2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题

1．下列命题中正确的有（ ）

①很小的实数可以构成集合；②集合yyx1与集合(x,y)yx1是同一个集合；③集合(x,y)xy0,x,yR是指第二和第四象限内的点集. A．0个 【答案】A

【解析】根据集合的概念即可判断. 【详解】

对于①，集合具有确定性，故①错；

对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选：A 【点睛】

本题主要考查集合的概念，属于基础题.

2．设x0,y0，下列不等式中等号不能成立的有（ ） A．(x)(yB．1个

C．2个

D．3个

221x1)4 yB．(xy)(1x1)4 yC．x29x524

D．xy24 xy【答案】C

【解析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】 已知x0,y0 对于A项，(x)(y1x111)224，当且仅当x,y时，即x1,y1时等yxy号成立，故A项正确，不符合题意； 对于B项，(xy)()2xy21x1y14，当且仅当xy时等号成立，故B项xy第 1 页 共 13 页

正确，不符合题意； 对于C项，x29x52x254x524x522x254x524，

2当且仅当x5时等号成立，但此时x无实数根，所以等号不成立，故C

错误，符合题意； 对于D项，xy2212xy4，当且仅当xy，xy时， xyxyxy即x1,y1时，等号成立，故D正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】

本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件.

x(x2)0x1AxBx03．集合，集合，则xA是xB的（ ）

x1x3条件.

A．充分不必要 要 【答案】A

【解析】根据条件求出集合A,B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分不必

x(x2)0x1Ax0xx1且x3， x0x1，Bxx1x3即xA是xB的充分不必要条件，所以A项正确. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用，同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法，比较基础.

4．使关于x的不等式x23(t1)x2t(t3)0恒成立的实数t（ ） A．不存在 【答案】B

2【解析】利用二次函数的性质x3(t1)x2t(t3)0恒成立，只需0即可.

B．有且仅有一个 C．有不止一个的有限个 D．无穷多个

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【详解】

x23(t1)x2t(t3)0恒成立，则0，即3(t1)8t(t3)0

化简整理得t26t90，所以(t3)0，解得t3 故满足条件的实数t有且只有一个. 故选：B 【点睛】

本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，借助一元二次不等式与二次函数的关系，转化为用判别式求解.

二、填空题

5．已知集合U1,0,2,3，A0,3，则CUA______. 【答案】1,2

【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】

由补集定义可知：CUA1,2 本题正确结果：1,2 【点睛】

本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.

6．若关于x的不等式xab(a,bR)的解集为x2x4，则ab________. 【答案】3

【解析】根据解绝对值不等式xab(a,bR)得abxba； 再由不等式的解集为x2x4，对应相等即可求出答案. 【详解】

由xab(a,bR)得bxababxba 又

不等式的解集为x2x4，

22ab2a3 解得 ，所以ab3.

ba4b1故答案为：3

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【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.

7．命题“若x2，则x23x0”的逆否命题是________. 【答案】“若x23x0，则x2”

【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”即可解答. 【详解】

命题“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”可得 逆否命题为“若x23x0，则x2”. 故答案为：若x23x0，则x2 【点睛】

本题考查四种命题，掌握四种命题间的关系是解决问题的关键，属于基础题. 8．若全集U=（1，2，3，4，5，6，7，8，9），A，B为U的子集，且(CUA)B1,9，

AB2，(CUA)(CUB)4,6,8则集合A=________.

【答案】A2,3,5,7

【解析】作出韦恩图即可得到结论. 【详解】

根据集合关系作出韦恩图（如上图）

(CUA)B1,9，AB2，(CUA)(CUB)4,6,8

 由韦恩图得A2,3,5,7.

故答案为：A2,3,5,7 【点睛】

本题主要考查韦恩图的应用，根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.

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9．已知集合Aa,b,2，B2,b,2a(a,bR)，且AB

2则b________. 【答案】1或

1 21aa0a04 或 【解析】首先集合相等转化元素相等，求出或b0或b1b0b12a0再由集合元素的互异性舍去即可得出答案.

b0【详解】 由AB，

ab2a2a 解得 2或bbb2a1aa0a04 或或1b0或b1b0b2a01 (舍去)，所以b1或b 由集合元素的互异性可知2b0 故答案为：1或【点睛】

本题考查集合之间的相等关系，集合相等转化为元素相等，由于集合元素的无序性，元素相等往往要分情况讨论.

10．若正实数x,y满足：x3y1，则xy的最大值为________. 【答案】

1 21 121即可. 12【解析】运用基本不等式得出x3y123xy，化简求得xy【详解】

正实数x,y满足：x3y1，

x3y123xy，化简得出xy1， 12第 5 页 共 13 页

11，y时等号成立. 261 故答案为：12当且仅当x【点睛】

本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.

11．已知集合AxR2x30，BxRxa.若A取值范围为________. 【答案】aB，则实数a的

3 2【解析】首先解出集合A，由A【详解】

B即可求出a3. 2由AxR2x30xx3，BxRxa, 2若AB，所以a3 23 2故答案为：a【点睛】

本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围，属于容易题.

12．已知xR，定义：A(x)表示不小于x的最小整数．如A(3)2,A(0.4)0,

A(1.1)1.若A(2xA(x))5，则正实数x的取值范围是 ．

【答案】1x5 4，即

，又因为x>0，所以

，当

，又因为时，

【解析】试题分析：由已知得

显然不满足条件；当时，

时，，从而得

1x5；当4显然不满足条件．

故正实数 的取值范围是1x【考点】新定义创新题．

5． 413．a,bR,ab1，则(a1)(b1)的最大值为________.

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【答案】

9 429a1b1【解析】根据基本不等式(a1)(b1)即可求解.

24【详解】

9a1b1由题意a,bR,ab1，则(a1)(b1)，

242当且仅当a1b1，即ab即(a1)(b1)的最大值为故答案为：【点睛】

1时等号成立， 29. 49 4本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.

14．若使集合A(k)x(kxk6)(x4)0,xZ中元素个数最少，则实数k的取值范围是 ________. 【答案】3,2

【解析】首先讨论k的取值，解不等式；再由集合A的元素个数最少，推出只有k0满足，

若集合A的元素个数最少，由k0，集合AxZk266x4，只需求kkk的最大值即可，再由集合A中xZ，只需5k【详解】

64即可求解. k2由题知集合A内的不等式为(kxk6)(x4)0,xZ，故

当k0时，可得AxZx4； 当k0时， (kxk6)(x4)0可转化为

2x40x4064k 或，因为， 22kkxk60kxk60所以不等式的解集为xx4或xk66，所以AxZx4或xk kk第 7 页 共 13 页

当k0时，由k664，所以不等式的解集为xkx4，

kk6x4，此时集合A的元素个数为有限个. k所以AxZk综上所述，当k0时，集合A的元素个数为无限个，

当k0时，集合A的元素个数为有限个，故当k0时，集合A的元素个数最少，且当k6 k6k60 解得k6，，令f(k)所以f(k)2k的值越大，集合A的元素个数越少， 令f(k)k（k0），则f(k)1在,6内单调递增，在6,0内单调递减，所以f(k)maxf(6)26，又因为xZ，5264，所以当5k集合AxZk64，即3k2时， k6x4中元素的个数最少，故3k2 k故答案为：3,2 【点睛】

本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.

三、解答题

22ab15．设a0,b0， 比较与ab的大小. baa2b2【答案】ab ba22aabb【解析】首先由a0,b0化简，，然后由基本不等式得bababaa2b，b2a，两式求和即可得证. ab【详解】

a0,b0，

a2ab2b ，abab第 8 页 共 13 页

根据基本不等式得

ba2b ① aab2a ② b 当且仅当ab时，①②的等号成立， ① ② 得

baab2a2b，即 aba2b2ab ba【点睛】

本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小，此题也可用“作差法”进行比较. 16．解下列不等式：

（1）x12x11； （2）

x1.

x27x12【答案】（1）x1x1 3（2）,23,46,

【解析】（1）解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.

（2）解分式不等式转化为整式不等式，分解因式，利用穿针引线即可求解. 【详解】 （1）当x1时，x12x11x1(2x1)1x1 21x1 2当1x11时，x12x11x12x11x 2311x 32当x1时，x12x11x12x11x3 所以此时无解，

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1xx1综上所述，故不等式的解集为 3xx(x27x12)x28x12（2）21020 2x7x12x7x12x7x12(x28x12)(x27x12)0x28x12202x7x12x7x120(x2)(x6)(x3)(x4)0 ，如图

(x3)(x4)0

所以不等式的解集为,23,46, 【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，解分式不等式式，转化为整式不等式后为一元高次不等式，分解因式利用穿针引线的方法进行求解.

17．据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y（万元）x可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元. （1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数解析式；

（2）若x[10,25]，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？

【答案】（1）y1(x15)217.5(10x20) 10（2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【解析】（1）设出函数解析式，代入10,20，可得函数解析式. （2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值. 【详解】

2（1）由题意，设ya(x15)17.5(aR,a0)，

将x10,y20代入上式得2025a17.5，解得a1 10第 10 页 共 13 页

y1(x15)217.5(10x20). 1012x3x40140x40 （2）y10x3231xx10x10xx40 当且仅当，即x2010,25时等号成立，

10x故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【点睛】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是解此题的关键.

18．已知命题：“xx|1x1，使等式x2xm0成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m的取值集合M；

（Ⅱ）设不等式(xa)(xa2)0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求

a的取值范围．

【答案】（1）

【解析】试题分析：（1）方程在实数m的取值集合M可求； （2）xN是xM的必要条件，分取值范围．

(1) 由题意知，方程x2xm0在即m的取值范围就为函数分

(2) 因为xN是xM的必要条件，所以当当

时，解集时，

为空集，不满足题意 9分 ，此时集合

8分

在

上有解，

上的值域，易得Mm|、

、

三种情况讨论即可求a的

（2）

或

.

在

上的值域，

有解，转化为函数

1m274则，解得12分

当时，，此时集合

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1a1则{4,a15分

42a2综上a91或a16分 44【考点】命题与逻辑、分类讨论思想.

22219．已知二次函数f1(x)xaxb,f2(x)xbxc,f3(x)xcxa.

f1(x)0（1）若a3,b2,c1，解不等式组：f2(x)0；

f(x)031,2,3,4（2）若a,b,c非负.

，对任意的xR，证明：f1(x),f2(x),f3(x)中至少有一个

【答案】（1）xx2或x1 （2）见详解

【解析】（1）把a3,b2,c1代入解析式，解一元二次不等式组即可求解. （2）利用反证法，假设f1(x),f2(x),f3(x)中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由a,b,c1,2,3,4，a4b0,b4c0,c4a0不

222恒成立，即可得证. 【详解】

（1）若a3,b2,c1，由

f1(x)x2axb,f2(x)x2bxc,f3(x)x2cxa

x23x20x2或x1f1(x)02则解不等式组f2(x)0，即解不等式组x2x10，即x1`，

x2x30f(x)0xR3故不等式的解集为xx2或x1. （2）若a,b,c1,2,3,4，对任意的xR，

假设f1(x),f2(x),f3(x)中一个都没有非负，即函数f1(x),f2(x),f3(x)在x轴下方均有图像，

所以a4b0,b4c0,c4a0恒成立，

222第 12 页 共 13 页

所以三式相加a2b2c24a4b4c0，

即(a2)(b2)(c2)12，又因为a,b,c1,2,3,4，显然上式不成立，

222即假设不成立，故f1(x),f2(x),f3(x)中至少有一个非负. 【点睛】

本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.

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