求初等函数的值域

摘要 初等函数中，求函数的值域没有固定的方法与模式，且所涉及的知识面较广，方法也灵活多样，解决这类问题既涉及一些具体的解题方法，又涉及一些抽象的逻辑方法，故难以找到最佳的思维定势。但如方法运用适当的话，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文从直接观察法、反函数法、配方法、换元法、判别式法、函数的有界性法、数形结合法、函数单调性法等诸方面介绍其求法，并配以实例说明。

关键词：初等函数；值域；定义域；求法

初等函数是中学数学课程的主要内容之一，而初等函数的值域就是函数内容的一部分。在学习初等函数内容时，函数值域的求法就是教学中的难点之一。本文举例说明初等函数值域的若干求法与技巧，以培养和提高学生的观察、分析能力和理解能力。

一、直接观察法

求函数值域的时候，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。所谓的直接观察法一般就是从函数的定义域出发，根据对应法则，利用不等式关系的同解变形直接求得。通常用来求解一些比较简单的函数的值域，它是求初等函数值域最常用的方法。

例1．求函数y=3+4x1的值域．

1解：由4x－1≥0,∴x≥

41 ∴函数的定义域为x≥

4 于是 4x1≥0

∴3+4x1≥3

故所求的函数值域为3,．

例2．求函数y2x3, x∈｛0,1,2,5｝的值域． 解：∵x∈｛0,1,2,5｝，y2x3 ∴=－3，－1，1，7 ∴值域为｛－3，－1，1，7｝．

1

y例3．求函数y=㏒2x+㏒x(2x)的值域 解：原式的定义域为x0且x1

y=㏒2x+㏒x(2x)

=㏒2x+㏒x21 ∵㏒2x+㏒x(2x)=㏒2x+

1log2x

=㏒2x+

1log2x2

∴ ㏒2x+㏒x22或者㏒2x+㏒x22 ∴ ㏒2x+㏒x2+11或者㏒2x+㏒x2+13 故函数的值域为(,1]U[3,).

说明：函数的值域是指因变量的可取值范围，因此要分析因变量的约束条件去寻找函数的值域。

二、反函数法

反函数法，就是先求出原函数的反函数，并判断该反函数的定义域从而来确定原函数的值域。

2x3例4．求y的值域.

x1分析：反函数的定义域就是原函数的值域

解：因为yxy2x3 (y2)x3y x3y y23xxxR且x2

,定义域为x2所以原函数的反函数的解析式为y所以原函数的值域为

yyR且y2.

ex1例5.求函数y=x的值域.

e1解：把原函数变形得(y1)e(y1)

2

x当y1时，得e=

xy1y1 所以x=㏑() 1y1yx1﹚ 1x所以原函数的反函数的解析式为y=㏑﹙由于

x1＞0，解得 －1＜x＜1， 定义域为x1x1 1x故原函数的值域为y∈(－1,1).

例6.求函数y解：由y2cosx的值域.

2cosx2cosx2(1y)可得cosx.

2cosx1y ∵-1≤cosx≤1 ∴-1≤

12(1y)≤1,解得≤y≤3.

31y1 故所求函数的值域为,3.

3说明：直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函

axb数的值域。形如：y(c≠0) 类型，可以选择反函数法来求函数值域，也

cxd可用于其它易反解出自变量的函数类型。这种方法实质上是对函数的解析式中解出x，并由此寻找因变量y的可取值范围，这就是所求函数的值域。

三、配方法

配方法就是通过对原函数变形，使其化成含有平方的形式，形如

yaxbc ，再判断函数值域的方法。

2例7.求函数y=x24x3 (-5≤x≤-3)的值域.

解：配方得y(x2)21,其对称轴为x2,所以yx24x3在5,3上是减函数。

∴f(-3)≤y≤f(-5),即0≤y≤8,故函数的值域为0,8.

注意：若不限定定义域，则值域为1,. 例8.求函数y382xx2的值域.

解：由82xx2≥0得函数的定义域为x2x4.

3

∵y=3-82xx2=3-(x1)29

∴当x=1时，y取最小值ymin=3-3=0;当x=-2或4时，y取最大值ymax=3 故所求函数的值域为[0,3].

x例9.求函数ysin2x4cos2的值域.

2x解: ysin2x4cos2

2 cos2x122cosx (cosx1)2

当cosx1时， y最大值=4; 当cosx1时, y最小值=0. ∴函数值域是 0,4.

说明：配方法是求二次函数类值域最基本的方法，如yax2bxc型函数的值域均可用配方法，在求一些简单的二次函数的最值问题时，利用配方法可以求出二次函数的顶点纵坐标，该坐标就是最值。

四、换元法

换元法就是把某个式子看做一个整体，用一个变量去代替它，并求出这个变量的取值范围，然后用这个变量来表示整个函数，最后求得函数值域，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。

① 代数换元法

例10.求函数y2x12x的值域.

1，因此前后x的次数比为2比1的关2系，可采用换元法转化为二次函数来解决。

分析：根式12x中x的次数可视为

1t2解：令12xt(t0) 则x

2 ∴yt2t1

51 t

42当t135时, 即x时, y的最大值为，无最小值

8424

2

5∴函数的值域为 ,.

4② 三角换元法

例11．求函数yx1x2的值域.

分析：前后x的次数比为1比2，本题不能采用上题的换元法。注意到x∈

[-1,1]，可采取三角换元，既符合题目要求，又能利用三角恒等式化简根式。

 解：设xsin, ,

22原式sin1sin2sincossincos2sin(4)，

33由,知，≤≤，函数在,上先减后增，

44444222∴1sin

42∴-2≤y≤1 故函数的值域为〔-2,1〕.

说明：带根式的函数，本身求值域比较难，这时可考虑用换元法将其变形，

换元适当，事半功倍。换元之后应考虑新的变量的取值范围，在此基础上再求函数值域。形如y = ax + b ±cxd（a、b、c、d均为常数且a不为0）的类型，都可以用换元法来解，对于某些无理函数用换元法来解常能收到事半功倍之效。函数y2x12x与y2x2x1函数形式类似，都可以用换元法来解，但又有不同，前者在定义域上不是单调函数，不能用函数单调性来解。

五、判别式法

判别式法是通过把函数转化成二次方程F(x，y)=0，通过二次方程有实数根，利用判别式△≥0从而求得原函数的值域。采用判别式法求值域的函数应满足三个要求：1）分子分母至少有一个是二次；2）函数的定义域是函数的自然定义域R；3）分子分母不再可约。

例12.求函数yxx(2x)的值域.

解：原式两边平方整理后得：2x22(y1)xy20（1）

∵ xR ∴4(y1)28y0

解得：12y12

但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2

由0，仅保证关于x的方程：2x22(y1)xy20在实数集R有实根，

5

而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求

132,2. 出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵0x2 ∴yxx(2x)0 ∴ymin0,y12代入方程（1） 解得：x1即当x122242220,2

22242时，原函数的值域为：[0,12]

x2x1例13.求函数 y = 的值域.

1xx2解：采用判别式法,整理得

(y1)x2(y1)x1y0 要使得x有实数，方程有实数根 ∴x(y1)24(y1)(1y)0 即5y22y30 解之,得y1或y当y

3 5

31,代入原式 解得x 52

当y1,代入原式，没有相应的x值

3所以所求函数值域为y(,1),.

5dx2exf说明：形如y2（a、d不同时为0）的类型，都可以用判别式

axbxc法，一般常将函数转化为一个关于x的二次方程，先讨论二次项系数，再考虑用判别式法求出y的范围。但是利用判别式法求值域时，要审查等号是否成立。也就是说，能否在定义域内找到的值，使函数达到最大值和最小值，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

六、函数的有界性法

如果对于变量x所考虑的范围(用D表示)内,存在一个正数M,使在D上的函数值f(x)都满足|f(x)|M，则称函数yf(x)在D上有界,亦称f(x)在D上是

6

有界函数。函数的有界性法就是充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。

2x1例14.求函数yx的值域.

212x1解：由yx

21得2xyy2x1

2xy1 y1∵2x0 ∴y1或y1 例15.求函数ycosx的值域.

sinx3解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为：y21sin(x)3y，

3y即sin(x)

2y1∵xR

∴sin(x)[1,1]

3y即11

2y122 y4422,故函数的值域为. 44说明：直接求函数的值域困难时，可以利用已经学过的函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

七、数形结合法

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。所谓数形结合法就是通过观察分析相应的图形得出函数值域，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，当一个函数的图像可以作出或利用函数所表示的几何意义，就可借助数形结合法求出函数的值域。

解得：例16．求函数y=x2x6的值域.

解：y=x2x6表示数轴上的点到表示实数-2的点A与到表示实数6的点B的距离之和。

7

∵AB6(2)8

∴ymin8 ∴所求函数的值域为8,.

例17.函数y=x24+x22x10的值域. 解：y=x24+x22x10=(x0)2(02)2+

x(1)2(03)2

∴y表示直角坐标平面内x轴上的点P(x,0)到两定点A(0,2),B(1,3),的距离之和，如图1所示,故可得到：

AB=(10)3(2)=26

'22B(-1,3)yA(0,2)∴所求函数的值域为[26,+∞).

1sinx例18.求函数y的值域.

2cosxx分析与解答：将函数解析式整理得 yA'(0,-2)sinx1 cosx2图1

即为P(cosx, sinx),Q(-2,-1)两点的斜 率kPQ，由图2可知，当P与A重合时，kPQ最小，当P与B重合时，kPQ最大（A、B分别是过Q的直线与圆

x2y21的切点）.

设过Q的直线l为：y1k(x2)，即

kxy2k10

当l与圆x2y21相切时，圆心到直线距离为半径

图2

∴

40, 3002k1k211，∴k0或

44，∴0Kpq，从而函数值域为33说明：当一个函数图像可作时，通过图像可求出其值域和最值，或利用函

数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如由平方和联想到距离，

8

由分式形式联想到斜率等。

八、函数单调性法 通过确定函数在定义域（或定义域的某个子集上）的单调性来求出函数值域的方法称为单调性法。

1例19.求函数yx﹙x≥1﹚的值域.

x分析：本题采用其它方法有一定的困难，回归到求值域的最基本方法之一：单调性法.

1解：∵y1x在[1，+∞）上单调递增，y2在[1，+∞）上单调递增

x11 ∴yx在[1，+∞）上也单调递增，∴1y＜＋∞

x1故原函数的值域为[0，+∞）

b说明：形如yax﹙a,b ∈ R ,x ≠ 0﹚的函数，都可以用函数单调性

x法来求解。一般用于求复合函数的值域或最值（原理：同增异减）。

以上举例说明了几种求函数值域的方法，各法各有特点，不同的函数类型有不同的解法。但不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。函数的值域取决于定义域和对应法则，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。应熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、及各三角函数的值域，它是求复杂函数的基础。并要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法如配方法，换元法等．当特殊方法不易解决时，再采用一般方法求解。

求函数值域的题型与方法当然不只以上那些，并且对于同一题型的求解也不仅是一种方法，我们在求解函数值域时，一定要结合题目的特点，分清函数类型，然后选择适合的方法并灵活运用，在平时的学习与探究过程中不断体会与总结，将知识与方法学活，解决问题时才能做到游刃有余。

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