元，

.

p随x的增大而减小.

∴当x25时，p有最小值

500.

∴销售单价定为25元时，每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.

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5．（1）（220－10x）；（2）w10x2320x2200（３）当

x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元． 【解析】

试题分析：用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式

w(22010x)(x10)，再运用二次函数的性质解决问题，由题

意可知10x14所以x=1４时，W最大为320. 试题解析：（1）（220－10x）； （2）w(22010x)(x10)3分

10x2320x2200510(x16)23606

分

分

x=16

2w10x320x2200的开口向下，在对称轴直线∵抛物线

的左侧，w随x的增大而增大.8分 由题意可知10x14， 9分 ∴当x=14时，w最大为320.

∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.

考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．

6．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为ykxb，

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将（3000，100），（3200，96）代入得

1k50得：b160 。

3000kb1003200kb96，解

∴

y1x16050。

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。 ∴y与x间的函数关系是（2）填表如下：

租出的车辆数 租出每辆车的月收益

y1x16050。

1x16050 x150

未租出的车辆数

所有未租出的车辆每月的维护费

1x6050 x3000

（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得： 当x=4050时，Wmax=307050，

∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元 【解析】

试题分析：（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。

（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。

（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。

时间：2021.03.12 创作：欧阳文 欧阳文创编