2021年广西壮族自治区桂林市文市高级中学高一数学理联考试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在正三棱柱

中，AB＝1，若二面角

的大小为60°，则点

到平面

【分析】转化为同底数：a=2log52=log答案．

【解答】解：∵a=2log52，b=21.1，c=∴a=2log52=log＜1，b=2＞2，c=1.1

＜1，b=2，c=

1.1

=2，根据函数y=2单调性判断

x

， =2

＜2，1＜c＜2

的距离为 ( )

A. B. C. D．1

参：

A

2. 已知直线的斜率是6，在y轴上的截距是﹣4，则此直线方程是（ A．6x﹣y﹣4=0 B．6x﹣y+4=0 C．6x+y+4=0 D．6x+y﹣4=0

参：

A

【考点】直线的斜截式方程． 【分析】利用斜截式即可得出．

【解答】解：∵直线的斜率为6，在y轴上的截距是﹣4， ∴由直线方程的斜截式得直线方程为y=6x﹣4，即6x﹣y﹣4=0． 故选：A．

3. 已知a=2log1.1

52，b=2，c=，则a、b、c的大小关系是（A．.a＜c＜b B．c＜b＜a

C．a＜b＜c

D．b＜c＜a

参：

A

【考点】指数函数的图象与性质．

）

根据函数y=2x单调性判断：b＞c＞a， 故选；A

4. 已知直线经过点，

，则该直线的倾斜角为 （A）

（B）

（C）

（D）

参：

B

5.

参：

6. 已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取

值范围为（ ）

A．

B．

C．

D．

参：

C

【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1f（x2）的取值范围．

） 【解答】解：①当 0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．

②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2

≤3，故当x=

时，f（x）=1．

若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，

如图所示：

显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1f（x2）取得最小值， 此时，x1=，x2=，x1f（x2）的最小值为

=

．

显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1f（x2）趋于最大，

此时，x1趋于，x2趋于，x1f（x2）趋于

=．

故x1f（x2）的取值范围为，

故选C．

【点评】本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于

中档题．

7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2

+c2

﹣a2

），则∠B=（ ） A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

参：

C

【考点】HS：余弦定理的应用．

【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．

【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC?sinC ∴sinC=1，C=

．

∴S=ab=（b2+c2﹣a2）， 解得a=b，因此∠B=45°． 故选C

8. 设tanα和tanβ是方程mx2+(2m-3)x+m-2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。 参：

解：∵△=(2m-3)2-4m(m-2)=-4m+9≥0，∴m≤，

∴tan(α+β)=。

略

9. （5分）直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）

A．

B．

C．

D．

参：

D

考点： 直线与圆相交的性质．

专题： 计算题．

分析： 先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案． 解答： 圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）

∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==

弦长|EF|=

原点到直线的距离d=

∴△EOF的面积为

故选D．

点评： 本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．

10. 已知数列{an}满足：

，

，则

（）

A.

B.

C.

D.

参：

C 【分析】

由已知得

，由此利用累加法能求出数列{an}的通项公式．

【详解】∵数列满足：，，

∴，

∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1

＝

=，

∴．

故选C.

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 在等比数列中，，则 .

参：

12. 若函数的定义域为

，值域为

，则实数

的取值范围为

___________

参：

13. 不等式

的解集 ．

参：

14. 直线y=﹣

x+1和x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为一边在第一象限内作等边

△ABC，则点C的坐标为 ．

参：

【考点】两点间距离公式的应用．

【分析】由题意，A（，0），B（0，1），则|AB|=2，AC⊥x轴，即可求出点C的坐标．

【解答】解：由题意，A（，0），B（0，1），则|AB|=2，AC⊥x轴，

∴点C的坐标为．

故答案为．

15. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合

，

，若A

与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为 ．

参：

16. 在等差数列中，最大时，的值是

参： 6或7 略

17. 已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则不等式x?f（x）＜0的取值范围是 ．

参：

{x|x＞2，或x＜﹣2}

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据题意可得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，f（﹣2）=0，从而由不等式x?f（x）＜

0可得，，或，根据f（x）的单调性便可得出x的取值范

围．

【解答】解：奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减； f（2）=0，∴f（﹣2）=0；

∴由x?f（x）＜0得，

，或

；

∴x＞2，或x＜﹣2；

∴原不等式的取值范围为{x|x＞2，或x＜﹣2}． 故答案为：{x|x＞2，或x＜﹣2}．

【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，将不等式变成不等式组从而解不等式的

方法．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知，函数

(1)求

的最小正周期；

(2)当时，求函数的值域．

参：

(1) T= (2)

略

19. 已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，

（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C； （2）当|PQ|=2

时，求直线l的方程．

参：

【考点】直线和圆的方程的应用．

【分析】（1）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得l的斜率，可得直线l的方程，联立直线m的方程，可得交点N，代入圆心，可得直线l过圆心； （2）由|PQ|=2

得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x﹣ny+1=0，求得n的值，可

得直线l的方程．

【解答】解：（1）因为l与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为﹣， 所以直线l的斜率为3，

所以l的方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0． 联立，解得，

即有N（﹣，﹣），

代入圆心（0，3），有0﹣3+3=0成立， 所以直线l过圆心C（0，3）． （2）由|PQ|=2

得，圆心C到直线l的距离d=1，

设直线l的方程为x﹣ny+1=0，则由d==1．

解得n=0，或n=，

所以直线l的方程为x+1=0或4x﹣3y+4=0．

20. 证明：函数f（x）=x2

+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．

参：

【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．

【分析】结合已知条件，检验函数的定义域关于原点对称，检验f（﹣x）=（﹣x）2

+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数，利用函数的单调性的定义，只要证明当任意x1＜x2∈[0，+∞）都有f（x1）＜f（x2）证明函数的单调性

【解答】证明：∵f（x）的定义域为R，

∴它的定义域关于原点对称，f（﹣x）=（﹣x）2+1=f（x） 所以f（x）是偶函数．

任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）﹣f（x2）=x21+1﹣（x22+1）=x21﹣x22=（x1﹣x2）（x1+x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的． 21. 已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}． （1）分别求：A∩B，A∪（?RB）；

（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．

参：

【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．

【专题】计算题．

【分析】（1）由A与B求出A与B的交集，由全集U求出B的补集，找出A与B补集的并集即可； （2）根据C为B的子集，由C与B列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

【解答】解：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R， ∴A∩B=（2，6），?RB=（﹣∞，2]∪[9，+∞），

则A∪（?RB）=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；

（2）∵C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C?B，

∴列得，

解得：2≤a≤8，

则实数a的取值范围是[2，8]．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合关系中的参数取值问题，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

22. 已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的

不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．

（1）求a，b的值．

（2）求证：f（x）是奇函数．

参：

【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；

（2）根据奇函数的定义进行证明．

【解答】解：（1）有题意可得：解得：；

（2）由（1）知，定义域是R， 设任意x，则，

，故f（x）=，

f（﹣x）==﹣=﹣f（x），

故函数f（x）是奇函数．

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．