第４６卷第１７期２０１机械工程学报ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＶｂｌ．４６Ｓｅｐ．ＮＯ．１７２０１００年９月ＤｏＩ：１０．３９０１／ＪＭ【Ｅ．２０１０．１７．０３５基于吴方法的６Ｒ机器人逆运动学旋量方程求解吕世增１张大卫１刘海年２１１０００４）（１．天津大学机械工程学院天津３０００７２；２．东北大学机械工程及自动化学院沈阳摘要：基于旋量理论建立６Ｒ机器人的运动学模型，与传统的Ｄ．Ｈ参数法相比，旋量法从整体上描述刚体的运动，避免了用局部坐标系描述时所造成的奇异性。但用旋量法求解运动学逆问题时，受到子问题算法的限制。将吴方法引入逆运动学问题的求解，通过其特征列的思想与旋量法相结合，并利用数字化推理平台（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎｐｌａｔｆｏｒｍ，ＭＭＰ）和Ｍａｐｌｅ软件进行符号化运算实现了运动学逆解算法，最后用计算实例证明了算法的可靠性。基于吴方法求解机器人逆运动学的旋量方程，继承了旋量法的优点并减小了对子问题算法的依赖性，更加便于计算机的机械化运算。该方法具有较高的效率和精度，可以推广到其他构型（如并联机构）机器人运动学问题的求解。关键词：吴方法螺旋理论６Ｒ机器人逆运动学中图分类号：ＴＰ２４２．２ＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＳｃｒｅｗＥｑｕａｔｉｏｎｆｏｒＩｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｆ６ＲＲｏｂｏｔＢａｓｅｄＬ１３Ｓｈｉｚｅｎ９１ｏｎＷｕ’ＳＭｅｔｈｏｄＬＩＵＨａｉｎｉａｎ２３０００７２；ＺＨＡＮＧＤａｗｅｉｌ（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０００４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：１１１ｅｒｉｇｉｄｂｏｄｙｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅ６ＲｓｅｒｉａｌｒｏｂｏｔｉｓＳｅｔｕｐｂｙｕｓｉｎｇｓｃｒｅｗｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｕｎｄｅｒｔｈｅｏｖｅｒａｌｌｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｍｏｖｅｍｅｎｔ，ａｎｄｔｏｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＤ－Ｈｍｅｔｈｏｄ，ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙｉｓａｖｏｉｄｅｄｗｈｅｎｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｉｎｌｏｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｉｓｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄｂｙｔｈｅｓｕｂ－ｐｒｏｂｌｅｍｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｈｅｎｕｓｉｎｇｓｃｒｅｗｍｅｔｈｏｄ．Ｗｕ’Ｓｍｅｔｈｏｄｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｅｔｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｉｓｒｅａｌｉｚｅｄｂｙｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｉｄｅａｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｗｉｔｈｓｃ＇ｒｃｗｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｙｍｂｏｌｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎｐｌａｔｆｏｒｍ（ＭＭＰ）ａｎｄＭａｐｌｅｔｈｅｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｘａｍｐｌｅｓ．ＢａｓｅｄｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｅｑｕａｔｉｏｎｎｏｔＷｕ’Ｓｍｅｔｈｏｄ，ｓｏｌｖｉｎｇｏｎｌｙｉｎｈｅｒｉｔｓｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｓｃｒｅｗｍｅｔｈｏｄｂｕｔａｌｓｏｂｅｂｅｃｏｍｅｓｍｏｒｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｔｏｓｕｂ－ｐｒｏｂｌｅｍｓｔｏａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｕｃｈｅａｓｉｅｒ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｒｏｂｏｔｅｘｔｅｎｄｅｄｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｗｉｔｈｏｔｈｅｒｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｍ（ｓｕｃｈａｓｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍ）．ＩｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｗｕ，８ｍｅｔｈｏｄＳｃｒｅｗｔｈｅｏｒｙ６Ｒｒｏｂｏｔ关节变量，称为逆运动学【ｌ】。从工程应用的角度出０前言机器人的运动学问题是机器人学研究的基础课题，包括正向运动学和逆运动学。根据各关节变量的值，计算机器人末端手抓或工具相对工作站的位姿，称为正向运动学；反之，为了使机器人工具端相对工作站的位姿满足给定的要求，计算相应的发，逆运动学往往更能引起研究者的兴趣，它是机器人运动规划和轨迹控制的基础。对逆运动学研究的热点主要集中在解的存在性和逆解算法上【２Ｊ。当６Ｒ机器人满足Ｐｉｅｐｅｒ准则时，其逆运动学问题具有封闭解ｔｌ】。针对不满足Ｐｉｅｐｅｒ准则的情况，ＭＡＮＯＣＨＡ等Ｉｊｌ研究了一般６Ｒ机器人逆运动学问题，并给出了一种高效算法。ＬＥＥ掣４Ｊ对一般机器人的运动学逆解问题给出了结构化的处理方法，该２００９１０３０收到初稿，２０１００２１８收到修改稿方法后来又由ＲＡＧＨＡＶＡＮ等ｐＪ力口以深化。万方数据机械工程学报第４６卷第１７期早在１９世纪初，ＣＨＡＳＬＥＳ和ＰＯＩＮＳＯＴ在其著作中已经有关于旋量理论基本原理的内容介绍。１９８１年，ＢＲＯＣＫＥＴＴ基于李群李代数理论首先建立了机器人运动学的指数积公式。ＨＵＡＮＧ等ｐ７】将旋量理论用于机构的运动性能分析。张付祥等１８Ｊ基于旋量理论综合了各子问题的结果对闭链级联式机器人进行了运动学分析。丁希伦等【９】将李群李代数理论拓展应用于空间柔性机构的分析。与Ｄ—Ｈ法等其他方法相比，指数积公式具有明显的物理和数学意义，但其逆运动学求解往往要依赖于子问题算法，计算复杂。运动学逆解问题经过处理，可归结为求解多项式方程组，但这些方程组往往具有非线性及高维的特点，求解是比较困难的。吴方法的创立是近代非线性数学研究中取得的重大进展。该方法以多项式组的零点分解为基础，为多项式方程组的求解给出了完整的理论和有效算法。它排除了迭代法或试凑法的局限性，并且具有符号运算功能，已在计算科学、数理科学等领域得到了成功的应用【１０】。本文将采用旋量理论建立６Ｒ机器人的运动学模型，进而得到指数积形式的逆运动学旋量方程。基于吴方法的特征列思想，对旋量方程进行符号化处理得到三角化的方程组，实现高效率的逆解运算。获得较高的计算精度，同时减小了逆运动学旋量方程求解对子问题算法的依赖性。ｌ基于旋量理论的运动学模型１．１旋量理论对刚体运动的描述设某一刚体绕彩∈Ｒ３（为单位矢量）的旋转轴做单纯的旋转运动，转动角度为０，相应的刚体变换可以用矩阵指数表示为Ｒ（ｍ，目）＝ｅｘｐ（ｄ，８）ｆ０一哆国，１面＝ｌｃｏ：０一ｑＩ（１）【吲ｙｑ０Ｊ式中，西为反对称矩阵，月为旋转矩阵，欠洄，曰）表示绕∞轴转动０角度。一个反对称矩阵可以表示成单位反对称矩阵与实数的乘积形式，则ｅｘｐ（西口）可以展开为ｅｘｐ（＆０）＝Ｉ＋＆ｓｉｎＯ＋扩（１－ｃｏｓＯ）（２）下面考虑某～刚体做螺旋运动的情况，即刚体既绕轴线国∈Ｒ３（为单位矢量）转动（设转角为口）又沿平行于该轴线的直线移动（速度矢量为’，），如图ｌ万方数据所示。图ｌ刚体的螺旋运动相应的刚体变换ｇ用矩阵指数表示为ｇ＝ｅｘｐ＠目）乎＝【言：：）式中，善为４ｘ４矩阵，＇，＝叼×ｇ，ｇ∈Ｒ３为转轴上的一点。根据式（２），ｅｘｐ（善臼）可以展开为唧（扫）＝（唧妒¨卜ｅｘｐ‘刎’？挪）＋耐坩］（３）式中，善称为运动螺旋，根据旋量理论的相关定理：任一刚体变换ｇ都能写成某个运动螺旋笋的矩阵指数形式【３】，即任意刚体运动都能用运动螺旋来表示。值得强调的是，ｇ＝唧（扣）的变换与经典坐标变换理论不同，它所描述的不是点在不同坐标系之间的变化，而是在同一参考系中描述点由初始位置ｐ（０）∈Ｒ３到终点位置ｐ（Ｄ的坐标之间的变换，即ｐ（矽）＝ｅｘｐ伊ｂ（ｏ）。因此，运动螺旋的指数可理解为描述刚体由起始位形到最终位形的变换。１．２机器人运动学的旋量表示根据旋量理论，机器人各关节的运动由位于关节轴线的运动螺旋孝产生，由此可得运动学的几何描述【３】。若用弘（０）表示刚体的初始位形，用‰（秒）表示最终位形，则该运动螺旋描述的刚体运动可表示为如（口）＝ｅｘｐ（善０）鼬（ｏ）（４）为获得刀自由度任意开链机器人的运动学正解映射，可将各关节的运动加以组合，即得运动学正解映射晶，：ｓｅ（３）＿ＳＥ（３）如下乳妒）＝ｃｘｐ＠ｑ）ｅｘＰ（善２０２）…ｅｘｐ＠最）乳（ｏ）（５）式中，最，（ｏ）表示刚体相对于基坐标系的初始位姿，２０１０年９月吕世增等：基于吴方法的６Ｒ机器入逆运动学旋量方程求解３７最，（口）表示刚体的最终位姿，孝∈ｓｅ（３），ｓｅ（３）和ＳＥ（３）分别表示一个李代数和李群，这里可以简单地将它们理解为旋量的集合以及刚体变换的集合。式（５）ａＰ为机器人运动学正解的指数积公式。现在考虑运动学逆解问题：即给定运动学正解映射ｇ，ｔ：ｓｅ（３）一ＳＥ（３）和一个期望的形位劭，通过器，（秒）＝ｇｄ求得秒。则ｎ自由度任意开链机器人的逆解映射可表示为ｅｘｐ（善１０ｌ》ｅｘｐ（受包）…ｅｘｐｌ色以）ｇｓ。（ｏ）＝ｇｄ（６）利用运动学正解映射的指数积公式可以构造运动学逆解问题的几何算法。这种算法首先由Ｐａｄｅｎ提出，建立于Ｋａｈａｎ的著作中，称为Ｐａｄｅｎ．Ｋａｈａｎ子问题算法１３Ｊ。这里仅简要介绍子问题ｌ、２并结论性地给出算法结果，可以看出其求解比较复杂。子问题ｌ描述刚体绕一个轴旋转的情况，如图２所示，Ｐ、ｑ∈Ｒ３为空间两点，Ｐ点绕给定轴孝旋转护角至与ｇ点重合，设ｒ是毒轴上的一点，定义矢量＂＝Ｐ一，和＇，＝ｑ一，，求解满足ｅｘｐ（善ｅ跏＝ｇ的口。图２子问题１子问题１的解为０＝ａｒｃｔａｎ２（ｕ仃ｖＴｔａ７（Ⅳ７×＇，’））（７）式中，缈∈Ｒ３为孝轴方向的单位矢量，＂’＝材一彻Ｔ以，＇，’＝＇，一彻Ｔ１１３。子问题２描述了刚体绕两个有序轴旋转的情况。如图３所示，设Ｐ点先绕乞轴转岛角到ｃ点，再绕点轴转岛角至与ｇ点重合，，．是两轴线的交点，定义矢量Ⅳ＝Ｐ一，，ｌ，＝ｇ一，，ｚ＝ｃ一，．，铂，‘Ｄ２∈Ｒ３分别为舌轴和最轴方向的单位矢量。求解满足ｅｘｐ（善１０１）ｅｘｐ（善２０２）Ｐ＝ｇ的儡、岛。图３子问题２万方数据子问题２的解法是将其转化为子问题１求解，由于ｃ点表示Ｐ点绕彘轴转岛角所得之点，所以ｃ点满足ｅｘｐ（善２０２）Ｐ＝ｃ＝ｅｘｐ∽只）ｇ（８）式（８）满足子问题ｌ的求解形式。则只须求出ｃ点，即可利用子问题１的求解式（７）求出岛、岛。ｃ点可由式（９）求出口：！垡生！熊芸二垡！渤１吐）２—１∥＝％蒜芋（叫吼）２—１７２：删：二生二芝二！型垒怯×鲍０２ｚ＝口觋＋届如＋ｙ（觋×咤）２吴方法的基本内容吴方法又称为机械化数学吴消元法，它是吴文俊先生基于我国古代数学的思想与方法，采用美国数学家刚ＴＴ在１９５０年对微分方程代数研究中所提供的某些技术，提出的用计算机求解多项式方程组的方法。采用吴方法求解如式（１０）所示一类高次联立方程组是很方便的１日（五，ｘ２，…，Ｘｎ）＝０Ｊ最（却ｘ．２，…，％）＝”（１０）ｌ：【己（毛，恐，…，毛）＝０吴方法的核心思想是多项式组特征列的零点分解。任给一多项式组尸＝｛日，昱，…，己｝，尸＝０的全体解称为Ｐ的零点集，记为ｏ？。若某一多项式组有如下形式ＫＩ（，，而）心（，，而？屯）（１１）Ｋ（，，而，Ｘ２，…，毛）则称多项式组是三角化的。若多项式组Ａ＝｛４，４，…，４ｌ｝既是三角化的，又满足Ａｆ对砖（ｉ＞，）已经约化，则称Ａ为升列。满足一定条件的升列又称为多项式组的特征列【１１１。吴方法最主要的结论是两个定理。①基本定理：对于给定的多项式组Ｐ，存在一个机械化的算３８机械工程学报第４６卷第１７期法，经过有限步运算后或能求出Ｐ的特征列，或能证明尸是矛盾的。②零点集的结构定理：设Ｃ是多项式组Ｐ的特征列，则Ｐ的零点集具有如下结构ｆ２ｊ；＝⑦夕＋∑ｏ多（１２）式中，Ｍ＝Ｃ／Ｉ，Ｎ＝｛Ｐ，Ｉｔｌ，‘为ｃ中第ｉ个多项式的初试，Ｊ为Ｃ中全体多项式的初试之积，０了表示特征列Ｃ的零点中使Ｉ≠０的那些零点的全体。特征列的计算过程就是吴方法的主体，这一过程具有很好的符号化运算特性，可以通过计算机的机械化算法实现，具体可描述如下尸＝（昂，片，…，曰，…，己）Ｃ＝（岛，垦，…，局，…，Ｂｍ）（１３）ｏ：＝（民，墨，…，墨，…，如）式中，鸟为只的基列，只＝｛只巾冠一。｝，Ｒ为只对马的余式，ｆ－１，２，…，ｍ。上述算法可以通过数学机械化自动推理平台和Ｍａｐｌｅ｛１２］软件实现。３６Ｒ机器人运动学模型的建立该６Ｒ机器人主要是为了汽车喷涂而设计的，由于汽车喷涂生产过程中的特殊要求，因而采用该构型方案。机器人连杆结构如图４所示，建立基础坐标系Ｓ，该构型机器人由６个回转副连接各连杆组成，点～彘为相应回转轴的轴线方向，劬～纸为对应的单位矢量，毋～吼为各轴线上的点，岛～酿为各关节的回转角度（旋转运动符合右手定则）。图４６Ｒ机器人连杆结构示意图在初始状态下（图４）机器人工具坐标系丁相对于基础坐标系Ｓ的位姿１Ｏ０肌０１０疗乳（ｏ）＝０Ｏ１Ｏ（１４）００Ｏｌ万方数据式中，ｍ，，ｚ由连杆参数确定，分别表示工具坐标系原点的ｘ坐标和ｙ坐标，ｍ＝０．８，，ｌ＝２．８。则根据式（５）和式（１４）ｔｉｐ可确定该机器人的运动学正解模型为乳（秒）＝ｅｘｐ＠ｑ）ｅｘｐ＠岛）．一ｅｘｐ＠侠砖，（ｏ）（１５）代入相应的转角０ｔ（ｉ＝１，２，…，６），就能得到机器人工具端的位姿。下面考虑该机器人的逆解模型，即根据给定的工具端位姿岛（口）＝ｇｄ求得Ｏｉ（ｉ＝１，２，…，６）。由式（６）可确定逆运动学模型为ｏｘｐ（，ｌＯ，）ｅＸｐ候岛＞一ｅｘｐ（￥６见溅（ｏ）＝＆（１６）４机器人运动学逆解算法和实例计算４．１基于旋量理论和吴方法的运动学逆解算法首先，构造各转动关节的运动螺旋毒（ｆ＝１，２，…，６），在基础坐标系ｓ中各转轴轴线方向的单位矢量分别为劬＝（１０ｏ）１，奶＝伤＝（００１）‘，蛾＝（１０ｏ）１，鸭＝（００１）１，嚷＝（ｏｌｏ）１。再取轴线上的点ｑｌ＝ｑ２＝（，１０ｏ）１，劬＝（‘，２ｏ）１，吼＝吼＝吼＝（‘，２＋厶ｏ）１。其中‘、乞、厶为连杆参数，最后根据哆和吼即可确定磊（ｆ＝ｌ，２，…，６）。将式（１６）两边右乘盛‘（ｏ），令ｇ＝ｇｄ《（ｏ），得ｅＸｐＧ岛）ｅＸｐ＠岛）．一ｅｘｐ（善ｅＳｅ）＝ｇ（１７）以ｑ口ｘｐｘｎｙｏｙａｙｐｙｇ＝ｎｚｏｚｎｚｐｚ０００ｌ根据旋量理论，如果一点ｇ位于转轴善上，那么无论旋转多少角度，ｇ点的位置是不变的，即ｅｘｐ（矽）ｇ＝ｇ成立。因此，将式（１７）两边右乘幺、磊和彘轴的交点吼，得ｅｘｐＧ岛）ｅＸｐ＠岛）ｅＸｐ＠岛）９４＝ｇｑ４＝（口ｂｃ１）１（１８）则由式（１８）可确定Ｂ～岛，具体解法是先运用Ｍａｐｌｅ软件采用符号化运算，根据式（２）、（３）将ｅｘｐ＠研）唧＠岛）ｅＸｐ＠岛）展开得２０１０年９月吕世增等：基于吴方法的６Ｒ机器人逆运动学旋量方程求解３９ｒ，ｉｌ，ｉ２ｅｘｐＧ岛）ｅ冲＠岛）ｅｘｐ＠岛）＝巨吩ｒ２：２１００‰仫‰ＯＡ办见●（１９）式中，ｉ１＝ｃ２ｃ３一ｓ２％［喜喜喜荤］［乏／享１毛］＝［手］Ｇ。，将式（２０）展开，取对应位置元素相等，得一ｃ％毛一占２ｃｊ，３一Ｊ２乞＋，ｌ＝ａ—Ｃ１Ｓ２Ｓ３毛＋Ｃ１Ｃ２Ｃ３ｆ３＋ＣＩＣ２ｆ２＝ｂ（２１）ｅｘｐ（－ｇ，岛）ｅＸｐ∽岛一心岛）ｅＸｐ＠岛ｇｑ。（２５）—Ｓｉｓ２Ｓ３，３＋ｓｌｃ２ｃｄ３＋Ｓ１ｃ２１２＝Ｃ令而＝五，ｃｌ２ｘ２，Ｓ２＝恐，Ｃ２＝ｘ４，Ｓ３＝ｘ５，ｃ３＝ｊｃ６。则可将式（２１）改为日＝—心黾，３一而ｊｃ６，３一而，２＋‘一ａ忍＝一恐而砖，３＋ｘ２ｘ，ｘｄ３＋ｊｃ２心如一ｂ：２一｝？之厶＋而·ｈｊｃ６，３一·一心，２一ｃ只＝彳＋《一１）２２（……忍＝《＋《一１只＝《＋《一ｌ运用吴方法的特征列思想通过数字化推理平台和Ｍａｐｌｅ软件进行符号化运算，得到式（２２）的零点分解万方数据ｑ＝奸６２＋Ｃ２砰一ｃ２Ｃ２＝一ＣＸ２＋西６Ｃ３＝一２ｂ２≮２ｌ－２２而２＋屯４ｆ２４而２＋恐４ｆ３４而２＋而４口４《＋霹口４《２而２－２ｘ；ａ２ｆ’３２而２＋４屯４口ｆ１Ｊｃ３２１３２＋４而４‘１２‘２２而４＋４ｂ２巧２而４１．２２—４屯４‘２３‘ｌ而３＋２ｂ２巧２ｌ－１２而２—２ｂ２吒２ｌ－３２而２＋４而４口‘２３而３—４砭４１１３１２屯３＋２ｂ２ａ２豸＋６ｘ４ａ２平《一８恐４口ｆｌｆ２２．ｂ４＋４《口２乏２而４＋４《１，１２４９＋２恐４白２ｆ２２而２—２％４ｆ２２而２１３２一啊４Ⅱ１１３而２—４ｂ２《口２矗《＋４《口３１２４＋６４巧２一ｑ４口ｆ２而３ｆ３２一啦Ｘ２４＾．２而４１．３２－ｔ２９ａ２ｔ］ｔ２４＋乞而４口ｆ１２ｆ２而３—４ｂ２贬２口２，１，２巧３—４而４口ｌＩｆ２２黾２—４９ａ３‘巧２＋４ｂ２《口乞霹ｃ４：－２ｂｘ２１２ｘ２ｘ４一《《学一２芝２＾１２恐３＋２薹２口‘２而３＋吃２‘２２而２十恐２＾．２而２—２艺２口＾而２＋《口２４＋ｂ２茸Ｃ５＝吃，３％《一Ｘ＃ｍＸ，－Ｉ－ｘ２ａｘ４＋恐《，３黾＋嵋ｃ：＝‘＿厶黾．ｋ—ｘ６ｘＺ一，２毛＋‘一ａ（２３）则根据式（２３），由计算机很容易算出■～％，进而解得岛～岛。求出ｑ～ａ３后，可将式（１７）化为ｏｘｐ（善４０，）ｅｘＰ（善ｓｅｓ）ｅｘｐ（善６０６）＝ｅｘＰ（＂善１０１）ｅＸｐ心０２）ｅｘｐ（－＇善３０３）ｇ（２４）代Ａｏ，～岛的值，将式（２４）两边右乘位于彘轴上但不在氦、磊轴上的点ｑｌ，得唧＠幺）唧＠岛）ｇ。＝利用同样的算法即可求得幺和色．。则可将式（１７）化为ｅｘｐ（象０６）＝ｅｘｐ（－善ｓＯｓ）ｅｘｐ（－－善４０４）×ｅｘＰ（＇髻３０３）ｅｘＰ（－＇善２０２）ｅｘｐ（－－毒舅弦（２６）利用式（２６），代入研～岛很容易求出皖，至此鼠～０６全部解出。４．２实例计算图５所示为６Ｒ机器人设计图，针对该构型机器人进行实例计算。主要机械结构参数：基座高‘＝０．８，大臂长厶＝１．２，前臂长毛＝１．４。给定工具端期望位姿为机械工程学报第４６卷第１７期ｆ０．０５６－０．８７４０．３６３１．６５０１０．６２３－０．２５８０．５５２２．２３０劭２ｌ－０．７８００．４１２０．７５１０．５３１（０００１图５６Ｒ机器人设计图根据式（１４）已知器，（ｏ），则可求得ｇ＝ｇｄｇｉ：（ｏ）为ｆ，０．０５６０－－－０．８７４００．３６３０４．０５２４、０．５５２０２．４５４０ｇ＿Ｉ－－０．７８００１０．６２３０－－０．２５８０ｆ０．４１２００．７５１００．００１４Ｉｌ０００１．００００ｊ首先求解岛～岛，根据式（２２），由计算机算出而～％为石＝０．１９２９２２７６３０ｘｌ＝０．１９２９２２７６３０矗＝０．９８１２１３９４５８五＝０．９８１２１３９４５８弱＝－０．６０１７８５７４７６ｘａ＝－－０．１８３４４０９３６０ｘ４＝０．７９８６５７５６９２ｘＡ＝０．９８３０３０７３３５鼠＝０．４１４８９８４４８１款＝－０．４１４８９８４４６６ｘ６＝０．９０９８６７７２７７ｘｓ＝０．９０９８６７７２９１．嚣＝－０．１９２９２２７６３０工＝－－０．１９２９２２７６３０五＝．－－０．９８１２１３９４５８Ｌ＝－０．９８１２１３９４５８弱＝－０．１８３４４０９３６６ｘａ＝－０．６０１７８５７４７８兄＝－０．９８３０３０７３３５ｘ４＝－０．７９８６５７５６９８款＝０．４１４８９８４４６６矗＝－０．４１４８９８４４７１坛＝０．９０９８６７７２９１ｘｓ＝０．９０９８６７７２６２Ｊ岔，＝１１．１２３４０２６６８８｛只，＝－３６．９９７８９９７３９８１．’１Ｉ岛ｌ＝２４．５１２９２１４４０２Ｉ鼠，＝１１．１２３４０２６６８８ｌ｛酿，＝－１０．５７０２４９１２８２１．’’Ｉ岛，２＝－－２４．５１２９２１３４５８万方数据１日，＝一１６８．８７６５９７３３１２｛蠢一－－田．仞７５０８３６８ｌ最１＝２４．５１２９２１３４５８ＩＯｌ，４＝一１６８．８７６５９７３３ｌ２｛岛４＝－１４３．００２１００２４５９Ｉ岛。４＝－２４．５１２９２１３７７３求出ｑ～岛后，根据式（２５）并利用同样的算法，通过Ｍａｐｌｅ软件解出１０４，ｌ，１＝１２８．２９４７２２５７３６Ｉ％１．２＝－５１．７０５２７７１７６７恢ｌ＇１＝５４．６６５３３９７５１１限ｌ，２＝１２５．３３４６６０２４８９１０４＇２＇ｌ＝１４４．８３４６２９３６８６Ｊ幺，２，２＝－３５．１６５３７０６３１４恢２。ｌ＝３７．９８０３７８４７７５Ｉ岛＇２，２＝１４２．０１９６２１５２４７ｆ幺＇３．１＝３５．１６５３７０５８２４ｌ幺，３．２＝一１４４．８３４６２９４１７ｌ岛’３’ｌ＝一１４２．０１９６２１４９５Ｉ０５。３，２＝－３７．９８０３７８５４３４以４＇１＝５１．７０５２７７１７６７幺＇４．２＝一１２８．２９４７２２８２３岛，４，ｌ＝一１２５．３３４６６０１６９岛，４’２＝一５４．６６５３３９８３０３求出ａｌ～岛后，利用式（２６）解得０６．１．１＝１７０．７５０２００６８１３０６．１。２＝一９．２４９７９９４２３２优‘２．１＝一１６８．５０９２８１８４０３皖＇２’２＝１４７．９５８９６２０６０６皖’３．１＝一１６８．５０９２８１９５１３０６。３．２＝１１．４９０７１８２１８２纯．４．１＝１７０．７５０２００７７９９皖．４，２＝－９．２４９７９９１６７８对算法进行精度验算，给定各关节转角为（Ｂ岛岛幺０５皖）Ｔ－－－－（００９０００ｏ）Ｔ代入机器人运动学正解公式（１５），解得工具端位姿ｆ０－１．００００－０．７９９、Ｉｌ００１．２００＆－－１００１．００００ｌｌｏｏ０１．０００Ｊ进而解出品～幺，共４组值为２０１０年９月吕世增等：基于吴方法的６Ｒ机器人逆运动学旋量方程求解４１再应用本文提出的逆解算法解得（ｑ岛０３幺侠侠）１＝ｆｏ０９０ｌ×１０。８００１１可见该算法具有较高的精度。分别采用Ｇｒｏｂｎｅｒ基法和吴方法对实例中的多项式方程组进行符号化简运算，吴方法只需约２３０Ｓ即可得到结果，而Ｇｒｏｂｎｅｒ基法需要约１ｈ才能计算出结果。可见吴方法具有较高的计算效率。５结论（１）运用吴方法求解６Ｒ机器人的逆运动学旋量方程，通过数字化推理平台和Ｍａｐｌｅ软件进行符号化运算，只需约２３０Ｓ即可完成对多项式方程组的符号化简，求得的结果具有较高的精度。（２）该方法继承了旋量法建模简明易懂的优点，同时降低了逆解算法对子问题的依赖性，便于机械化计算。可以推广到其他构型的机器人运动学问题的求解。参考文献【ｌ】熊有伦．机器人学【Ｍ】．北京：机械工业出版社，１９９３．ＸＩＯＮＧＹｏｕｌｕｎ．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｈａｇ：ＣｈｉｎａＭａｃｈｉｎｅＰｒｅｓｓ，１９９３．【２】理查德·摩雷，李泽湘，厦恩卡·萨思特里．机器人操作的数学导论【Ｍ】．北京：机械工业出版社，１９９８．ＭＵＲＲＡＹＲＭ，ＬＩＺｅｘｉａｎｇ，ＳＡＳＴＲＹＳＳ．Ａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｒｏｂｏｔｉｃｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＣｈｉｎａＭａｃｈｉｎｅＰｒｅｓｓ，１９９８．【３】ＭＡＮＯＣＨＡＤ，ＣＡＮＮＹＪＦ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｆｏｒｇｅｎｅｒａｌ６Ｒｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎＯｎＲｏｂｏｔｉｃｓａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，１９９４，ｌＯ（５）：６４８—６５７．［４１ＬＥＥＨＹ，ＬＩＡＮＧＣＧ．Ａ１１１嘶Ｐｖｅｃｔｏｒｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ［Ｊ］．ＭｅｃｈａｎｉｓｍｓａｎｄＭａｃｈｉｎｅＴｈｅｏｒｙ，１９８８，２３（３）：２０９—２１７．［５１ＲＡＧＨＡＶＡＮＭ，ＲＯＴＨＢ．Ｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌ６Ｒｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒａｎｄｒｅｌａｔｅｄｌｉｎｋａｇｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＺｈｅｎ，删ＧＤｅｓｉｇｎ，１９９３，１１５（３）：５０２—５０８．【６】咖ＡＮＧＪｉｎｇ．Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓｏｆ３一ＤｏＦ万方数据ｐｙｒａｍｉｄｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｂｙｐｒｉｎｃｉｐａｌｓｃｒｅ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作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
吕世增， 张大卫， 刘海年， L(U) Shizeng， ZHANG Dawei， LIU Hainian
吕世增,张大卫,L(U) Shizeng,ZHANG Dawei(天津大学机械工程学院,天津,300072)， 刘海年,LIU Hainian(东北大学机械工程及自动化学院,沈阳,110004)机械工程学报
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