人教A新版必修1《第3章 函数的概念与性质》单元测试卷(一)

人教A新版必修1《第3章 函数的概念与性质》单元测试卷（一）

一、解答题（本大题共14小题，共168.0分） 1. 求下列函数的定义域

(1)𝑦=(2)𝑦=

𝑥−1,𝑥>0

2. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−1，𝑔(𝑥)={．

2−𝑥,𝑥<0

(1)求𝑓(𝑔(2))和𝑔(𝑓(2))的值； (2)求𝑔(𝑥)的值域； (3)求𝑓(𝑔(𝑥))的表达式．

3. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+1是(−1,1)上的奇函数，且𝑓(2)=5，求函数𝑓(𝑥)的解析式．

𝑎𝑥

1

2

√−𝑥2−3𝑥+4 𝑥

1√𝑙𝑜𝑔0.5(4𝑥−3)．

4. 已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥2−𝑘𝑥−8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围．

5. 已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑚

2+𝑚)−1

(𝑚∈𝑁∗)的图象经过点(2,√2)．

(1)试求m的值并写出该幂函数的解析式；

(2)试求满足𝑓(1+𝑎)>𝑓(3−√𝑎)的实数a的取值范围．

6. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总

400𝑥−𝑥2,0≤𝑥≤400

2收益函数为𝑅(𝑥)={，其中x是仪器的产量(单位：台)；

80000,𝑥>400(1)将利润𝑓(𝑥)表示为产量x的函数(利润=总收益−总成本)； (2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

1

7. 如图，𝛥𝑂𝐴𝐵是边长为2的正三角形，记𝛥𝑂𝐴𝐵位于直线𝑥=𝑡(𝑡>0)左侧的图形的面积为𝑓(𝑡)，

(1)求出函数𝑓(𝑡)的解析式； (2)画出函数𝑦=𝑓(𝑡)的图像。

(2)当𝑎>0时，函数𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−𝑎|+𝑏.(1)当𝑎=2时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；8. 已知𝑎,𝑏是实数，

求函数𝑓(𝑥)在区间[1,2]上的最大值；

9. 已知函𝑓(𝑥)是偶函数，而且在(0,+∞)上是增函数，判断𝑓(𝑥)在(−∞,0)上是增函数还是减函数，

并证明你的判断．

10. 某地上年度电价为0.8元/(𝑘𝑊⋅ℎ)，年用电量为𝑎𝑘𝑊⋅ℎ，本年度计划将电价调至0.55—0.75元

/(𝑘𝑊⋅ℎ)之间，而用户期望电价为0.4元/(𝑘𝑊⋅ℎ).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为𝑘).该地区的电力成本价为0.3元/(𝑘𝑊⋅ℎ).

(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益𝑦(单位：元)关于实际电价𝑥(单位：元/(𝑘𝑊⋅ℎ))的函数解析式；(收益=实际电量×(实际电价−成本价))

(2)设𝑘=0.2𝑎，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益将比上年至少增加20%？

11. 画出下列函数的图象：

−2,(𝑥≤0)

(1)𝐹(𝑥)={ 1,(𝑥>0)

(2)𝐺(𝑛)=3𝑛+1，𝑛∈{1,2，3}．

12. 已知函数𝑓(𝑥)=log31−𝑥．

(1)判断𝑓(𝑥)在(−1,1)上的奇偶性并加以证明；

(2)判断𝑓(𝑥)在[−2,5]上的单调性(不需要证明)，并求𝑓(𝑥)在[−2,5]上的值域．

14

14

1+𝑥

13. 如图，△𝑂𝐴𝐵是边长为2的正三角形，记△𝑂𝐴𝐵位于直线𝑥=𝑡(𝑡>

0)左侧的图形的面积为𝑓(𝑡).试求函数𝑓(𝑡)的解析式，并画出函数𝑦=𝑓(𝑡)的图象．

根据一周的销售数据得出周销售量𝑃(件)与单价𝑥(14. 某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，

元)之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．

(1)根据周销售量图写出𝑃(件)与单价𝑥(元)之间的函数关系式；

(2)写出利润𝑦(元)与单价𝑥(元)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．

-------- 答案与解析 --------

2

1.答案：解：(1)要使函数有意义，则{−𝑥−3𝑥+4≥0，

𝑥≠0

2−4≤𝑥≤1𝑥即{+3𝑥−4≤0得{，

𝑥≠0𝑥≠0

即−4≤𝑥≤1且𝑥≠0，

即函数的定义域为{𝑥|−4≤𝑥≤1且𝑥≠0}． (2)要使函数有意义，则log0.5(4𝑥−3)>0， 则0<4𝑥−3<1，得4<𝑥<1， 即函数的定义域为{𝑥|4<𝑥<1}．

33

解析：(1)根据根式成立的条件进行求解即可． (2)根据根式，分式，对数成立的条件进行求解即可．

本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．

2.答案：解：(1)由分段函数得𝑔(2)=2−1=1，𝑓(2)=22−1=3，

则𝑓(𝑔(2))=𝑓(1)=1−1=0，𝑔(𝑓(2))=𝑔(3)=3−1=2； (2)当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=𝑥−1>−1， 当𝑥<0时，𝑔(𝑥)=2−𝑥>2，

综上𝑔(𝑥)>−1，即𝑔(𝑥)的值域为(−1,+∞)；

(3)当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=𝑥−1，则𝑓(𝑔(𝑥))=(𝑥−1)2−1=𝑥2−2𝑥， 当𝑥<0时，𝑔(𝑥)=2−𝑥，𝑓(𝑔(𝑥))=(2−𝑥)2−1=𝑥2−4𝑥−3． 𝑥2−2𝑥,𝑥>0

即𝑓(𝑔(𝑥))={2．

𝑥−4𝑥+3,𝑥<0

解析：(1)根据分段函数的表达式即可求𝑓(𝑔(2))和𝑔(𝑓(2))的值； (2)分别求出𝑥>0和𝑥<0的函数值的取值范围即可求𝑔(𝑥)的值域；

(3)根据复合函数的关系式，讨论𝑥>0和𝑥<0时对应的对应关系即可求𝑓(𝑔(𝑥))的表达式． 本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式进行求值和求解析式，注意变量的取值范围．

3.答案：解：因为𝑓(2)=5，所以：𝑓(2)=

121

1

𝑎21+14

=

2𝑎5

=5，所以𝑎=1．

2

所以函数𝑓(𝑥)的解析式为：𝑓(𝑥)=𝑥2+1，𝑥∈(−1,1)．

𝑥

解析：利用函数的解析式求出a，即可得到函数的解析式． 本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．

4.答案：{𝑘|𝑘≤40，或𝑘≥160}

解析：函数𝑓(𝑥)的图象的对称轴是𝑥=8.当8≤5或8≥20，即𝑘≤40或𝑘≥160时，𝑓(𝑥)在[5,20]上具有单调性．所以，实数k的取值范围为{𝑘|𝑘≤40，或𝑘≥160}．

𝑘

𝑘

𝑘

5.答案：解：(1)∵幂函数𝑓(𝑥)的图象经过点(2,√2)，

∴√2=2(𝑚

2+𝑚)−1

，即𝑚2+𝑚=2，解得：𝑚=1或𝑚=−2，

∵𝑚∈𝑁∗，故𝑚=1， 故𝑓(𝑥)=√𝑥，𝑥∈[0,+∞)； (2)∵𝑓(𝑥)在[0,+∞)递增， 由𝑓(1+𝑎)>𝑓(3−√𝑎)，

1+𝑎≥0得{3−√𝑎≥0，解得：1<𝑎≤9，

1+𝑎>3−√𝑎故a的范围是(1,9]．

解析：(1)根据幂函数的定义，把点的坐标代入函数解析式，求出m的值，从而求出函数的解析式即可；

(2)根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

6.答案：解：(1)当0≤𝑥≤400时，𝑓(𝑥)=400𝑥−2𝑥2−100𝑥−20000=−2𝑥2+300𝑥−20000

当𝑥>400时，𝑓(𝑥)=80000−100𝑥−20000=60000−100𝑥 −𝑥2+300𝑥−20000,0≤𝑥≤400

所以𝑓(𝑥)={2

60000−100𝑥,𝑥>400

(2)当0≤𝑥≤400时𝑓(𝑥)=−2𝑥2+300𝑥−20000=−2(𝑥−300)2+25000 当𝑥=300时，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=25000，

当𝑥>400时，𝑓(𝑥)=60000−100𝑥<𝑓(400)=20000<25000

1

1

1

11

所以当𝑥=300时，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=25000

答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．

解析：本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．

(1)利润=收益−成本，由已知分两段当0≤𝑥≤400时，和当𝑥>400时，求出利润函数的解析式； (2)分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．

7.答案：解：(1)当0<𝑡≤1时，

如图，设直线𝑥=𝑡与△𝑂𝐴𝐵分别交于C、D两点，则|𝑂𝐶|=𝑡， 又𝑂𝐶=𝑂𝐸=√3，∴|𝐶𝐷|=√3𝑡，

11√32

∴𝑓(𝑡)=|𝑂𝐶|⋅|𝐶𝐷|=⋅𝑡⋅√3𝑡=𝑡

222

当1<𝑡≤2时，

如图，设直线𝑥=𝑡与△𝑂𝐴𝐵分别交于M、N两点，则|𝐴𝑁|=2−𝑡， 又|𝐴𝑁|=|𝐴𝐸|=

|𝑀𝑁|

|𝐵𝐸|

√3

1

𝐶𝐷

𝐵𝐸

=√3，∴|𝑀𝑁|=√3(2−𝑡)

11√3√32⋅2⋅√3−⋅|𝐴𝑁|⋅|𝑀𝑁|=√3−(2−𝑡)2=−𝑡+2√3𝑡−√3 2222

∴𝑓(𝑡)=

当𝑡>2时，𝑓(𝑡)=√3

𝑡2,0<𝑡≤1 2

综上所述𝑓(𝑡)=−√3𝑡2+2√3𝑡−√3,1<𝑡≤2

2

{√3,𝑡>2

√3

(2)由(1)可画函数𝑦=𝑓(𝑡)的图像为

解析：在求𝑓(𝑡)的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．

分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点．

8.答案：(1)𝑓(𝑥)在(−∞,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增．(2)当0<𝑎≤3

时最大值为4−2𝑎+𝑏；3<𝑎<3时，最大值为1−𝑎+𝑏;𝑎≥3时，最大值为2𝑎−4+𝑏．

5

5

𝑥2−2𝑥+𝑏,𝑥≥2

解析：（1）当𝑎=2时，𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−2|+𝑏={2，由二次函数的单调性知，𝑓(𝑥)

−𝑥+2𝑥+𝑏,𝑥<2在(−∞,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增．（2）设𝑔(𝑥)=𝑥|𝑥−𝑎|=𝑥−𝑎𝑥={

𝑎𝑥−𝑥2=

2

𝑎2𝑎2

(𝑥−2)−4,𝑥≥𝑎

，由于𝑎𝑎2𝑎2

−(𝑥−)+,𝑥<𝑎

24

>0且1≤𝑥≤2，结合函数𝑓(𝑥)的图象可知，①若1<2≤2，1<2<2

2

𝑎

𝑎

𝑓(𝑥)在[1,2]上单调递增，即𝑎≥4时，最大值为𝑓(2)=2𝑎−4+𝑏.②若{𝑎

𝑎

𝑎

2

<2<𝑎

𝑓(𝑥)，即2<𝑎<4，

𝑎𝑎

在[1,2]上单调递增，在[2,2]上单调递减，最大值𝑓()=+𝑏.③若2≤1<𝑎≤2，即1<𝑎≤2时，

24

𝑎

𝑓(𝑥)在[1,𝑎]单调递减，在[𝑎,2]上单调递增，须比较𝑓(1)与𝑓(2)大小.𝑓(1)=𝑎−1+𝑏,𝑓(2)=4−2𝑎+𝑏.若𝑎−1≥4−2𝑎，即3≤𝑎≤2，最大值为𝑎−1+𝑏.若𝑎−1<4−2𝑎，即1<𝑎<3，最大值为4−2𝑎+𝑏.④若𝑎≤1<2，即0<𝑎≤1时，𝑓(𝑥)在[1,2]单调递增，最大值为𝑓(2)=4−2𝑎+𝑏.

5

5

综上.

9.答案：解：𝑓(𝑥)在(−∞,0)上是减函数(1分)

证明：设𝑥1<𝑥2<0则−𝑥1>−𝑥2>0(3分) ∵𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数 ∴𝑓(−𝑥1)>𝑓(−𝑥2)(7分) 又𝑓(𝑥)是偶函数

∴𝑓(−𝑥1)=𝑓(𝑥1)，𝑓(−𝑥2)=𝑓(𝑥2) ∴𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2)

∴𝑓(𝑥)在(−∞,0)上是减函数(12分)

解析：用单调性定义来证明，先在给定区间上取两个变量，且界定大小，不妨设𝑥1<𝑥2<0则有−𝑥1>−𝑥2>0，

再由“𝑓(𝑥)在(0,+∞)上是增函数”可得到𝑓(−𝑥1)>𝑓(−𝑥2)，然后由“𝑓(𝑥)是偶函数”转化为𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2)，再由单调性定义判断．

本题主要考查奇偶函数在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．

10.答案：解：(1)设下调后的电价为x元/𝑘𝑤⋅ℎ，依题意知用电量增至𝑥−0.4+𝑎，电力部门的收益为

𝑦=(

(2)依题意有

𝑘

+𝑎)(𝑥−0.3)(0.55≤𝑥≤0.75) 𝑥−0.4

𝑘

整理得

2

{𝑥−1.1𝑥+0.3≥0⇒{𝑥≤0.50或𝑥≥0.60 0.55≤𝑥≤0.750.55≤𝑥≤0.75

解此不等式得0.60≤𝑥≤0.75

答：当电价最低定为0.6元/𝑘𝑤⋅ℎ仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．

解析：本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．

(1)先根据题意设下调后的电价为x元/𝑘𝑤⋅ℎ，依题意知用电量增至𝑥−0.4+𝑎，电力部门的收益即可； (2)依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．

𝑘

11.答案：解：(1)𝐹(𝑥)={1,(𝑥>0)的图象如图(1)所示：

(2)𝐺(𝑛)=3𝑛+1，𝑛∈{1,2，3}的图象如图(2)所示．

−2,(𝑥≤0)

解析：直接根据函数的解析式，作出函数的图象． 本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．

12.答案：解：(1)由条件知1−𝑥>0，解得−1<𝑥<1，所以函数的定义域为(−1,1)；

已知函数𝑓(𝑥)的定义域关于原点对称． 𝑓(−𝑥)=log

31+𝑥=log1−𝑥

−1

=−log3(1−𝑥)1+𝑥

31−𝑥1+𝑥

1+𝑥

=−𝑓(𝑥)

所以𝑓(𝑥)是奇函数．

(2)𝑓(𝑥)在[−2,5]上单调递增，

在𝑥=−2时，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(−2)=−1，

1

1

14

在𝑥=5时，𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑓(5)=2． 故函数的值域[−1,2]

44

解析：本题主要考查函数的单调性和奇偶性和值域问题 (1)利用函数的奇偶性判断证明； (2)根据函数的单调性求函数的值域

13.答案：解：(1)当0<𝑡≤1时，

如图，设直线𝑥=𝑡与△𝑂𝐴𝐵分别交于C、D两点，则|𝑂𝐶|=𝑡， 又𝑂𝐶=𝑂𝐸=√3，∴|𝐶𝐷|=√3𝑡， ∴𝑓(𝑡)=|𝑂𝐶|⋅|𝐶𝐷|=⋅𝑡⋅√3𝑡=

2

2

1

1

√32𝑡 2

𝐶𝐷

𝐵𝐶

(2)当1<𝑡≤2时，

如图，设直线𝑥=𝑡与△𝑂𝐴𝐵分别交于M、N两点，则|𝐴𝑁|=2−𝑡， 又|𝐴𝑁|=|𝐴𝐸|=

12

|𝑀𝑁|

|𝐵𝐸|

√3

1

=√3，∴|𝑀𝑁|=√3(2−𝑡)

12

√3

(2−2

∴𝑓(𝑡)=⋅2⋅√3−⋅|𝐴𝑁|⋅|𝑀𝑁|=√3−(3)当𝑡>2时，𝑓(𝑡)=√3

𝑡)2=−

√32𝑡2

+2√3𝑡−√3

𝑡2,0<𝑡≤1 2

综上所述𝑓(𝑡)=−√3𝑡2+2√3𝑡−√3,1<𝑡≤2

2

{√3,𝑡>2

√3

解析：在求𝑓(𝑡)的解析式时，关键是要根据图象，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．

分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点．

14.答案：解：(1)由题设知，当12≤𝑥≤20时，设𝑝=𝑎𝑥+𝑏，

12𝑎+𝑏=26则{，解得𝑎=−2, 𝑏=50， 20𝑎+𝑏=10∴𝑝=−2𝑥+50，

同理得，当20≤𝑥≤28时，𝑝=−𝑥+30， −2𝑥+50   12≤𝑥≤20

所以𝑝={

−𝑥+30     20<𝑥≤28

(2)当12≤𝑥≤20时，销售利润𝑦=(𝑥−10)(−2𝑥+50)−25=−2(𝑥−35)+175，

22因此当𝑥=

35

2

时，𝑦𝑚𝑎𝑥=2

1752

当20≤𝑥≤28时，销售利润𝑦=(𝑥−10)(−𝑥+30)−25=−(𝑥−20)2+75， 因为函数在(20,28]上单调递减，∴𝑦<75，

∴该消费品销售价格为2时，周利润最大，最大周利润为

35

1752

．

解析： 本题考查了函数的表示方法，分段函数，待定系数法和一次函数、二次函数模型． (1)利用函数图象，结合分段函数的概念，运用待定系数法计算得结论;

(2)利用二次函数模型，分段求最值得结论．